Математический и вычислительный эксперимент в образовательной практике

Для иллюстрации вышеизложенного, а в большей степени этапов вычислительного эксперимента, рассмотрим урок информатики в 11 классе на тему: «Электронные таблицы и вычислительный эксперимент».

Ход урока:

I Оргмомент

II Повторение

     На прошлом уроке вы познакомились с методом приближенного вычисления площадей сложных фигур – методом Монте-Карло. Сегодня на уроке мы рассмотрим применение Excel в качестве инструмента для математического моделирования и для проведения вычислительного эксперимент и обработки данных. В ходе урока необходимо решить 2 задачи обязательно и одну дополнительно /для успешно справившихся с 1 и 2/. Решение 1 задачи разберем вместе и 2 вы будете решать самостоятельно, я только дам небольшой комментарий.

№ 1   Рассмотрим следующую задачу.

Имеется окружность единичного радиуса. Площадь круга  можно вычислить по формуле S=pR². Т.к. R=1, площадь будет равна p квадратных единиц. Применив метод Монте-Карло для нахождения площади круга, мы экспериментально определим значение числа p.

К доске решать задачу пойдет …

Для решения данной задачи с помощью Excel создадим математическую модель.

Значение координаты Х меняется от –1 до 1, значение координаты Y  - аналогично. Если выполняется условие Х²+Y²<=1, то можно сказать, что точка с данными координатами лежит на окружности или внутри окружности.

Формируем множество  точек со случайными координатами:

-  в ячейке А1 записываем формулу получения случайного числа  на промежутке от –1 до 1        =2*слчис()-1   /координата Х/;

- в ячейке В1 записываем формулу получения случайного числа  на промежутке от –1 до 1        =2*слчис()-1   /координата Y/;

• выделяем ячейки А1 и В1 и копируем содержимое ячеек по 100-ю строчку, получаем 100 пар координат Х и Y, т.е. моделируем 100 точек лежащих на квадрате;
• подсчёт количества точек попавших на круг

в С1 записываем формулу  =Если(А1^2+B1^2<=1;1;0), копируем по 100-ю ячейку  

       в ячейке D1 записываем формулу =Сумм(С1:С100) т.е. в ячейке D1 получаем результат – сколько точек попало на круг;

- вычисление площади  круга S _кр=S_кв*M/N /площадь квадрата  равна 4/ 

  в D2 записываем формулу =4*D1/100

*-* Учащиеся выполняют  задание на компьютере.

Получаем результат. Экспериментально получили число p.

Оценка результата.

*Для успешно  справившихся получить результат  для 1000 точек. 

Оценка результата.

Итог: экспериментально вычислили значение числа p.

III Решение задач

№2  Чаще всего электронные таблицы используются именно для получения расчетных ведомостей, смет, справок, списков, т.е. в области делопроизводства.

Однако ЭТ могут  оказаться полезными и для  научных целей. С помощью электронных  таблиц можно проводить вычислительные эксперименты.

В результате вычислительного  эксперимента можно получить прогноз  поведения исследуемой системы; выяснить вопрос о том, как изменение  одних характеристик системы  отразится на других.

Рассмотрим пример такого вычислительного эксперимента.

Ученые установили, что прирост числа какого-либо вида живых организмов за счет рождаемости  прямо пропорционален их количеству, а убыль за счет смертности прямо  пропорциональна квадрату от их количества. Этот закон известен под названием закона Мальтуса.

В одном хозяйстве  собираются разводить карпов. Прежде, чем запускать мальков в пруд, решили провести расчеты. Согласно закону Мальтуса изменение числа рыб  за один год вычисляется по формуле

DN=kN-qN²

Здесь N — число  карпов в начале года, k — коэффициент прироста, q — коэффициент смертности. Экспериментально установлено, что для данного вида рыб (карпы) и в данных условиях (состояние водоема, наличие корма) k=1, q=0.001.

Если первоначально  в пруд запущено N₀ рыб, то из закона следует, что количество карпов через год будет таким:

N₁₌N₀+(kN₀-qN₀²).

Через два года

N₂₌N₁+(kN₁-qN₁²).

и т.д. Можно написать общую формулу для вычисления количества рыб в i-м году после  их запуска:

N_i=N_i-1+(kN_i-1-qN²_i-1)  для 1=1,2,3,...

Заполним электронную  таблицу для проведения по этой формуле  расчета рыбного «поголовья»  в пруду в течение нескольких лет.

Для получения  результатов достаточно занести  в ячейку F1 первоначальное число  рыб.

Теперь можно  экспериментировать. Проследим, как  за 10 лет будет меняться число  карпов при разном количестве первоначально  запущенных рыб.

