Безвихревого движения жидкости в пространстве

Принцип Дирихле. В классе всех безвихревых  течений  в области σ наибольшее значение функционалу

дает течение, удовлетворяющее условиям

, на L.

Множитель ρ, фигурирующий в последних формулах, представляет собой некоторую заранее заданную постоянную, которую естественно принять за плотность течения, дающего максимум функционалу Е. Движения рассматриваемого класса не обязаны удовлетворять условию , и их плотности, следовательно, нельзя отождествлять с ρ. Для доказательства принципа Дирихле обозначим через φ потенциал безвихревого движения, удовлетворяющего условиям на границе. Ясно, что φ является гармонической функцией и определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной. Простые преобразования приводят к следующему равенству:

где через  обозначен потенциал любого другого течения. Таким образом, , причем равенство возможно тогда и только тогда, когда , что и требовалось доказать.

Очевидно, что минимальное  значение энергии в принципе Кельвина в точности равно максимуму E в принципе Дирихле. Это следует из того, что для течения с экстремальной энергией и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Классификация задач безвихревого движения.

Хронологически первой граничной задачей потенциальной теории была проблема вычисления гармонического потенциала во всей зоне при заданных величинах потенциала на границе. Доказательство существования такого потенциала и выражение его для данных условий известны как проблема Дирихле. Примеры этому общеизвестны в электростатике, где наружное поле отыскивается по потенциалу на поверхности проводника. В потоке жидкости примером является установление потенциала, соответствующего определенным свободным линиям тока.

Второй граничной задачей потенциальной теории была проблема вычисления потенциала, нормальные производные которого равны заданным значениям по всей границе. Она известна как проблема Неймана; поток вокруг твердых тел часто приводит к этому типу граничных условий.

Более общая проблема заданного потенциала по части тела и заданного нормального градиента по остальной границе встречается в линеаризованной теории кавитации скользящих поверхностей гидроплана, для которых как твердое тело, так и свободная поверхность тока существует в одной системе.

В четвертой группе задач  граничные условия предстают  в форме линейных отношений между  и . Типичным примером их являются гравитационные волны. В качестве первого приближения можно допустить, что свободная поверхность находится в простом гармоническом движении с периодом ; граничное условие при этом составляет , что получило название задачи Коши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Потенциалы скоростей простейших пространственных потоков.

Потенциальная теория получила свое название по скалярной функции  или потенциалу , который служит для полного описания определенного ряда условий в пространстве и времени. Хотя потенциал является скалярной величиной, векторная функция, называемая его градиентом, может быть выведена из потенциала путем частного дифференцирования. При любой системе координат компонент градиента в любом направлении равен скорости изменения потенциала в этом направлении.

Уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если предположить, что движение безвихревое. В этом предположении во всей области движения имеем , и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал φ, определяемый равенством .

В прямоугольной декартовой системе

.

В проекциях на оси  криволинейных координат 

                                 (1)

В цилиндрической и сферической  системах криволинейных координат  имеем

цилиндрические координаты:

                                       (2)

сферические координаты:

                                (3)

Предполагая еще, что  жидкость несжимаема, составим равенство

,                                    (4)

Представляющее собой  известное уравнение Лапласа. Искомый  потенциал скоростей φ является решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим  определенным граничным условиям. Рассмотрим задачу о внешнем обтекании неподвижного твердого тела с поверхностью σ и ортом внешней нормали n безграничной жидкостью, причем поток на бесконечности считаем однородным и имеющим скорость . Тогда граничным условиями будут:

условие непроницаемости  поверхности тела

 на поверхности σ;

условие на бесконечности

 при  ,

где r – радиус-вектор точек области течения относительно начала координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности σ и при только что указанных граничных условиях уравнение Лапласа имеет единственное решение (задача Неймана). Перейдем к рассмотрению некоторых простейших частных гидродинамических задач, а затем и более общих пространственных течений.

Начнем с установления потенциалов  простых движений.

1. Безграничный однородный прямолинейный поток, имеющий заданную скорость с проекциями , , , удовлетворяет очевидной системе равенств

Следовательно, потенциал  скоростей в этом случае равен

,                  (5)

где α, β, γ – углы заданного направления потока с осями координат Ox, Oy и Oz.

2. Поток от источника (стока) мощности Q, помещенного в начало координат О в безграничной жидкости, симметричен и дает поле скоростей, отвечающее очевидному условию сохранения расхода

,

где R – расстояние точки потока от источника; отсюда получим

.

Замечая, что в сферической  системе координат

,

найдем искомый потенциал  скоростей

,                                                     (6)

причем в случае источника Q>0, в случае стока Q<0.

3. Поток диполя в безграничной жидкости получим, используя прием наложения потоков. Определим сначала потенциал скоростей поля, создаваемого совокупностью источника и стока с равными по абсолютной величине мощностями ±Q.

