Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей"

 Лекция 1.

                            Некоторые исторические сведения о возникновении

                                          и развитии теории вероятностей.

    Теория  вероятностей - это математическая  наука, изучающая закономерности случайных явлений.  Возникновение  теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами  Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662),Ферма (1601-1665) и Я.Бернулли (1654-1705).В переписке  Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными играми и не укладывающимися в рамки математики того времени, привели постепенно к таким важным понятиям , как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и  фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены  в том , что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи, сводился исключительно к  элементарным арифметическим и комбинаторным методам.

Требования со стороны  естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики) привели к необходимости дальнейшего развития  теории вероятностей и привлечения аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов сыграли Муавр (1667-1754),  Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон(1781-1840). С середины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов ХХ столетия развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых - Чебышева П.Л(1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1856-1918).Этот успех  русской науки был подготовлен деятельностью Буняковского В.Я. (1804-1889), широко использовавшего исследования по применению теории вероятностей в статистике, в особенности в страховом деле и демографии.

     Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеобщим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее практических приложений. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей

является экономика. Многие экономические показатели (производительность труда, заработная плата, выработка  на  одного рабочего за смену ,, страховой запас, резервные мощности, государственные резервы, спрос на товары производителя и др.) являются  случайными величинами. Прогнозирование экономических явлений осуществляется на основе  эконометрического моделирования ,, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих моделей, опирающихся на теорию вероятностей. Результаты  теории вероятностей используются для организации производства  (статистический контроль в производстве). Большое значение имеет разработка статистических методов управления качеством продукции в процессе производства. Для инженерного дела серьезную роль приобрела теория надежности, широко использующая методы теории вероятностей.

Мы определили в самом начале теорию вероятностей как науку, изучающую случайные явления. Какой смысл вкладывается  в понятие «случайное явление» мы рассмотрим  несколько позже, а сейчас ограничимся некоторыми замечаниями. В обыденных представлениях, житейской практике считается, что случайные события представляют собой  нечто крайне редкое, идущее вразрез установившемуся порядку вещей, закономерному развитию событий . Случайные события, как они понимаются в теории вероятностей, обладают рядом характерных особенностей; в частности, все они происходят в массовых  явлениях, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Теория вероятностей не занимается изучением уникальных событий , которые не допускают повторений .

 

 

 

 

                              Случайные события

 

Стохастический эксперимент, пространство элементарных исходов

 

      Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, cлучайного события и вероятности случайного события. Стохастическими называются эксперименты, возможные исходы которых известны, но  заранее предугадать, какой из них будет иметь место  нельзя. Все возможные исходы эксперимента называют пространством элементарных исходов и обозначают = .

Таким образом, рассматриваемому эксперименту  поставлено в соответствие некоторое множество ,точками которого являются взаимоисключающие   элементарные исходы . Результатом эксперимента является один и только один  исход. Рассмотрим примеры.

1. Производится эксперимент: один раз бросают монету. Множество , где буква Г означает появление герба, буква Р-появление решки.

2. Один раз бросают игральный кубик. Возможные исходы этого эксперимента - выпадение числа очков, равного 1, 2, 3, 4, 5, 6, т.е.

                                               = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .                    

3. Монету бросают дважды,

                                            

Здесь ГГ означает ,что оба раза появится герб,

          ГР-при первом бросании появится герб,а при втором –решка,

          РГ-при первом  бросании появится  решка, при втором –герб,

          РР-оба раза появится решка.

3.4. Монету бросают до первого появления герба. Возможные исходы эксперимента:

                        Г-герб выпадет с первого раза,

                          РГ-герб выпадет при втором бросании,

                         РРГ-герб выпадет при третьем бросании и т.д

 Теоретически эксперимент может продолжаться бесконечно долго. Пространством элементарных событий такого эксперимента является бесконечное множество

                               

4.5. Два лица А и В  условились встретиться в интервале времени [0,T]. Обозначим 

               x -  время прихода лица А_,

                        _{Y  -}   время прихода лица В.

                      

Геометрически это пространство представляет квадрат, изображенный на Рис.1

                     

                              

                                                   Рис.1

Множество называют пространством элементарных исходов (событий).

Приведенные примеры показывают,что множество  может быть дискретным и непрерывным. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов, к непрерывным – множества типа континуума (любой конечный или бесконечный интервал на числовой  прямой является примером множества типа континуума ).

Пространство элементарных исходов зависит от условий ,, в которых производится случайный эксперимент. В дальнейшем будем рассматривать условия, при которых исходы эксперимента равновозможны,   т.е. никакой

исход эксперимента не имеет объективного преимущества перед другими.

