Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей"

                                 М (kx) = kМ (x)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

                 М (x₁ + x₂ + … + x_n) = М (x₁) + М (x₂) +…+ М (x_n)  

4. М (x₁ - x₂) = М (x₁) - М (x₂)

5.  Для независимых случайных величин x₁,  x₂,  … x_n математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий

                М (x₁,  x₂,  … x_n ) = М (x₁) М (x₂) … М (x_n) 

6.  М (x - М (x)) = М (x) - М (М(x)) = М (x) - М (x) = 0

Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11.

М (x) = = .

Пример 12. Пусть случайные величины x₁,  x₂  заданы соответственно законами распределения:

x₁                                                                                                                        Таблица 2

а	- 0,1	- 0,01	0	0,01	0,1
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

x₂                                                                                                                            Таблица 3

b	- 20	- 10	0	10	20
р	0,3	0,1	0,2	0,1	0,3

 

Вычислим  М (x₁) и М (x₂)

М (x₁) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0

М (x₂) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0

Математические ожидания обеих случайных величин одинаковы- они равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения x₁  мало отличаются от своего математического ожидания, то значения   x₂ в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ. Аналогично по показателю средней заработной платы не возможно судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых работниках. Поэтому, вводится числовая характеристика –  дисперсия D (x) , которая характеризует степень отклонения случайной величины от своего среднего значения:

                             D (x) = M (x - M (x))² .                                                       (2)

Дисперсия –это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для  дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

D (x) = =                                           (3)

Из определения дисперсии  следует , что D (x) 0.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю

                             D (C) = 0

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k , то дисперсия умножится на квадрат этого числа

                             D (kx) = k² D (x)

3. D (x) = М (x²) – М² (x)
4. Для попарно независимых случайных величин x₁,  x₂,  … x_n   дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

D (x₁ + x₂ + … + x_n) = D (x₁) + D (x₂) +…+ D (x_n)  

Вычислим дисперсию  для случайной величины из Примера 11.

Математическое ожидание  М (x) = 1. Поэтому по формуле  (3)  имеем:

D (x) = (0 – 1)²·1/4 + (1 – 1)²·1/2 + (2 – 1)²·1/4 =1·1/4 +1·1/4= 1/2

Отметим, что  дисперсию  вычислять проще, если воспользоваться  свойством 3:

                                   D (x) = М (x²) – М² (x). 

Вычислим дисперсии  для случайных величин  x₁,  x₂  из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю.

D (x₁) = 0,01· 0,1 + 0,0001· 0,2 + 0,0001· 0,2 + 0,01· 0,1 = 0,001 +  0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x₂) = (-20)² · 0,3 + (-10)² · 0,1 + 10² · 0,1 + 20² · 0,3 = 240 +20 =  260

Чем ближе значение дисперсии  к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения.

Величина  называется среднеквадратическим отклонением.               Модой случайной величины x дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.

Модой случайной  величины  x непрерывного типа Md,  называется  действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей  f(x).

Медианой случайной величины  x непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению

                                      F(x) = .

Лекция 8 .       

                             Примеры дискретных распределений.

1. Биноминальное. Пусть произведено n независимых испытаний. В каждом испытании наступает либо событие А, либо соответственно с вероятностями р, 1 –р.  Рассмотрим случайную величину x  - число появлений события А в последовательности испытаний.

Закон распределения  этой случайной величины можно записать следующим образом

              Р (x = m) = , m=0,1,2,…n.                                           (4)

Действительно, рассмотрим выражение (p + q)ⁿ =1 , разложим двучлен (p + q)ⁿ по формуле бинома Ньютона. Получим

т.е. сумма вероятностей значений случайной величины равна единице, следовательно (4) является законом распределения.

Найдем математическое ожидание:

                   M (x) = ,

Рассмотрим случайные  величины x₁, x₂, … x_n , с одинаковым законом распределения :

                                x_k =   

 где  k = 1,2,…n . Тогда

                               x = x₁ + x₂ + … + x_n.

Используя свойства математического  ожидания получим:

М (x) = М (x₁ + x₂ + … + x_n) = М (x₁) + М (x₂) +…+ М (x_n) .

Найдем математическое ожидание   x_k , М (x_k) = 0 · (1 – p) + 1· p = р, тогда

                                   М (x) = np

Аналогично найдем дисперсию:

D (x) = D (x₁ + x₂ + … + x_n) = D (x₁) + D (x₂) +…+ D (x_n)

D (x_k) = (0 – p)² (1 – p) + (1 – p)²  p =  p² (1 – p) + (1 – p)² p =

= p (1 – p) (p + 1 – p) = p (1 – p) = p q

                                    D (x) = n p q, 

 

2. Распределение Пуассона.

