Безвихревого движения жидкости в пространстве

                                    (37)

Этим уравнениям удовлетворяют  два класса независимых решений:

1) функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра , определяемые равенствами

и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов

;

2) функции Лежандра 2-го рода , определяемые равенствами

и рекуррентным соотношением

,

совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.

Представим решение  уравнения (37) как суму двух потенциалов:

1) потенциала  однородного потока, набегающего на тело со скоростью ; этот потенциал по первой из формул (33) равен

и 2) потенциала скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (36).

Функция , как полином n-й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при . В случае внешнего обтекания тела координата может достигать бесконечных значений, а координата μ ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем должно быть .

Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений

;

подчеркнем, что отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях величины λ, а следовательно, согласно (33), и величины , имеющей тот же порядок, что и λ:

~

~ .

Таким образом, будем иметь необходимый порядок убывания на бесконечности, если положим

                                          (38)

где – постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.

Складывая потенциалы и , получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной ,

                                  (39)

Для определения коэффициентов  найдем выражение функции тока ψ. По формулам (1), (14) и (34) будем иметь

или, после подстановки  разложения (39)

Переписывая второе равенство в виде

,

подставим под знак суммы  выражение для  из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (37)

.

Тогда будем иметь

Интегрируя по μ и добавляя необходимую функцию от λ, получим окончательное выражение для функции тока

                   (40)

Уравнение нулевой поверхности тока будет

                                           (41)

Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить коэффициенты . Определение коэффициентов сведено к решению алгебраической системы уравнений первой степени, что при современном состоянии вычислительной техники представляет простую задачу.

Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле

      (42)

Проиллюстрируем метод  простейшим примером. Рассмотрим обтекание  эллипсоида вращения, меридианное сечение которого имеет уравнение . Полагая в уравнении (41) =0 при n>1 и , получим

Потенциал скоростей  будут равен по (39)

                            (43)

Этому выражению можно  придать несколько иной вид, если ввести явно полуоси эллипсоида а и b<a, расположенные соответственно по осям Ox и Or. Будем иметь, согласно (33), уравнение эллипса в виде

,

откуда следует

или, вводя эксцентриситет e=c/a,

В этих обозначениях получим

                            (44)

Для проверки можно, пользуясь  этим выражением, получить потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что, по определению эллиптических координат, в этом случае будет при , где R и θ – сферические координаты. Производя разложения (λ>1, e<1)

и заменяя e на c/a, убедимся, что φ при стремится к

,

т.е. к известному выражению (26).

Проекции скорости на оси эллиптических координат  будут

Полагая здесь  , убедимся, что на поверхности эллипсоида ; это и естественно, так как координатные линии (λ) перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллипсоида определится равенством

.

Полученное только что  решение относится к обтеканию  эллипсоида вращения, удлиненного вдоль  по течению. Подобным же образом можно  исследовать случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридианного сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридианных плоскостях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Применение метода особенностей для расчета продольного обтекания тел вращения.

Изложенный метод исследования продольного обтекания тела вращения, основанный на непосредственном решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного, параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков), распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале дискретные особенности потока – системы источников (стоков) или диполей, а впоследствии – непрерывные их распределения.

Предположим для определенности, что на отрезке (–с,+с) оси Ox задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q(x). Тогда потенциал возмущенного движения, созданного этой системой особенностей, будет, согласно второй из формул (12), равен (знак минус введем в определение интенсивности q)

                                     (45)

Если задаться видом  функции q(x'), то, вычисляя интеграл (45), получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по r и x позволит вычислить и проекции скорости и . Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q(x') будет неизвестной функцией.

В настоящее время  методы приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанные на замене интеграла конечной суммой. Укажем на простую связь с предыдущим методом. Покажем, что при заданной форме поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестная функция q(x') может быть выражена через ранее введенные коэффициенты .

Разобьем ось симметрии  тела вращения Ox на две области: одну, определяемую интервалом , заполненным особенностями, и вторую, представляющую остальную часть оси Ox, где |x|>c. В эллиптических координатах λ, μ отрезок, на котором расположены особенности, представится согласно второй из формул (33), как

,

а остальная часть  оси Ox, как

.

Тогда, сравнивая между  собой вне отрезка (–c<x'<c) выражение потенциала возмущений (45) с соответствующим выражением потенциала, взятого из формулы (39), и приняв во внимание, что , получим следующее равенство:

                                   (46)

которое при заданных коэффициентах  можно рассматривать как интегральное уравнение для определения неизвестной функции q.

Интегральное уравнение (46) может быть решено, если искать решение в виде ряда

.

Подставляя это разложение в (46), получим

.

Замечая, что по известной  формуле теории функций Лежандра

,

перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде

,

откуда будет сразу  следовать искомое решение

.

Совокупность формул (45) и (46) позволяют при желании пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты . Эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения контура меридианного сечения в ряды по функциям от эллиптических координат, а уже затем проводить расчеты в эллиптических или цилиндрических координатах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Основной целью данного  курсового проекта было изучение безвихревого движения жидкости в пространстве.