В рассмотренных выше примерах предполагается, что эксперименты производятся в идеальных условиях (идеальная монета бросается на идеально гладкую поверхность и т. д.).

 

Лекция 2 .             

                                Определение случайного события. 

Элементарные исходы эксперимента - это простейшие случайные события и  определению не подлежат. Однако в каждом случайном эксперименте кроме элементарных могут происходить и другие  случайные события . Так, например, в примере 2 можно рассмотреть события:

          А - хотя бы один раз появится герб,        В - герб появится при первом бросании,         С - хотя бы один раз появится решка и т.         А - выпадение четного числа очков,

         В - выпадение числа  очков, не меньше 4,

         С – выпадение  нечетного числа  очков и т.  д.

Событие А произойдет, если будет иметь место один из исходов экспериментаГГ,ГР,РГ .: выпадет число очков, равное 2 или 4 или 6. Таким образом,

 А               =  = {2, 4, 6} ,          В = {4, 5, 6},    C = {1, 3, 5} .

Пусть в примере 3 В примере 3 могут произойти события:

         А - хотя бы один раз выпадет герб,

        В - герб выпадет при первом бросании,

        С - хотя бы один раз выпадет решка и т.д. Здесь А={ГГ, ГР, РГ}, В={ГГ,ГР}, С = {РР,РГ,ГР}.

  Пусть в  примере 4 событие  А  состоит в том, что будет сделано не более трех бросаний.  Тогда

                              А = .

Рассмотрим задачу о встрече (пример 4).Предположим, что каждое из лиц А и В ожидает другого время, не большее чем t , <t <Т. Пусть  С-событие, состоящее в том, что встреча  произойдет. Тогда

                             С ={(x, y) : }

(Рис.2 ) .                             

                              

                                               Рис.2

Те элементарные исходы, при которых  событие А наступает, называют благоприятствующими событию А.

Итак, случайное событие А – это некоторое  подмножество . состоящее из всех тех точек - элементарных событий, которые благоприятствуют событию А.

                                    Алгебра событий .

 

    Событие называется невозможным, если оно в эксперименте заведомо  не наступит  и обозначается  Событие называется достоверным, если оно в эксперименте заведомо наступит и обозначается . Само множество является достоверным событием, поскольку один из его исходов обязательно произойдет. Так , в примере 2 событие  – « выпадение числа очков, равного 7»,  является в данном случае  невозможным , а событие – «выпадение числа очков, не более  6», – достоверное событие.

Если в случайном  эксперименте из наступления события А следует наступление события В, то говорят , что А влечет В ( А В ).

Если А  В , а В А. то говорят ,что события А и В равносильны ( А = В ).

Суммой двух событий А и В называют событие А + В  (А В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или событие А , или событие В. Сумма событий соответствует объединению множеств , Рис.3.

 

 

                        

                                           Рис.3

В примере 2    А + В= { 2, 4, 5, 6}.

Аналогичный смысл  имеет сумма  любого числа событий. Если I-произвольное множество значений некоторого индекса i, A -некоторое множество  событий  то сумма  есть событие ,происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно событие.

Произведением двух событий А и B называют событие AВ (А В), происхо-

дящее тогда и только тогда, когда  происходит и событие А, и событие  В ( все события А , i ) .

Произведение событий соответствует  пересечению множеств, (Рис.4).

 

                                                               

                                                  Рис.4

Для событий из примера 2  АВ = { 4, 6 }.

Разностью  А \ В двух событий А и В есть событие, происходящее тогда и только тогда. когда происходит  А , но не происходит В. Разность событий соответствует разности множеств, (Рис.5)

 

                                

                                                  Рис.5.

В примере 2  А \ В = {2}.

Событие  называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда  не происходит А (соответствует дополнению множеств)  Рис. 6.

                                

                                                 Рис.6.

В примере 2 = { 1, 3, 5 }.

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами :

а)  А+В = В+А ,  АВ = ВА  (коммутативность);

б)  (А+В)+С=А+(В+С) ,  А(ВС)=(АВ)С   (ассоциативность);

в) (А+В)С=АС+ВС) (дистрибутивность умножения относительно cложения).

Отметим еще некоторые  очевидные соотношения:

         А ,  А ,  ,   .

Два события  А  и  В называются несовместными, если невозможно их совместное наступление, иными словами  АВ = .Примером несовместных событий являются  А  и .

Совокупность событий   А ,А , … , А   составляет полную группу попарно несовместных событий , если:

1. хотя бы одно из этих событий непременно происходит;
2. любая пара событий несовместна , А А = , i j,  i,j= .