Расположим сток в  точке А прямой линии AL, источник – в точке A', находящейся от точки А на расстоянии АА'=Δs. Определим потенциал скоростей φ в некоторой точке М с вектором-радиусом , образующим угол θ с направлением прямой AL; найдем ( )

Предположим теперь, что  источник сближается со стоком, а мощность увеличивается до бесконечности  и при этом выполняется равенство

Тогда, переписывая потенциал  скоростей φ в виде

и переходя к пределу, получим 

,                                                (7)

или, вычисляя производную  и замечая, что, согласно рисунку,

получим

                                                   (8)

Полученный предельный поток с потенциалом скоростей  φ, определенный формулами (7) или (8), называют потоком диполя в точке А с осью AL и моментом m. Иногда момент диполя рассматривают как вектор m, имеющий величину m и направленный по оси диполя AL; при этом потенциал диполя можно представить при помощи скалярного произведения момента на вектор-радиус так:

.

Поле осесимметричного диполя (ψ – функция тока, φ  – потенциал)

4. Непрерывное распределение источников в безграничной жидкости. Пусть внутри некоторого объема τ непрерывно распределены источники (стоки) так, что на единицу объема приходится мощность q. Величина q, представляющая собой функцию координат точек в объеме τ, играет роль объемной плотности распределения источников (q>0) или стоков (q<0). Элементу объема dτ, находящемуся в некоторой точке А объема τ, соответствует источник мощности qdτ, и потенциал скоростей этого элементарного источника в любой точке М пространства, заполненного жидкостью, как внутри, так и вне объема τ равен

,

где r – длина вектора-радиуса , соединяющего элементарный источник в точке А с текущей точкой пространства М. пользуясь приемом наложения потоков, определим потенциал скоростей в точке М от непрерывно распределенных в объеме τ источников в виде

                                                 (9)

Интегрирование производится по всем элементарным объемам, образующим объем τ, т.е. по переменным координатам точки А, в то время как точка М, в которой определяется потенциал скоростей, является фиксированной. Если обозначить через a, b, c декартовы координаты точки А, а через x, y, z – координаты точки М, то формулу (9)можно переписать явно так:

                    (10)

Если область течения  жидкости безгранична, то функция φ при удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим через R среднее расстояние точки М от частиц конечного объема τ; тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что потенциал скоростей φ будет стремиться к нулю, как 1/R при , или, иначе, что функция φ имеет порядок малой величины 1/R: .

Вспоминая определение  дивергенции вектора скорости как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно распределенных источников, можем для любой точки объема τ написать , откуда, используя равенства , получим следующее уравнение Пуассона:

                                                        (11)

Отсюда следует, что  функция φ, определенная формулой (9) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный  источниками конечный объем τ, является решением уравнения Пуассона (11) внутри объема; в остальной области, где q=0, функция φ представляет собой решение уравнения Лапласа , причем .

Следует иметь в виду, что указанное  решение является лишь простейшим частным решением уравнения Пуассона, отвечающим безграничной области и не подчиненным граничным условиям.

Наряду с объемным распределением источников в гидродинамике рассматриваются  еще поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверхностной и линейной плотности распределения источников то же обозначение q, будем иметь соответствующие потенциалы скоростей в виде поверхностного и линейного интегралов

                                       (12)

Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей непрерывного распределения источников по некоторой поверхности σ, дает гидродинамическую интерпретацию потенциала простого слоя, который является решением уравнения Лапласа. Производная от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности σ претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность σ разрыв непрерывности – конечный скачок.

Можно ввести понятия для непрерывного распределения диполей. Наиболее важное из них образует двойной слой. Возьмем  некоторую поверхность σ и покроем ее непрерывно распределенными диполями так, чтобы моменты их (или оси) совпали по направлению с внешними нормалями n к поверхности σ. Обозначив плотность распределения через m, получим вектор момента диполя, приходящегося на элементарную площадку dσ с ортом внешней нормали n, в виде mdσn, а элементарный потенциал скоростей dφ, согласно (7) или (8), будет равен

,

где θ – угол между  внешней нормалью к поверхности  σ и вектором-радиусом текущей точки М относительно точки А, взятой на поверхности.

Полный потенциал скоростей  от покрытой диполями поверхности σ

                         (13)

также называется потенциалом  двойного слоя, который является решением уравнения Лапласа, но претерпевает разрыв непрерывности при переходе текущей точки М через поверхность σ. Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно решать различные задачи обтекания тел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Функция тока в пространственных движениях.

Запишем уравнение несжимаемости diva=0 в следующем виде

Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например , повсюду равна нулю или сохраняет не зависящую от величину, причем в последнем случае коэффициенты Ламе и так же не зависят от . Тогда предыдущее уравнение сводится к более простому