В теоретической части  было рассмотрено безвихревое движение и его свойства, простейшие пространственные потоки, функция тока в пространственных движениях, выводится уравнение  продольного осесимметричного движения и на примере обтекания сферы показан парадокс Даламбера. В практической части содержится пример осесимметричного продольного обтекания тела вращения – эллипсоида. Функция ток и проекции компоненты скоростей найдены непосредственным решением уравнения Лапласа. Также приведен другой способ решения – метод особенностей.

Можно сделать вывод, что изучение теории безвихревого течения  и оценка ее многочисленных приложений необходимы во всех разделах гидродинамики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

[1] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. Для вузов. – 7-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2003. – 840с.

[2] Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. Пер. с англ. Под ред. Л.В. Овсянникова. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. – 256с.

[3] Рауз Х. Механика жидкости. Пер. с англ. – М.: Изд-во литературы по строительству, 1967. – 392с.

[4] Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. Пер. с англ. Под ред. Н.Н. Мосеева. – М.: «Мир», 1964. – 660с.

[5] Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. Пер.  англ. Под ред. Г.Ю. Степанова. – М.: «Мир», 1973. – 792с.

[6] Ламб Г. Гидродинамика. Пер. с англ. Под ред. проф. Н.А. Слезкина. – М.–Л: «ОГИЗ» Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. – 929с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

1. Проекция скорости и функция тока на поверхности эллипсоида.

restart: with(plots):

mu:=cos(eta): lambda:=cosh(xi): e:=0.3: a:=1: U_:=100:

Vmu:=U_*e^3*sqrt((1-mu^2)/(1-e^2*mu^2))/(e-0.5*(1-e^2)*ln((1+e)/(1-e)));

Phi:=-U_*a*( (1/2/e*ln((1+e)/(1-e))-1)/(1/2/e*ln((1+e)/(1-e))-1/(1-e^2))-1)*mu;

plot(Vmu,eta=0..Pi,V,view=[-0.1..4, -0.5..150]);

plot(Phi,eta=0..Pi,phi,view=[-0.5..4, -150..150]);

3. Компоненты скорости и функция тока в пространственных координатах.

restart: with(plots):

mu:=cos(eta): lambda:=cosh(xi): e:=0.3: a:=1: U_:=100:

Vl:=-U_*sqrt((lambda^2-1)/(lambda^2-mu^2))*((0.5*ln((lambda+1)/(lambda-1))-lambda/(lambda^2-1))/(0.5*ln((1+e)/(1-e))-e/(1-e^2))-1)*mu:

Vmu:=-U_*sqrt((1-mu^2)/(lambda^2-mu^2))*((0.5*lambda*ln((lambda+1)/(lambda-1))-1)/(0.5*ln((1+e)/(1-e))-e/(1-e^2))-lambda):

Phi:=-U_*a*( (lambda/2*ln((lambda+1)/(lambda-1))-1)/(1/2/e*ln((1+e)/(1-e))-1/(1-e^2))-e*lambda )*mu:

plot3d(Vl,eta=0..Pi,xi=0..1000);

plot3d(Vmu,eta=0..Pi,xi=0..1000);

plot3d(Phi,eta=0..Pi,xi=0..10);

 

Vl                Vmu                 φ

5. Линии тока.

> restart:with(plots):a:=1:

mu:=cos(eta): lambda:=cosh(xi): e:=0.1: a1:=1: U_:=100:

Vl:=(eta,xi)->-U_*sqrt(((cosh(xi))^2-1)/((cosh(xi))^2-(cos(eta))^2))*((0.5*ln(((cosh(xi))+1)/((cosh(xi))-1))-(cosh(xi))/((cosh(xi))^2-1))/(0.5*ln((1+e)/(1-e))-e/(1-e^2))-1)*cos(eta):

Vmu:=(eta,xi)->-U_*sqrt((1-(cos(eta))^2)/((cosh(xi))^2-(cos(eta))^2))*((0.5*(cosh(xi))*ln(((cosh(xi))+1)/((cosh(xi))-1))-1)/(0.5*ln((1+e)/(1-e))-e/(1-e^2))-(cosh(xi))):

dt:=a/50:

F:=proc(l::list, n::integer)

  local ll::list, a,b,i;

  ll:=l:

  a:=ll[1]: b:=ll[2]:

  for i from 1 to n do

    a:=evalf[15](a+Vl(a,b)*dt/a);

    b:=evalf[15](b+Vmu(a,b)*dt);

    ll:=ll,[a,b];

  od;

  return [ll];

end:

tr2:=F([Pi/4,3],20):

lp1:=listplot(tr2,coords=elliptic,color=red):

tr3:=F([Pi/3,3],20):

lp2:=listplot(tr3,coords=elliptic,color=green):

tr4:=F([Pi/2,4],20):

lp3:=listplot(tr4,coords=elliptic,color=yellow):

el1:=plot(sqrt(a1^2*(1-e^2)*(1-x^2/a1^2)),x=-a1..a1,color=blue):

el2:=plot(-sqrt(a1^2*(1-e^2)*(1-x^2/a1^2)),x=-a1..a1,color=blue):