Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей"

Запишем формулы  Байеса в общем  виде :

                  Р( , Р(А) – полная вероятность события А,

                Р( H ) = 1,    k = .

Пример 8. В условиях Примера 7, взятый наугад валик оказался высшего сорта.

Определить вероятность того, что  он произведен на первом станке.

Используя обозначения Примера 7, по формуле Баейса получим:

                   Р(В /А) = = = 0,76.

 

Последовательность независимых  испытаний. Формула Бернулли.

 

   На практике приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие  А. При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений события А в результате определенного количества испытаний. В подобных случаях нужно уметь определять вероятность любого числа m появлений события  А  в результате n испытаний.

Рассмотрим случай, когда испытания  являются независимыми и вероятность появления события   А  в каждом испытании одинакова и равна р, тогда

Р( ) = 1 – р = q . Рассмотрим пример.

Монету подбрасывают 5 раз. Найти  вероятность того, что герб появится 3 раза.

Обозначим  события:

                                    А - появление герба в одном испытании,

                                    В -  герб  появится 3 раза в  серии из пяти испытаний.

С помощью алгебраических действий событие  В можно записать:

В = ААА +  А АА +  А АА + ААА + А АА  + А А А +

+

В каждое произведение событие  А  входит  3 раза, а событие 5-3=2 раз, число слагаемых равно .

По формулам сложения и умножения получим

Р(В) = Р(ААА ) + Р(А АА ) + Р(А АА) + Р( ААА) + Р( А АА) + + Р(А А А ) + Р(АА А ) + Р(А АА ) + Р( ААА ) + Р( АА А) =

=  = , это и есть формула Бернулли.

Запишем эту формулу в общем виде. Пусть  Р(n,m) – вероятность того, что  в  n

независимых испытаниях  событие  А  наступит  m  раз. Тогда

                             Р(n,m)  =  .

Доказательство формулы  Бернулли аналогично решению рассмотренной выше задачи.

Пример 9. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди шести, взятых наудачу изделий:

1. будут два бракованных;
2. не будет бракованных;
3. будет хотя бы одно бракованное.                                                                               

Здесь  А – появление  бракованного изделия,  Р(А) = 0,05 ,  Р( ) = 1- 0,05 = 0,95,

n=6. По формуле Бернулли

1. при m = 2,  Р(6,2) = = 0,03;
2. при m = 0,   Р(6,0) = (0,95)   0,73;
3. в этом случае задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Используя  формулу сложения , получим

         Р(6,1) + Р(6,2) =   0,27.

Второй способ. Перейдем к противоположному событию – среди выбранных  изделий нет бракованных. Вероятность  этого события вычислена в  п.2) и равна 0,73. Тогда  искомая  вероятность  

                               Р( 1 – 0,73 = 0,27.

 

Лекция 6.          Наивероятнейшее число появлений события.

 

        Наивероятнейшим числом появления события  А  в n  независимых испытаниях называется такое число m , для которого вероятность, соответствующая этому числу , не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события  А. Обозначим вероятность, соответствующую  числу   m , через  Р(n, m ), тогда согласно определению

                              Р(n, m ) Р(n, m).

Для нахождения  m   рассмотрим два неравенства

                           

Решая совместно эти  неравенства относительно m , получим, что m лежит в интервале единичной длины

                                    np – q   m np + p .

Пример 10. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной  день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других  магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

В данной задаче  n = 10,  p = 0,4 ,  q = 1-p = 1 – 0,4 = 0,6 . Подставим эти данные

в приведенное выше неравенство

                     10   m 10 ,

                                   3,4   m 4,4 ,

 и окончательно,   m = 4. Наивероятнейшее число заявок равно 4.

Найдем теперь вероятность  получения четырех заявок по формуле Бернулли

                      Р(10,4) = = 0,25.

 

 

 

                          Статистическая оценка вероятности.

Длительные наблюдения над появлением  или не появлением  события  А при большом числе  независимых испытаний в ряде случаев показывают, что число

появлений события  А  подчиняется  устойчивым закономерностям. Обозначим 

- число появлений события   А,

 n  -  число испытаний,

- частота появления события   А  при достаточно  большом n  сохраняет постоянную величину. Таким образом, под статистической вероятностью  понимается относительная частота появления события  А  в  n произведенных опытах. 

Статистическая вероятность  обладает теми же свойствами, что и  классическая вероятность, но при этом не требуется  равновозможности исходов .

Наиболее общим является  аксиоматическое определение вероятности, которое

сформулировал советский  математик  Колмогоров А.Н. в 1933 г..Однако это рассмотрение этого определения  выходит за рамки данного курса лекций.

 

                                          Случайные величины.

Определение случайной  величины.

