Безвихревого движения жидкости в пространстве

Министерство  образования Российской Федерации

Тульский государственный  университет

Кафедра прикладной математики и информатики

                                                                       

 

                                                                        Утверждаю

                                                                        Зав. кафедрой ПМиИ

                                                                        ___________________ В.И. Иванов

                                                                        «___»  _____________ 20___ г.

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по курсу

«Математическое моделирование»

на тему:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Автор работы _______________ студент гр.      _________        _________________           

                                                   (подпись, дата)                                                                   (инициалы, фамилия)

Руководитель  работы ____________   ______________             _________________

                                                                      (подпись, дата)               (должность)                   (инициалы, фамилия)

Работа защищена _________________ с оценкой  ________________________

                                                        (дата)

Члены комиссии  ____________________                 ________________________

        (подпись, дата)                                         (инициалы, фамилия)

                                    ____________________                 ________________________

     (подпись, дата)            (инициалы, фамилия)

                                    ____________________                 ________________________

      (подпись, дата)            (инициалы, фамилия)

 

 

 

 

Тула 20___г.

 

                                                                        Утверждаю

                                                                        Зав. кафедрой ПМиИ

                                                                        ___________________ В.И. Иванов

                                                                        «___»  _____________ 20___ г.

 

 

ЗАДАНИЕ

 

на курсовой проект по курсу  ________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

студенту гр. 530281   _________________________________________________________

                                                                                         (фамилия, имя, отчество)

Тема работы:  ________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________    _______________________________________________________________________

Входные данные: ____________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание получил:   _______________               _____________________

                                              (подпись)                                            (дата)

 

График выполнения работы:  ________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

Замечания консультанта:   ___________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

 

К защите. Консультант  работы  ______________________        ____________________

                                                                                    (подпись)                                                (дата)

 

 

 

 

 

 

 Реферат

Основной целью данного  курсового проекта  является  изучение безвихревого движения жидкости в пространстве.

Пояснительная записка  к курсовому проекту состоит  из двух основных частей: теоретической  и практической.

В теоретической части  рассматривается безвихревое движение и его свойства, простейшие пространственные потоки, функция тока в пространственных движениях, выводится уравнение продольного осесимметричного движения и на примере обтекания сферы показан парадокс Даламбера.

Практическая часть  содержит пример осесимметричного продольного обтекания тела вращения – эллипсоида. В приложениях построены графики, выполненные  в пакете Maple 9.5.

 

Объем пояснительной  записки:  35 стр.

Иллюстраций: 6

Источников: 6

Ключевые слова: безвихревое движение, осесимметричное движение, потенциал, системы криволинейных координат, функции тока, уравнение Лапласа, источник, сток, диполь, поверхность тока,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .   5

1. Теоретическая часть    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .  6

1.1 Свойства безвихревого движения.    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    . 6   

1.2 Классификация задач безвихревого движения    .    .    .    .    .    .    .    .  9   

1.3 Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков    .    .10

1.4 Функция тока в пространственных движениях   .    .    .    .    .    .    .    .16

1.5 Обтекание сферы, парадокс Даламбера     .    .    .    .    .    .    .    .    .    .20

1.6 Уравнение продольного осесимметричного движения.    .    .    .    .    .22

2. Практическая часть.    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .24

2.1 Осесимметричное продольное  обтекание тела вращения .    .    .    .    .24

2.2 Применения метода  особенностей    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .30

Заключение  .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .32

Список используемой литературы     .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .33

Приложение .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Изучение неодномерных течений идеальной жидкости: плоских, осесимметричных и более общих, пространственных движений представляет математические трудности. Основным допущением, сыгравшим историческую роль в деле приближения теоретической гидродинамики к конкретным приложениям, явилось предположение об отсутствии в движущейся идеальной жидкости завихренности.

Хотя может показаться, что свойство течения быть безвихревым  весьма специфично, оно приобретает большое практическое значение благодаря следствию из теоремы Кельвина о циркуляции, состоящему в том, что элементы однородной жидкости, приведенные в движение из состояния покоя, движутся далее без вращения до тех пор, пока они не попадут в область, где силы вязкости оказываются существенными. Надлежащее понимание теории безвихревого течения и оценка ее многочисленных приложений необходимы во всех разделах гидродинамики.

