Математический и вычислительный эксперимент в образовательной практике

uses crt, graph; Программа 2 
var DriverVar, ModeVar, ErrorCode, u, uu, x, time : integer; 
Procedure GraphInit; 
begin DriverVar:=Detect; InitGraph(DriverVar,ModeVar,'c:\bp\bgi'); 
ErrorCode:=GraphResult; if ErrorCode<>grOK then Halt(1); end; 
Begin GraphInit; repeat x:=0; 
repeat uu:=u; u:=port[889]; delay(15); 
if u<>127 then x:=x+1; 
until (uu=127)and(u<>127); time:=time+1; 
circle(3*time,400-x,1); circle(3*time,400-x,2); 
until KeyPressed; CloseGraph; 
End.

3. Моделирование затухающих  колебаний на ПК. Программа, позволяющая провести вычислительный эксперимент, моделирующий затухающие колебания на компьютере, представлена ниже. В основе предлагаемой модели –– метод Эйлера, в котором бесконечно малые приращения функций (координаты, скорости и ускорения) и приращения аргумента (времени) заменяются малыми, но конечными разностями. Из второго закона Ньютона следует уравнение затухающих колебаний:   или  . Рассмотрим алгоритм его решения (программа 3):

1. Задают параметры колебательной системы  ,  ,  , ее начальное состояние  ,  , и шаг по времени  . Внешняя сила отсутствует: .
2. Начало цикла по времени: переменной   присваивают значение  .
3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в момент времени   по формулам:  ,  ,  .
4. По результатам вычислений строят графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени.

Графики  ,  , а также фазовая кривая   в случае затухающих колебаний представлены на рис 4. Учащиеся видят, что с течением времени амплитуда уменьшается, фазовая кривая стремится к началу координат (фокусу).

4. Моделирование вынужденных  колебаний на ПК. Рассмотрим программу, позволяющую реализовать вычислительный эксперимент для изучения вынужденных колебаний. Вынужденные колебания описываются уравнением:   или  . Алгоритм его решения аналогичен (программа 3), отличие в том, что задается вынуждающая сила  . Учащиеся могут провести серию вычислительных экспериментов, изменяя частоту вынуждающей силы, параметры колебательной системы, и снять резонансную кривую. Видно, что фазовая кривая стремится к устойчивому аттрактору, имеющему форму эллипса (рис.5).

SCREEN 12: m = .1: k = 10: r = .1: w = 9.5: dt = .001 Программа 3 
WHILE INKEY$ = "" 
t = t + dt : F = 10 * SIN(w * t): a = (F - k * x - r * v) / m : v = v + a * dt : x = x + v * dt 
CIRCLE (100 * t + 10, 240 - 5 * x), 1 : CIRCLE (100 * t + 10, 240 - 1 * v), 2 
CIRCLE (100 * t + 10, 100 - 1 * F), 1 : 'CIRCLE (320 + 10 * x, 240 - 1 * v), 1 
WEND

5. Моделирование автоколебаний  на компьютере. Пусть колебательная система посредством положительной обратной связи сама регулирует поступлением энергии от источника. Например, вблизи положения равновесия, когда –0.3< <0.3 и тело движется в направлении оси OX, на него действует постоянная сила. Программа 4 и получающиеся кривые представлены ниже (рис.6). На графиках хорошо видно, как один раз за период система получает порцию энергии и скорость тела увеличивается.

SCREEN 12: m = 1: k = 1: r = .03: dt = .001: x = 0: v = .01 Программа 4 
LINE (0, 240)-(640, 240): LINE (0, 241)-(640, 241) 
WHILE INKEY$ = "" 
IF (.3 - ABS(x) > 0) AND (v > 0) THEN F = 3 ELSE F = 0 
t = t + dt : a = (F - k * x - r * v) / m : v = v + a * dt : x = x + v * dt 
CIRCLE (15 * t + 10, 240 - 15 * x), 2 : CIRCLE (15 * t + 10, 240 - 40 * v), 1 
'CIRCLE (320 + 50 * x, 240 - 40 * v), 1 
WEND

Другим примером автоколебательной  системы является фрикционный маятник  Фроуда, состоящий из физического маятника, висящего на вращающемся валу. Колебания возникают за счет того, что сила трения с ростом скорости движения маятника относительно вала убывает. В рамках нашей модели (программа 5) будем считать, что она убывает по экспоненциальному закону. При движении маятника в направлении вала сила трения велика, она совершает большую положительную работу, подталкивая маятник. При движении в направлении противоположном вращению вала, сила трения, тормозя маятник, совершает отрицательную работу, которая сравнительно мала. В результате амплитуда колебаний растет. Маятник колеблется относительно положения равновесия, смещенного в направлении вращения вала, его максимальная скорость в установившемся режиме не превышает скорости вала (рис. 7).

