Математический и вычислительный эксперимент в образовательной практике

      Следует отметить, что границы между наблюдением, экспериментом и исследованием определены нечетко; исходная задача преподавателя – вовлечь учащегося в простейший из перечисленных видов деятельности – в наблюдение. Темы для наблюдений могут быть как угодно стандартны. Например, можно предложить семиклассникам, изменяя форму треугольника на экране, проследить за тем, какая сторона и какой угол являются наибольшими; следует добиваться точных формулировок (для чего полезно использовать «цветовые» формулировки: фраза у моего треугольника сейчас самая длинная сторона – синяя понятнее, чем сторона АВ больше стороны АС). Нет никаких сомнений в том, что большинство семиклассников, вовлеченных в этот процесс, самостоятельно обнаружат, что наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны. Квалифицированный учитель сможет подтолкнуть семиклассников к формированию дальнейших предположений, к обсуждению вопроса о том, равносильна ли найденная формулировка более традиционной против большей стороны лежит больший угол и т.д. Особенно важно, чтобы все учащиеся (и прежде всего слабые, ленивые и не интересующиеся математикой) почувствовали, что их прямые наблюдения, которые оказываются прямым следствием их врожденных способностей видеть и говорить (а не следствием усердия при выполнении стандартных заданий «по образцу»), могут быть интересны и им самим, и окружающим.

Простейшие эксперименты отличаются от наблюдений тем, что сознательно ставятся; как правило, они связаны с какими-то уже сформулированными вопросами; эти вопросы не всегда имеют точный математический или какой бы то ни было еще смысл, но должны быть понятны и интересны экспериментатору.

Успешные наблюдения очень  естественно переходят в эксперименты.

Например, описанные выше наблюдения могут привести к вопросу: «А что происходит с треугольником, когда его синяя сторона перестает быть самой длинной?» Это – типичный пример конфигурационного мышления, т. е. экспериментов над переменным треугольником. Поставивший такой вопрос семиклассник будет двигать вершины по экрану уже не произвольно, а вполне определенным образом, обращая особое внимание на моменты некоторого качественного изменения треугольника. Нетрудно понять, что в процессе этого эксперимента школьник на эмпирическом уровне обнаружит большую часть теорем школьной программы, относящихся к теме равнобедренные треугольники.

Необходимыми условиями  эффективности использования на уроке математического эксперимента являются: 1) четкая постановка цели эксперимента; 2) четкие инструкции по проведению эксперимента; 3) четкая формулировка и грамотная  интерпретация результатов эксперимента. Последний момент особенно важен: учащиеся должны понимать, что факты, обнаруженные в ходе проведения математического  эксперимента, должны быть (по возможности) доказаны аналитически; экспериментальное  решение задач не всегда позволяет  дать точный ответ. 

Наиболее очевидным является использование математических экспериментов  на уроках геометрии, поскольку экспериментально можно выявить большинство изучаемых  в школьном курсе геометрических соотношений, формул, свойств и признаков  геометрических фигур, теорем о геометрических местах точек.. При изучении курса  алгебры эксперимент тоже может  сыграть важную методическую роль –  прежде всего, это касается тем, связанных  с функциями, их свойствами и графиками.

  Ведущую роль играет  эксперимент при изучении одного  из новых разделов современного  школьного курса  математики – основ теории вероятностей и математической статистики.

      Научное  исследование реального процесса  можно проводить теоретически  или экспериментально, которые проводятся независимо друг от друга. Такой путь познания истины носит односторонний характер. В современных условиях развития науки и техники стараются проводить комплексное исследование объекта. Этого можно добиться на основе новой, удовлетворяющей требованиям времени, методологии и технологии научных исследований.

      Для удобства ведения математического эксперимента можно использовать компьютерные программы. Среди них можно назвать различные программы динамической геометрии, из которых у нас наиболее известна "Живая геометрия" (русификация The Geometer's Sketchpad), и программу Stella для моделирования различных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, например, экологических или экономических. Но если виртуальные лаборатории, скажем, по физике, были естественным и предсказуемым перевоплощением обычных физических практикумов, то об аналогичных математических программах этого сказать нельзя, ибо у них не было "реальных" прототипов в традиционном математическом образовании. Поэтому можно ожидать, что их влияние на преподавание математики окажется более глубоким.

            Широкое применение ЭВМ, достаточно мощная теоретическая и экспериментальная база позволяют говорить о математическом эксперименте как о новой технологии и методологии в научных и прикладных исследованиях[http://cor.edu.27.ru/dlrstore/].

             Роль математического моделирования в обучении и, вообще, в процессе познания не нуждается в комментариях. Однако этот вид деятельности и, тем более, математический эксперимент практически отсутствовали в традиционной советской системе образования. Между тем, этот способ исследования всегда был присущ работе профессиональных математиков, а в наше время, благодаря компьютерам, приобрел особую важность.

     В наш век мультимедийные средства позволяют вывести экспериментальную и исследовательскую деятельность учащихся при изучении математики на качественно новую ступень.

     Высокая степень интерактивности всех моделей и возможность самостоятельно создавать сложные математические объекты и конструкции в виртуальных лабораториях ЦОР позволяет непосредственно наблюдать изменение исследуемого объекта и управлять этим изменением. Этим достигаются две цели: во-первых, внесение в учебную деятельность дополнительной привлекательности, уподобляющей ее компьютерной игре; во-вторых, возможность увидеть на фоне плавно меняющегося объекта его неизменные свойства и выявить присущие ему закономерности, – а ведь в этом и состоит, как правило, цель исследования.