Из полученных результатов следует, что невозможно иметь в пруду больше 1000 карпов (при k=1, =0,001 и N₀=1000). Если начальное число рыб меньше 1000, то оно постепенно будет расти до 1000 штук и далее не меняется. Если сразу запустить 1000 рыб, то это количество останется неизменным и в последующие годы. Даже если запустить сначала 1500 рыб, то через год их численность в два раза сократится, а затем все равно дойдет до 1000. Если же запустить в пруд 2000 рыб, то через год все они вымрут.

Из полученных результатов рыбоводы могут сделать  практические выводы. Приведенные выше таблицы автоматически получались после изменений значения всего  лишь в одной ячейке F1.

Задания:

1. Постройте график численности рыб в пруду для k=1, q=0,001, N₀=1990.
2. Проведите численный эксперимент на таблице расчета количества рыб в пруду, поставив следующую цель: подобрать такие значения параметров k и q, при которых количество рыб за 10 лет может быть доведено до 2000.
3. Сохраните файл c:\ Мои документы \ КЛАСС \Фамилия Имя

№ 3 Дополнительно

Вычислительный  эксперимент (оценка вероятностного события).

Смоделировать игровой  автомат Однорукий бандит: 3 «барабана», со случайным выпадением чисел от 1 до 10 (в столбцах A, B, C). Выигрыш определяется выпадением одинакового числа на каждом из «барабанов». Посчитать частоту выпадения выигрышных комбинаций за 1000 попыток.

Измените диапазон выпадения чисел (5, 20, 30), как это сказывается на количестве выигрышей?

Файл сохранить С:\Мои документы \КЛАСС \ Автомат

IV Домашнее задание  /комментарий/.

Рассмотреть другой способ проверки попадания точек  на фигуру и их подсчет (в №1).

Придумать задачу для решения которой применить функции Excel. Описать решение задачи.

V Итог

Сегодня на уроке  мы рассмотрели применение табличного процессора в качестве инструмента  для математического моделирования. Полученную математическую модель можно  использовать для проведения вычислительного  эксперимента т.е. для математических расчетов с целью прогноза поведения какой-то системы, с целью выяснения вопроса о том, как изменение одних характеристик системы отражается на других [http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/].

        Хотелось бы отметить, что вычислительный эксперимент используется не только в информатике. Одним из самых перспективных в плане внедрения методологии компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента в обучении предметом является физика. В первую очередь это связано с характером изучаемого материала, допускающего построение компьютерных моделей и исследование явлений методом компьютерного имитационного моделирования. Модели кладутся в основу демонстрационных и обучающих программ, программ тренажеров и численного эксперимента. Помимо этого на занятиях по физике возможны и "традиционные" формы использования ВТ - компьютерный контроль знаний, генерация индивидуальных заданий для решения задач, проведения расчетов. Кроме того, в применении НИТ в преподавании физики наметился переход от использования обучающих программ по отдельным разделам курса к созданию и практическому внедрению комплексов учебно-методического и программного обеспечения. Поэтому для преподавателей-практиков, методистов и разработчиков ППС весьма важной представляется информация о том какова результативность (адекватность) тех или иных элементов компьютерных технологий обучения и конкретных программных систем по сравнению традиционными технологиями. Такая информация может быть получена по схеме или на основе методов математического моделирования и вычислительного эксперимента. Таким образом полученная информация, несомненно, позволила бы выделить наиболее эффективные и рациональные формы организации учебного процесса в условиях информатизации образования и сформулировать рекомендации по видам и содержанию учебных программ[http://ito.su/2000/II/1/14.html].

      На примере урока «Изучение колебательного движения с помощью компьютера: натурный и вычислительный эксперименты» покажем использование вычислительного эксперимента в физике.

1. Изучение затухающих  колебаний с помощью оптодатчика. Установка для изучения затухающих колебаний состоит из физического маятника 1, выполненного в виде алюминиевой пластины размером 100 мм x 15 мм, и оптодатчика, подключенного к компьютеру 7 (рис.1). Оптодатчик включает в себя лазер или светодиод 4, фотодиод 5 и формирователь сигнала 6, подсоединенный к ПК через порт LPT. Маятник на конце имеет флажок 3 шириной 5 мм, служащий для перекрывания светового пучка. При пересечении оптодатчика на выходе формирователя сигнала 6 появляется логический 0. Измерив с помощью компьютера время пересечения  и ширину флажка  , можно определить скорость маятника. Результаты измерений выводятся на экран компьютера в виде графика и (или) сохраняются в файле для их последующей обработки.

Программа, обрабатывающая сигналы с оптодатчика, написана на языке Pascal, ее текст представлен ниже. С помощью оператора Port[888]:=255; в ячейку памяти с адресом   записывается число  , в результате чего на выводах 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 параллельного порта LPT появляется напряжение высокого уровня. От одного из этих выводов должен быть запитан оптодатчик.