SCREEN 12 : m = 1: k = 1: r = .05: dt = .005: vv = 2: x = 0: v = .01 Программа 5 
LINE (10, 0)-(10, 480) : LINE (0, 240)-(640, 240) 
WHILE INKEY$ = "" 
IF ((vv - v) > 0) THEN z = 1 ELSE z = -1 
F = 1.6 * z * EXP(-.1 * ABS(v - x))  
t = t + dt : a = (F - k * x - r * v) / m : v = v + a * dt : x = x + v * dt 
CIRCLE (10 * t + 10, 240 - 20 * x), 2 : CIRCLE (10 * t + 10, 240 - 100 * v), 1 
CIRCLE (10 * t + 10, 240 - 100 * vv),1 :CIRCLE (180 + 100 * x, 240 - 100 * v), 2 
WEND

6. Компьютерная модель  хаотических колебаний. Рассмотрим колебательную систему, состоящую из шарика, находящегося внутри потенциальной ямы, задаваемой функцией:  , и имеющей два симметричных углубления. Пусть на шарик действует вынуждающая сила  . Потенциальная энергия создает возвращающую силу  . Из второго закона Ньютона получаем  . Это дифференциальное уравнение Дафинга, оно описывает хаотические колебания, происходящие относительно двух положений равновесия. Для его решения используется программа 6.

SCREEN 12 : m = 1 : k = .5 : r = .05 : w = .5 : dt = .002 Программа 6 
vv = 2 : x = 0 : v = .01 
WHILE INKEY$ = "" 
t = t + dt : F = SIN(w * t) 
a = (F - k * (x * x * x - x) - r * v) / m : v = v + a * dt : x = x + v * dt 
'CIRCLE (10 * t + 10, 240 - 20 * x), 2 : 'CIRCLE (10 * t + 10, 240 - 100 * v), 1 
CIRCLE (320 + 100 * x, 240 - 100 * v), 2 
WEND

Из графиков видно, что  шарик движется хаотически, совершенно непредсказуемым образом перескакивая из левой потенциальной ямы в  правую и наоборот. Фазовая кривая имеет многочисленные самопересечения[http://festival.1september.ru/].

       Вычислительный компьютерный эксперимент служит мостом между лабораторным экспериментом и теоретическими моделями. Отправным пунктом численного моделирования является разработка идеализированной модели рассматриваемой физической системы. Затем определяется алгоритм для реализации данной модели на компьютере. Численное моделирование, как и лабораторные эксперименты, не заменяет размышление, а является инструментом постижения сложных явлений. С помощью измерительных приборов снимаются параметры физических процессов, вводятся в компьютер, который их обрабатывает с помощью определённой программы.      В компьютер загружается программа-симулятор какого-либо физического процесса с возможностью вмешательства в этот процесс исследователя, который сидит у компьютера. После соответствующих операций компьютер обрабатывает данные, получившиеся в результате, и выдаёт их на экран монитора.

         Для реализации  вычислительного эксперимента создано  несколько программ, посвящённых  разгадке содержимого электрического  «чёрного ящика», в котором могут  находиться резисторы, лампочки  накаливания, диоды, конденсаторы, катушки и т.д. На практике  и в быту мы очень часто  встречаемся с приборами и  устройствами, имеющими вход и  выход. Например, радиоприёмник,  телевизор, стабилизатор напряжения, выпрямитель и т.д. Мы знаем,  как включать эти приборы в  электрическую сеть и что будет  на выходе (звук, изображение, напряжение  и т.д.). Но что находится внутри  этого прибора, мы не знаем.  Это и есть «чёрный ящик».  Оказывается, в некоторых случаях  можно, не вскрывая «чёрный  ящик» узнать его содержимое, подключая ко входу и выходу различные устройства. На школьном уровне электрический «чёрный ящик» можно сделать из несложных трёх- или четырёхполюсников. Такие задачи развивают воображение, пространственное мышление и творческие способности, не говоря о том, что должны быть глубокие и прочные знания по тому разделу физики, к которому относится «чёрный ящик». Поэтому совсем не случайно на многих всесоюзных и международных олимпиадах по физике в  качестве задач предлагалось исследование «чёрных ящиков».