Примерами потоков, в  которых допущение потенциальности  оказывается особенно полезным, являются течения, взаимодействующие с насадками, водосливами, затворами шлюзов и закруглениями трубопроводов со сжатием, а также случаи обтекания предметов, движущихся относительно потока жидкости. Все эти системы имеют две общие характеристики: 1) движение жидкости, начинающееся из состояния покоя или от малой скорости, так быстро ускоряется, что завихрения неощутимы, 2) число Рейнольдса обычно настолько велико, что влиянием вязкости можно пренебречь. Таким образом, потенциальность обычно связывают с отсутствием вязкости, хотя это необязательное условие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая  часть.

1.1 Свойства безвихревого движения.

Уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. Обычно для обоснования этого предположения пользуются теоремой Коши-Лагранжа, которая утверждает, что баротропное движение идеальной жидкости является безвихревым, если каждая частица жидкости первоначально находилась в состоянии покоя. Можно воспользоваться следующими двумя теоремами.

Теорема Кельвина: при баротропном движении идеальной жидкости под действием поля объемных сил с однозначным потенциалом циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется. В этом предположении во всей области движения имеем , и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал φ, определяемый равенством . Отсюда следует теорема Лагранжа: если во всех точках баротропно движущейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в некоторый начальный момент времени был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой последующий  момент времени.

1) Безвихревое движение  характеризуется существованием  потенциала скорости φ=φ(x,t), такого, что v=gradφ. Если рассматриваемая жидкость несжимаемая, то divv=0 и потенциал φ удовлетворяет уравнению Лапласа . Задача о безвихревом движении несжимаемой жидкости сводится просто к решению уравнения Лапласа при соответствующих граничных условиях. Рассмотрим случай, когда жидкость занимает все пространство вне одного или нескольких движущихся твердых тел конечных размеров. Предположим, что на бесконечности жидкость движется равномерно со скоростью U, т.е. что . Тогда потенциал и скорость при имеют следующие асимптотические представления:

Здесь x=(x,y,z) и .

2) Максимум скорости  достигается на границе области  течения.

3) Кинетическая энергия. Для течения в ограниченной односвязной области σ легко показать, пользуясь формулой Грина, что

,

где через L обозначена граница σ. Эта формула справедлива и для области σ, внешней по отношению к L, если только жидкость на бесконечности покоится.

4) Единственность. Предположим,  что течение жидкости в односвязной  области полностью определяется  заданием движения обтекаемых  тел и величины U. В самом деле, пусть и - потенциалы двух течений, удовлетворяющих вышеуказанным требованиям; тогда является потенциалом течения, с нулевой скоростью на бесконечности и на поверхности движущихся тел. Предполагая, что область течения односвязна, получаем из формулы для кинетической энергии, что E=0. Т.к. это означает, что gradφ=0 и φ=const, то два рассматриваемых течения совпадают.

Если область неодносвязна, то указанные  выше условия не обеспечивают единственности течения.

Заметим, что теорема единственности показывает, что на границе области течения нельзя задавать, кроме , еще какие-нибудь дополнительные условия. В частности, условие прилипания на поверхности твердого тела при безвихревом движении жидкости, как правило, не выполняется.

5) Парадокс Даламбера:  при безвихревом стационарном  обтекании тела конечного размера  идеальной несжимаемой жидкостью  и отсутствии вокруг тела истоков  либо стоков главный вектор  сил давления потока на тело  равен нулю. Парадокс Даламбера  справедлив для тел конечных размеров, ограниченных замкнутой поверхностью.

6) Теорема Кельвина о минимуме энергии.

Рассмотрим движения жидкости в  ограниченной односвязной области  σ, удовлетворяющие на границе L условию

где h – некоторая заданная на L функция. Другими словами, проекция количества движения на нормаль имеет в точках L для всех течений рассматриваемого класса одно и то же значение. Следующий признак является характерным для безвихревого движения в классе всех движений несжимаемой жидкости, удовлетворяющих условию на границе.

Принцип Кельвина. Среди  всех течений несжимаемой жидкости в области σ, удовлетворяющих  условию на гранце, безвихревое течение имеет минимальную кинетическую энергию.

Справедливо обратное утверждение; это  утверждение является, по существу переформулировкой известного принципа Дирихле для гармонических функций.