В цикле Repeat ... until KeyPressed; осуществляется периодическое измерение времени затемнения светодиода, вычисление скорости, построение точек на экране, запись результатов измерений в файл. Пока фотодиод освещен, на выходе формирователя сигнала 6, соединенным с 11 выводом порта LPT ПК, логическая 1. В ячейке ОЗУ с адресом   записано число  , поэтому программа вращается в цикле Repeat … until port[889] =127;. При перекрывании светового пучка на 11 выводе порта появляется логический 0, число 225 в ячейке ОЗУ с адресом   сменяется на 127, программа выходит из этого цикла. В следующем цикле Repeat t := t + 1; delay(1) until port[889]=255; происходит счет времени затемнения фотодиода. При каждом прохождении цикла переменная   увеличивается на 1.

uses crt, graph; Программа 1 
const period=0.6; var t, n, MT, Gd, Gm: integer; F: text; v, vv, gamma: real; 
BEGIN Gd := Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi'); 
if GraphResult <> grOk then Halt(1); Port[888]:=255; n:=0; MT:=4; 
setcolor(8); setbkcolor(15); line(10,420,620,420); line(10,30,10,420); 
OutTextXY(20,30,'AMPLITUDE V'); OutTextXY(600,430,'TIME'); 
Assign(F,'c:\bp\dat.txt'); Rewrite(F); v:=1; 
Repeat t:=0; Repeat until port[889]=127; 
Repeat t:=t+1; delay(1) until port[889]=255; 
vv:=v; v:=50000/t; gamma:=ln(vv/v)/period; 
WriteLn(F, t, v, gamma); n:=n+1; circle(10+MT*n,420-round(50000/t),2); 
until KeyPressed; Close(F); CloseGraph; 
END.

Когда фотодиод снова оказывается освещен, на выходе оптодатчика появляется логическая 1, выполняется условие port[889]=255; и программа выходит из цикла. Значение переменной   пропорционально времени перекрывания светового пучка. Это позволяет вычислить скорость маятника в положении равновесия   и построить точку на графике. Программа находит коэффициент   и записывает результаты всех вычислений в файл dat.txt.

Для градуировки измерителя времени следует перекрыть световой пучок на время 2––4 с, отсчитанное  по механическому секундомеру, и  определить значение t, соответствующее 1 c. Чтобы увеличить затухание, на маятнике устанавливают бумажный экран, повышающий коэффициент сопротивления и снижающий добротность колебательной системы. Получающиеся на экране компьютера графики показаны на рис.1. Этот эксперимент может использоваться как для демонстрации на лекции, так и на лабораторных занятиях.

2. Изучение механических  колебаний с помощью АЦП. Для построения графика свободных затухающих колебаний и фазового портрета колебательной системы необходимо определять координату колеблющегося тела с частотой в десятки раз превышающей частоту исследуемых колебаний. Этого можно достичь с помощью аналого–цифрового преобразователя (АЦП), осуществляющего оцифровку плавно изменяющегося напряжения, снимаемого с датчика координаты.

Установка (рис. 2) состоит из стального шарика 1, катающегося по изогнутым направляющим 2, служащими резистивным датчиком координаты. На одну из направляющих надета нихромовая спираль, на концы которой подано напряжение 10 В. Напряжение, снимаемое со второй металлической направляющей, оказывается пропорционально координате шарика. Оно подается на АЦП, состоящий из генератора пилообразного напряжения 3, компаратора 4 и персонального компьютера 5. Частота пилообразного напряжения   в десятки раз превышает частоту   сигнала с датчика. При этом на выходе АЦП возникает последовательность прямоугольных импульсов частотой  , длительность которых зависит от входного напряжения. Эти импульсы подаются на 11 вывод LPT–порта персонального компьютера, который определяет их длительность и строит график   и фазовый портрет системы (рис. 3).

Для обработки сигналов с АЦП, используется программа 2. Она  содержит цикл по времени, в который  вложен цикл по переменной  . Пока на выходе компаратора логическая 1, значение   увеличивается на 1. Результаты измерения координаты   выводятся на экран в виде графика (рис. 3, слева) и, при необходимости, сохраняются в файле. Для получения фазовой кривой (рис.3, справа) в режиме реального времени необходимо, чтобы программа вычисляла скорость шарика. Кривая оказывается больше похожей на ломанную вследствие погрешностей, неизбежно возникающих при измерениях координаты и вычислениях скорости шарика.

Для изготовления датчика  координаты подойдет спираль от электроплитки  с номинальными напряжением 220 В и мощностью 400 Вт. Чтобы исключить дребезг контактов параллельно датчику включают конденсатор емкостью 20 мкФ. Генератор линейно-импульсного напряжения собран на тиристоре ВТ169D. В качестве компаратора используется операционный усилитель К544УД2А. При необходимости его выход согласуют с LPT-портом компьютера с помощью транзистора КТ315А. Опыты производились с ПК 80486 и Celeron, операционные системы MS DOS и Windows 98. Другой способ изучения колебаний описан в приложении (prilog.htm).