Безвихревого движения жидкости в пространстве

и можно утверждать существование функции ψ, удовлетворяющей системе равенств

,                              (14)

откуда следует

                             (15)

Такого рода функцию  ψ будем называть функцией тока в  криволинейных координатах. Выбор верхних или нижних знаков произволен и определяется из дополнительных соображений.

Наличие функции тока зависит не только от характера движения, но и  от выбора криволинейной системы  координат, при помощи которой движение описывается.

Рассмотрим, например, осесимметричное  относительно оси Oz  движение несжимаемой жидкости в меридианных плоскостях, проходящих через ось Oz. При таком движении существуют все три декартовы проекции скорости u, v, ω и все они зависят от трех координат x, y, z, так что из уравнения несжимаемости , составленного в декартовых координатах, можно заключить об отсутствии функции тока. Вместе с тем при использовании цилиндрической системой координат r, ε, z при меридианности движения ( ) уравнение несжимаемости имеет вид

                                            (16)

и позволяет найти функцию тока ψ(r,z), связанную с проекциями скорости на оси цилиндрических координат соотношениями (выбор знаков будет вскоре пояснен)

откуда

                                         (17)

Аналогично в сферической  системе координат (R, θ, ε) при уравнение несжимаемости имеет вид

                                 (18)

и проекции  скорости на оси сферической системы координат выражают через соответствующую функцию тока ψ следующим образом:

                               (19)

Введенная уравнениями (15) функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении. Замечая, что в ортогональных криволинейных координатах уравнение линии тока при имеет вид

по (15) найдем

.

Следовательно, вдоль  линии тока

.

В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридианным плоскостям (ε=const) равенства ψ=const представят поверхности, образованные вращением линий тока вокруг оси Оz. Поверхности ψ=const назовем поверхностями тока. В рассмотренном только что частном случае осесимметричного движения можно на оси Оz положить ψ=0; тогда значения ψ будут пропорциональны секундным объемным расходам жидкости через ортогональное к оси сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.

Действительно, секундный  объемный расход сквозь ортогональное к оси Oz сечение, ограниченное окружностью данного радиуса r, будет, согласно (17) и условию ψ(0)=0, равен

.

Теперь понятно, что  выбор знаков в правых частях (15) произведен так, чтобы при Q>0 было и ψ>0.

Функцию тока можно рассматривать  как одну из составляющих векторного потенциала скоростей А, связанного с вектором скорости равенством V=rotA. Действительно, согласно этому равенству, имеем

Выбирая вектор А ортогональным во всем пространстве координатным поверхностям , найдем

положив , а коэффициенты Ламе и величину – не зависящими от ,  получим формулы (15). Так, например, в сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного ε, и не зависеть от ε.

Приведем несколько  примеров функций тока для простейших движений.

1) Однородный прямолинейный поток со скоростью , параллельной оси Oz.

В цилиндрической системе координат имеем

,

следовательно,

                                                    (20)

В сферической системе координат

Интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает

                                              (21)

2) Источник (сток). Выражение функции тока в сферической системе координат найдем, интегрируя систему уравнений

.

Получим

или, подбирая константу  из условия ψ=0 при θ=0,

                                              (22)

3) Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (8), будем иметь в сферических координатах систему уравнений

,

откуда следует

Легко найти интеграл этой системы

,                                                    (23)

обращающийся в нуль при θ=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Обтекание сферы. Парадокс Даламбера.

Можно найти пространственное обтекание сферы, накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со скоростью на поток от диполя с моментом, ориентированным вдоль этой оси, но в сторону, противоположную набегающему потоку.

Складывая функции тока (21) и (23), найдем функцию тока составного потока (в соответствии с выбором направления момента m в формуле (23) заменено на –m, где m>0)

               (24)

Уравнение нулевой поверхности  тока

разбивается на уравнение  поверхности сферы

,

где а – радиус сферы, и уравнение оси Oz

θ=0, π.