Пусть произведено бесконечное  число испытаний. Рассмотрим случайную величину x  -число появлений события   А.

m = 0, 1, 2, ...

Закон распределения  в данном случае имеет вид:

p (x =m) = ,     λ > 0  - параметр распределения,  m = 0, 1, 2, ...          (5)

Покажем, что сумма  вероятностей равна единице.

                         .

Аналогично можно показать, что математическое ожидание и дисперсия соответственно равны  ,

                                   М (x) = ,   D (x) = .

Закон Пуассона называют законом редких событий.

 

 

                         Непрерывные случайные величины.

 

Плотность распределения .

Плотность распределения вероятностей  f(x) характеризует вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал. Эта вероятность равна

площади, заключенной  между осью абсцисс и функцией f(x) на интервале

( Рис.8).  Функция    f(x) = .

            

                                             Рис. 8

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1.    f (x) ≥ 0

2.   

3.      p( a

4.      f(x) =   в  точках непрерывности функции f(x).

Понятие функции распределения, математического ожидания и дисперсии имеет такой же смысл, как в дискретном случае, а вычисляются соответственно по формулам (6) – (8).

                                                                                                   (6)

M (x) =                                                                                                (7)

D(x) =                                                     (8)

 

Пример 13. Случайная величина x  распределена по закону , определяемому плотностью распределения вероятностей  вида

                       f (x) =                                                                 

Найти параметр a,  F(x),   M (x) ,   D(x) .

Параметр a найдем из свойства , интеграл разобьем на сумму трех интегралов

                 

Нарисуем график плотности  распределения  f (x) (Рис.9)

                               

                                                      Рис. 9

Вычислим функцию распределения, для этого рассмотрим интервалы .

1. х Î (- ∞, 0)     ,

2. х Î [0, 2]        , 

3. х  (2, )       .

График функции приведен на  Рис. 10.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

                     

                                            Рис.10

Лекция 9.

            Примеры   распределений непрерывной случайной величины.

1. Равномерное распределение. Случайная величина x непрерывного типа называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:

                 f(x) =                                                               (9)

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:           ,

=

Рассмотренное в Примере 13 распределение является равномерным при a = 0 

 и   b = 1.

2. Показательное (экспоненциальное) распределение:

Случайная величина x называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром >0, если она непрерывного типа

и ее плотность распределения  задается формулой

 

                           f(x) =                                                           (10)

  График функции  приведен на  Рис.11.                 

                                                     

                                             Рис. 11.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

                              M (x) = ,      D (x)=

3. Закон нормального распределения.

Случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами а и >0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

                       f(x) = ,                                         (11)

Для того, чтобы построить график этой функции, проведем ее исследование. Вычислим производную

                        .

При x < a >  0, следовательно на интервале функция возрастает, а при x >a   <  0, - функция убывает. В точке x = a – функция имеет  максимум.

График функции приведен на Рис.12.

Важное значение в  прикладных задачах имеет частный  случай плотности нормального распределения  при  a = 0  и =1

                                                  .                                                    (12) Функция  (12) -  четная , т.е. (-x) = (x).

Для  значений этой функции имеются таблицы  ( Приложение 1).

                                               

                                                                   

                                                 Рис. 12

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

  ;  ;  .

При вычислении интегралов использованы свойства:

1) = 0, как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах;

2) =1, как интеграл от плотности  нормального распределения с параметрами  a = 0  и  = 1 ( свойство 2 функции плотности распределения).

Аналогично можно показать, что   D (x) = ² . Параметры  a  и совпадают с основными характеристиками распределения. В дальнейшем, если плотность распределения случайной величины  имеет вид (11),то для краткости будем записывать  x ~ N ( ).

Вероятность попадания случайной величины  x в интервал вычисляется по формуле (13)

          ,             (13)

где - функция Лапласа 

                                        ,                                                  (14)

функция  нормального распределения N(0,1),

 для этой функции имеются таблицы (Приложение 2).  Отметим, что

                                            Ф(-x) = 1 - Ф(x)                                                    (15)

Пример 14.  Коробки с шоколадом упаковывают автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Какой процент коробок, масса которых превышает 940 г. (вес коробок распределен нормально)?

Из условия задачи  параметр а = 1,06, параметр -неизвестен.

Рассмотрим случайную  величину  x - масса коробок. Требуется определить

p (x > 0,94), т.е.  p (x > 0,94) = p (0,94 < x < + ∞)

    

Из таблицы Приложения 2 определим , по формуле (14) имеем