           А теперь приведём конкретные  примеры использования математического  эксперимента в старшей школе.

            Внеклассное мероприятие по химии и математике "Биржа знаний":

- В одной пробирке, соблюдая правила ТБ, укажите признаки химических реакций, и составьте на доске уравнения химических реакций. Жюри учитывает согласованное действие участников команды. Приступили!

Учитель химии: Ребята, сегодня глаза математиков следят за выполнением закона сохранения массы вещества при составлении химических уравнений. Поэтому будьте внимательны в расчётах.

Молодцы! Химический эксперимент  удался.

А теперь посмотрим удастся ли нам математический эксперимент.

Учитель математики: Опыт, который я Вам сейчас покажу и Вы все его проделаете, провёл в середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мёбиус. Он обнаружил, что на перекрученном кольце можно провести линию, не отрывая карандаш от бумаги, впоследствии его назвали листом Мёбиуса. Оказывается, у него имеется только одна сторона, т.е. его невозможно выкрасить так, чтобы одна сторона была, например, красная, а другая – зелёная. Позже математики открыли ещё целый ряд “односторонних поверхностей”. Но эта самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии. Один из опытов, который мы проведём с листом Мёбиуса, продемонстрирует неожиданное свойство.

Лист Мебиуса: один из концов бумажной ленты перевернём на 1800 и склеим со вторым концом, получим кольцо, у которого только одна сторона. Надо провести линию вдоль этого кольца. Но удивительное произойдет позже. Разрежем наше кольцо по прочерченной линии. И каков результат?

Лист не распадётся, а  образует новую двустороннюю поверхность, которая состоит из двух замкнутых  кривых сплетенных друг с другом. Решить задачу по геометрии – это значит пережить приключение. Команда, которая  получит такой результат получает 1 балл от жюри за каждый правильный результат.

         На Проектном уроке математики "Симметрия", 1-й класс, ученики проводят математический эксперимент, пользуясь учебником, зеркалом и фигурами из конверта [http://festival.1september.ru/].

        Школьнику, вовлеченному в экспериментально-математические исследования, доступны все элементы взрослой научно-исследовательской деятельности. Для лучшего результата и выполнения условий нового образовательного стандарта необходимо вводить математический эксперимент уже в первом классе и продолжать его использование на всех ступенях обучения. 

Роль вычислительного  эксперимента в процессе обучения

       Вычислительный эксперимент - это эксперимент над математической моделью объекта на ЭВМ, который состоит в том, что по одним параметрам модели вычисляются другие её параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах явления, описываемого математической моделью.

        В школьном  курсе Информатики появилась  новая тема - моделирование. Учителям  требуется, рассматривая моделирование как метод познания, объяснить школьнику, для чего и как создаются компьютерные модели. И в связи с этим становится актуальным использование вычислительного эксперимента на уроках, поскольку вычислительный эксперимент тесным образом связан с математическим моделированием.         Вычислительный эксперимент как новая методика исследования "состоялся" после того, как удалось на каждом из этапов традиционной цепочки эффективно использовать вычислительную машину.

Традиционная цепочка

• Проведение натурного эксперимента.
• Построение математической модели.
• Выбор и применение численного метода для нахождения решения.
• Обработка результатов вычислений.
• Сравнение с результатами натурного эксперимента.

- Принятие решения о продолжении натурных экспериментов.

- Продолжение натурного эксперимента для получения данных, необходимых

для уточнения модели.

Видоизмененная цепочка реализованная в виде единого программного комплекса и составляет "технологию" вычислительного эксперимента.

Видоизмененная цепочка

• Накопление экспериментальных данных.
• Построение математической модели.
• Автоматическое построение программной реализации математической модели.

- Автоматизированное нахождение численного решения.

• Автоматизированное преобразование результатов вычислений в форму, удобную для анализа.
• Принятие решения о продолжении натурных экспериментов.

В наиболее общем виде этапы вычислительного эксперимента можно представить в виде последовальности технологических операций (они реализованы в соответствующих блоках программного комплекса):

1. Построение математической модели.
2. Преобразование математической модели.
3. Планирование вычислительного эксперимента.
4. Построение программной реализации математической модели.
5. Отладка и тестирование программной реализации.
6. Проведение вычислительного эксперимента.
7. Документирование эксперимента.

    Вычислительный эксперимент начинается тогда, когда в результате натурного эксперимента получено достаточно данных для построения математической модели исследуемого объекта. Обычно построенная математическая модель оказывается настолько сложной, что требуется создавать не только уникальное программное обеспечение для воспроизведения ее на вычислительной машине, но и новые численные методы, чтобы найти решение в приемлемые сроки и с необходимой точностью. Сложность первоначальных моделей обусловлена прежде всего тем, что на ранних этапах исследования нет данных, позволяющих провести ее упрощение. На практике всегда исследуется иерархия моделей различной сложности, определяются границы их применимости и допустимость тех или иных упрощений. Построенная программная реализация математической модели используется для изучения законов поведения объектов, испытаний различных режимов работы, построения управляющих воздействий, поиска оптимальных характеристик. На основании изучения поведения модели либо делается вывод о возможности ее применения для практических нужд, либо принимается решение о проведении дополнительной серии натурных экспериментов и корректировки модели, и тогда весь цикл исследований приходится повторять сначала.

Программное обеспечение, позволяющее автоматизировать основные операции вычислительного эксперимента, называют пакетами прикладных программ или программными комплексами для автоматизации вычислительного эксперимента. Сложность и своеобразие этого вида научных исследований позволяет ставить вопрос о появлении новых наук: вычислительной информатики, вычислительной физики [Сечников: 1998].