Отсюда следует, что, желая найти функцию тока обтекания сферы радиуса а потоком со скоростью на бесконечности, направленным вдоль оси Oz, надо положить в выражении функции тока (24) ; тогда получим

                                     (25)

Нетрудно найти и  потенциал скоростей, проинтегрировав  систему уравнений связи потенциала φ с функцией тока ψ или, проще, непосредственно составляя суму потенциалов слагаемых потоков (5) и (8),

                            (26)

Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение  скоростей

                                (27)

Сразу видно, что на поверхности  сферы (R=a) выполняется основное граничное условие непроницаемости твердой стенки

а на бесконечности ( )

,

т.е. скорость однородного  потока на бесконечности равна по величине и направлена по оси Oz в противоположную сторону.

Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется равенством

Точки А и В критические, в них скорость обращается в нуль. Максимальная скорость имеет место  в миделевой плоскости при  ; она равна по абсолютной величине .

Сфера представляет собой  плохо обтекаемое тело; поток реальной жидкости срывается с поверхности  сферы, не доходя при одних условиях даже до миделевой плоскости, при  других – несколько заходя за нее.

Распределение давления по поверхности сферы получим по уравнению Бернулли

,

из которого следует  выражение коэффициента давления

.

Как видно непосредственно  из последней формулы, главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на поверхность сферы равен нулю. Сфера не оказывает сопротивления набегающему на нее однородному на бесконечности потоку, или, иначе, сфера при своем равномерном движении в идеальной жидкости не испытывает сопротивления. В этом заключается частный случай известного парадокса Даламбера.

 

 

 

1.6 Уравнение продольного осесимметричного движения.

Одним из наиболее распространенных видов пространственных течений  является движение, симметричное относительно некоторой оси (например, оси Ox), называемое осесимметричным. Сюда относятся движения в соплах круглого сечения, в конфузорах и диффузорах, осевое обтекание тел вращения, дирижабельных и других форм.

Составим общее уравнение  продольного осесимметричного движения, происходящего в меридианных  плоскостях, образующих с плоскостью xOy угол ε, и выберем в них некоторую, не зависящую от угла ε систему ортогональных криволинейных координат . Тогда будем иметь в каждой из меридианных плоскостей

и вообще для любой  точки М

;

отсюда по формуле  легко найти коэффициенты Ламе

               (28)

Уравнение Лапласа для  определения потенциала скоростей  будет иметь вид

                                (29)

так как третий член этого равенства, содержащий производную по координате ε, в силу принятой симметрии движения обращается в нуль.

Выберем в меридианных  плоскостях в качестве криволинейных  координат прямоугольные координаты x, r; будем иметь и, следовательно, уравнение движения приведется к виду

                                        (30)

Соответствующему уравнению  Лапласа в цилиндрических координатах  при отсутствии зависимости движения от ε.

Докажем, что решение уравнения (30), обращающееся в заданную на оси симметрии функцию , может быть представлено в виде определенного интеграла

,                                     (31)

где – аналитическая функция комплексного переменного

                                                     (32)

В некоторой области плоскости t, заключающей внутри себя начало координат t=0. Составляя производные

и применяя интегрирование по частям, найдем второе слагаемое  в уравнении (30)

Первое слагаемое уравнения (30), равное

,

отличается от второго  только знаком. Таким образом, убеждаемся, что действительно выражение (31) дает интегральное представление решения уравнения (30).

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практическая  часть.

2.1 Осесимметричное продольное обтекание тел вращения.

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат: цилиндрической, сферической, эллиптической  и др. Такой поход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости z=x+iy к вспомогательной плоскости был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами вместо прямолинейных x,y. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как функции комплексных переменных, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия.

Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел  вращения (рис. а) возьмем в меридианных  плоскостях r, x эллиптическую систему координат ξ, η, связанную с r, x соотношениями

где величина с представляет собой расстояние фокусов семейства координатных линий – софокусных эллипсов и гипербол – от начала координат. Кривая является эллипсом в меридиональной плоскости с полуосями .

Положим ; тогда связь между координатами r, x и λ, μ будет иметь вид

                                     (33)

Определив производные

,

Найдем коэффициенты Ламе

                                  (34)

После этого уже не трудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Из выражения

получим:

                              (35)

Будем искать частное  решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных λ и μ в отдельности

;                                                  (36)

тогда в уравнении (35) переменные разделятся и из равенства

в силу независимости  λ и μ будет следовать, что  каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n(n+1), где n – целое положительное число, получим для определения L(λ) и M(μ) два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа