Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей"

                  =         при

равномерно для тех  m , для которых    

                                           

находится в каком либо конечном интервале.

Практическое значение теоремы  заключается в том, что она  позволяет вычислить биноминальные  вероятности Р(n,m)  при большом значении n.

Теоретическое значение этой теоремы следующее: дискретное биноминальное распределение при больших значениях n можно заменить непрерывным нормальным распределением т.е. количество переходит в качество.

Пример 15. Вероятность того, что станок-автомат произведет годную деталь равна 8/9. За смену изготавливается 280 деталей. Определить вероятность того, что среди них 20 бракованных.

Решение.   n=280, m=20, p=8/9, q=1/9. По формуле Бернулли эту вероятность вычислит трудно, поэтому используем  локальную теорему Муавра-Лапласа:

            ,

где     ,         значение - определено по таблице Приложения 1, φ(-2,11) = φ(2,11) = 0,043.

 

2. Интегральная  предельная теорема Муавра-Лапласа

Пусть производится n независимых испытаний. В каждом испытании возможны два исхода: либо наступит событие A , либо . Если вероятность наступления события постоянна и равна р (0<p<1), то при для любых a и b:

                   ,

где - функция Лапласа.

Эта теорема  применяется  при вычислении вероятностей .

.      (32)

 

Пример 16.   В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованной машины платит в год 12 грн. страховых и в случае ее поломки в результате аварии получает от компании 1000 грн. Найти вероятность того, что по истечении года работы компания потерпит убыток.

Событие A – компания потерпит убыток, n = 10000, p(A) = 0,006,  q = 0,994.

Ежегодно кампания получает от клиентов  S= 10000*12=120000 грн.

Обозначим   m – число автомобилей, потерпевших аварию.

Тогда компания должна выплатить сумму, равную

                              R =  m 1000 грн.

Требуется найти  Р(А) = P(R > S) = P(1000m > 120000) = P(m>120).

Перейдем к противоположному событию Ā – компания не потерпит убытки,  и найдем вероятность 

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа

Таким образом, P(A) = 1-Р(Ā ) = 1 - 1=0, т.е. вероятность того, что компания потерпит убыток равна нулю.

 

                                  Закон больших чисел

Закон больших чисел - это есть целый ряд теорем, которые устанавливают условия сходимости среднего арифметического случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Рассмотрим последовательность случайных величин . 

Последовательность сходится по вероятности к некоторому числу b при n→∞, если

                               

 

Теорема Чебышева

Пусть - последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом c : c , i=1,2..,n Тогда при n → ∞ и для любого

                             

Это утверждение можно  записать иначе, в эквивалентной  форме.

                            ,                                         (33)

которую используют при  решении прикладных задач.

В частности, отсюда следует  утверждение:

Если  - последовательность попарно независимых случайных величин с одинаковым математическим ожиданием a   и дисперсией σ², то при n → ∞  и для любого

                          ,

или в эквивалентной  форме

                                                                                    (34)

 

Теорема Бернулли.

Применим теорему Хинчина  к случайной величине = m – число появлений события А в серии n  независимых испытаний. Представим эту случайную величину  в виде суммы  попарно независимых, одинаково распределенных  случайных величин  ,

=                                         

                            = m =                                                             (35)                                                    

Вероятности  р(А) = р,   р( ) = 1 -  р = q ,  М( ) = р, D( ) = pq.   Тогда при

n → ∞  и для любого

                                     ,

или в эквивалентной  форме

                                    .                                                   (36)

Смысл этой теоремы заключается в том, что относительная частота появления события по вероятности сходится к вероятности этого события.

Обобщением теоремы  Бернулли на случай, когда испытания  происходят при  неодинаковых условиях, что вызывает изменение вероятности  появлений события  А  в каждом испытании, является  теорема Пуассона.

 

Теорема Пуассона.

Рассмотрим последовательность n  независимых испытаний , в каждом из которых событие  А  наступает с вероятностью  р ,  i=1,2,…n.  Рассуждая также,

как и в предыдущем случае, получим   М( ) = р , D( ) = р q . По теореме Чебышева получим

                               ,   где  = , т.е. относительная частота появления события  А  сходится по вероятности к средней арифметической  вероятностей этого события в каждом  испытании.

Запишем утверждение  теоремы Пуассона в эквивалентной  форме

                               ,                                                     (37)

где  = m = ,    а  (i=1,2,..n ) определены выражением  (35).

Рассмотрим  пример на применение закона больших чисел.

Пример 17. из 100 изделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто  обследованию 200, отобранных случайным  образом. Среди них оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных, за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что

во всей партии бракованных  изделий окажется  в пределах  от 15%  до 20%.

Для решения задачи используем  неравенство (36). Вероятность изготовления бракованного изделия по условию   .Требуется найти вероятность

 Р( 0,10 0,15). Вычтем  в каждой части неравенства р, получим

Р(0,10 – 0,125 0,15– 0,125) = Р(– 0,025 0,025) или

                 .

Первое неравенство  Чебышева.

Если случайная величина  имеет конечный первый абсолютный момент

, то 

                                          .                                                (38)

В частности, если  и существует  , то

                                            .                                                      (39)

Второе неравенство  Чебышева.         

Если существует   ,  то  справедливо неравенство

                                                                                                (40)

или                          .                                                      (41)

Пример 18.  Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых  в ремонт после  месяца эксплуатации на городских линиях , равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует.

Применим первое неравенство Чебышева , т.к.   , а дисперсия неизвестна.    По условию задачи = 5. Требуется найти вероятность . Перейдем к противоположному событию и вычислим   ) по формуле (39)

                         ,

а искомая вероятность  =1 - = 1- 0,33 = 0,67.

Пример 19. Число     солнечных дней в году , для данной местности  является

случайной величиной  со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить вероятность события  А = ( 150).

Поскольку здесь известна дисперсия   D( ) = 20 =40, применим  второе неравенство Чебышева (41)

             .

Содержание теорем, относящимся  к  закону больших чисел заключается  в 

том, что средняя арифметическая большого числа случайных величин практически уже не является случайной величиной, практически она постоянна, т.е. она обладает новым качественным состоянием. Примеров новых качественных состояний, как проявление закона больших чисел , можно привести очень много. Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни, имущества и др.).Чем больше застраховано объектов, тем надежнее можно установить соотношение между страховыми взносами и выплатами. При планировании ассортимента ряда товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.