         Заслуга вычислительного эксперимента в том, что он, по сравнению с натурным, значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, его легко переделывать, он даёт более подробную информацию. Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента выявляются границы применимости математической модели, которые позволяют прогнозировать эксперимент в естественных условиях. Поэтому использование вычислительного эксперимента ограничивается теми математическими моделями, которые участвуют в проведении исследования. По этой причине вычислительный эксперимент не может заменить полностью эксперимент натурный и выход из этого положения состоит в их разумном сочетании. В этом случае в проведении сложного эксперимента используется широкий спектр математических моделей: прямые задачи, обратные задачи, оптимизированные задачи, задачи идентификации.

        В начальной школе вычислительный эксперимент возможно использовать только в самых простейших формах, поскольку у младших школьников ещё не достаточно опыта для выполнения подобных заданий, тем более самостоятельно.

 

 

Заключение

 

       Метод  эксперимента, в том числе математического  и вычислительного,  весьма продуктивен  в средней и старшей школе  на уроках математики, геометрии,  физики. Использование этих методов повышает эффективность процесса обучения: знания усваиваются более глубоко и полно, что отражается также на успешности изучения смежных дисциплин. Способствует формированию у обучающихся конструктивных и организаторских умений, которые имеют ведущее значение в профессиональной деятельности. Помогает формированию навыков самостоятельной поисково-исследовательской деятельности, развивает важные качества мышления: креативность, умение проводить логические рассуждения, обобщать, делать выводы и т.д., т.е. реализует развивающие функции обучения. Вычислительный эксперимент, по сравнению с натурным, значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, его легко переделывать, он даёт более подробную информацию. Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента выявляются границы применимости математической модели, которые позволяют прогнозировать эксперимент в естественных условиях. Но данные методы используются довольно редко. Главная причина – нехватка учебного времени. Играют свою роль также личность учителя, его умение проводить и организовывать эксперименты, уровень подготовленности обучающися. Я считаю, что учитывая все плюсы математического и вычислительного эксперимента, учителям следует обратить на них особое внимание. Конечно, не все уроки можно проводить с помощью данных методов, но многие занятия можно сделать наиболее результативными, если разумно использовать на них математический и вычислительный эксперимент. Что же касается начальной школы, то использование данных методов там затруднительно из-за возвратной специфики обучающихся. Они ещё не способны к такому высокому уровню самостоятельности из-за недостаточности накопленных знаний, поэтому в научной литературе недостаточно разработана данная тема. Возможно, если взять какие-то элементы из математического и вычислительного эксперимента, их можно будет использовать в начальной школе и увеличить самостоятельность обучающихся, научить их учиться, как требует новый образовательный стандарт второго поколения для начальной школы.

 

 

 

 

 

                                                  

 

Литература

 

Бахир В.К. Макаровская А.П. Степанов В.М. Эксперимент в начальных классах // Начальная школа.-1997.- № 5.

Бидайбеков Е.Ы., Корнилов В.С. Математическое моделирование и численные методы. Введение. Алматы: АГУ им.Абая, 1998 

Пахомова Н.А.. «Методика  формирования понятия «Вычислительный  эксперимент»».

Попов Ю.П., Самарский А.А. Вычислительный эксперимент. // Сб. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования. М., 1988. –С.16-78

Поспелов Д.А.. «Информатика - энциклопедический  словарь для начинающих». Москва 1994.

Самарский А.А.. «Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент». Москва «Наука» 1988.

Сениченков Ю.. «Три урока по теме «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» с помощью Model Vision”.

Энциклопедия образования / Акад. пед. наук Украины; гл. ред. В.Г. Кремень. - М.: Интер, 2008. - 1040с.

Computing Curricula 2001: Computer Science http://se.math.spbu.ru/cc2001 

http://cor.edu.27.ru/dlrstore/d128d14c-f319-4e0f-901a-3ed453834ee2/konspecty_lectziy/konspecty_lectziy.htm

http://ito.su/2000/II/1/14.html

http://www.ug.ru/archive/41577

http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/metodicheskaya-razrabotka-uroka-elektronnye-tablicy-vychislitelnyy

http://festival.1september.ru/