       Случайной величиной x называется величина, значение которой заранее предсказать нельзя. Все экономические показатели являются случайными величинами. Это и заработная плата работников, и объем выпуска продукции, и рентабельность, и производительность труда и др. Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Рассмотрим пример: один раз подбрасывают монету. Пусть случайная величина x - число выпадений герба. Эта случайная величина принимает два значения: x = 0, если выпадает «решка» и x = 1, если выпадает «герб».Таким образом, случайная величина принимает свои значения в зависимости от элементарных исходов эксперимента т.е. является функцией от элементарных исходов эксперимента

 x = f ( ),  w Î W,

т.е. каждое значение случайной величины ставится в соответствие исходу эксперимента. Возможные значения случайной величины будем обозначать малыми буквами латинского алфавита.

Поскольку  множество  исходов  эксперимента  может  быть  конечным  или

бесконечным, то будем рассматривать случайные величины двух типов.

Случайная величина x называется случайной величиной дискретного типа, если множество ее возможных значений  конечно или счетно. Случайная величина называется  случайной величиной непрерывного типа, если ее значения заполняют сплошь  некоторый интервал. 

Рассмотрим сначала дискретные случайные величины.

                    Дискретные случайные величины.

   Ряд распределения.

Рядом распределения или законом распределения случайной величины называется перечень значений случайной величины и соответствующих этим значениям вероятностей. Пусть р(x=а ) = р >0, = 1, где суммирование

распространяется на все возможные значения  k.

Пример 11. Монету бросают дважды. Найти ряд распределения числа появлений герба.

Здесь  x - число появления герба, ряд распределения приведен в Таблице 1.

                                                                                 Таблица 1

w	РР	ГР + РГ	ГГ
а	0	1	2
р	1/4	1/2	1/4

 

р (x = 0) = р(РР) = 1/2 * 1/2  = 1/4,

р (x = 1) = р(ГР + РГ) = Р(ГР) + Р(РГ) = 1/2 * 1/2 + 1/2*1/2= 1/2,

р (x =2) = р (ГГ) = 1/2 * 1/2  = 1/4 ,            

= 1/4 +1/2 + 1/4 = 1 .

Функция распределения.

Функцией распределения  F(x) называется вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше  x,  где x – любое действительное число,

                           F(x) = р (x < х),  где    - ¥ < х < ¥

Свойства функции распределения:

1. 0 £ F(x) £ 1
2. При х - ¥   F(x) 0

3.   При х + ¥   F(x) 1

4. Вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал действительной оси [x ,x ] определяется формулой

                         р( х₁ £ x < х₂) = F (х₂) – F (х₁)

Докажем это свойство. Для этого рассмотрим событие (x < х₂). Очевидно, что это событие  можно записать в  виде суммы:

     (x < х₂) = ( х₁ £ x < х₂) + (x < х₁), используя формулу сложения для несовместных событий, получим

р(x < х₂) = р( х₁ £ x < х₂) + р(x < х₁), откуда следует

F (х₂) = р( х₁ £ x < х₂) + F (х₁) или р( х₁ £ x < х₂) = F (х₂)- F (х₁).

5. Функция распределения F (х) – неубывающая функция на всей оси Ох, т.е.

если  х₂ > х_{1  ,} то F (х₂) ³ F (х₁).

Действительно, пусть  х₂ > х₁  , в пункте 5 показано, что для       F (х₂)  справедливо равенство    

     F (х₂) = р( х₁ £ x < х₂) + F (х₁) , а так как р( х₁ £ x < х₂) 0, то отсюда следует,

что  F (х₂) ³ F (х₁).

6. Функция распределения непрерывна слева , т.е.

                                   .

Зная закон распределения  дискретной случайной величины, можно вычислить  функцию распределения по формуле

                                      F (x) = ,

где суммирование распространяется на все те значения индекса i, для которых

 .

 

Пример 12. Построить функцию распределения для случайной величины, рассмотренной в Примере 11. Поскольку функция F(x) определена для всей действительных значений x, то рассмотрим последовательно интервалы:

      1. х Î (- ∞; 0],  F (x) = р(x < x) = 0, так как событие (x < x) на данном интервале является невозможным событием.

      2. х Î (0; 1],  F (x) = р(x = 0) = 1/4 , здесь неравенству  x < x удовлетворяет одно значение x = 0.

      3. х   Î (1; 2],  F (x) = р(x = 0) + P (x = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4 ,здесь неравенству x < x удовлетворяют два значения  x = 0 и x = 1.

      4. х Î (2; ∞)     F (x) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, на

этом интервале  неравенству   x < x удовлетворяют все значения случайной                    величины.  Таким образом,

                              F(x) =

График  вычисленной функции приведен на  Рис.7.

 

                

                                                 Рис. 7.   

 Квантилью порядка р распределения случайной величины x непрерывного типа называется действительное число x , удовлетворяющее уравнению р = р

Лекция 7 .  

                       Числовые характеристики случайной величины.

Математическое  ожидание.

Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками .

Математическим  ожиданием М (x)  случайной величины называется ее среднее значение .

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется  по формуле

                      М (x) = ,                                                                      (1)

 где  – значения случайной величины,   р_i - их вероятности .

Рассмотрим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе

                                    М (С) = С

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число