Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей"

Лекция 3.    

                         Классическое определение вероятности.

 

Вероятность – это количественная оценка возможности наступления

случайного события. По классическому определению, вероятностью случайного события Р(А) называется отношение числа m благоприятствующих  исходов к общему числу   n равновозможных исходов эксперимента    

                                      Р(А) =

Классическая вероятность обладает следующими свойствами:

1. Р(А) 0.
2. Вероятность достоверного события  равна 1:

                          Р( )=1.

3. Если событие  С = А+В, причем А  и  В несовместны, то

                          Р(С) = Р(А)+Р(В).

4.  Вероятность противоположного события  равна

                          Р( )=1- Р(А).

5. Вероятность невозможного события равна нулю

                          Р( ) = 0.

6. Если  А В, то Р(А) Р(В).
7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей

                           0 Р(А) 1.

Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.

Пример 1.  Один раз подбрасывают монету. Чему равна вероятность выпадения герба? 

Здесь   , причем исходы эксперимента равновозможны , А={Г} , таким образом m=1,   n=2,     P(A) = .

Пример 2.  Один раз подбрасывают шестигранный игральный кубик. Чему равна вероятность того, что  выпадет  число очков, не менее четырех ?

-равновозможны, А={4,5,6},    m=3,  n=6,      P(A) = .

В более сложных задачах  не представляется возможным наглядно записать  все исходы эксперимента, а также благоприятные случайному  событию исходы. В таких случаях применяются комбинаторные методы подсчета чисел m  и  n.

Пример 3. В ящике находится  10 деталей, среди которых  3 бракованных. Из ящика наугад извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется две бракованных.

Событие А - среди  5-ти извлеченных  деталей  2 бракованных, а три доброкачественных.

Для подсчета m и n используем правило сочетаний:

               n = , P(A) =   =  = .

Отметим недостатки классического  определения вероятностей:

      1.Классическое определение  невозможно применить в случае      бесконечного пространства элементарных  исходов.

      2.Существует проблема нахождения разумного способа выделения «равновозможных случаев». Например, как определить вероятность того, что родившийся ребенок окажется мальчиком?

По мере развития теории вероятностей появлялись другие определения вероятности, которые  устраняли недостатки  классического. Эти определения будут рассмотрены немного позже.

 

              Условные вероятности. Независимость событий.

В ряде случав приходится рассматривать вероятности событий при условии, что имело место некоторое другое событие. Такие вероятности называются условными и обозначаются  Р(А / В) .

Пример. Брошены две игральные кости.Чему равна вероятность того,что сумма выпавших очков равна 8, если известно , что эта сумма является четным числом?

Пусть  А – сумма выпавших очков равна 8,

            В – сумма выпавших очков четное число.

Найдем сначала безусловную  вероятность  Р(А) по классическому определению. Число всех возможных исходов эксперимента n=6 6=36, а  сумма очков, равная 8, выпадет в следующих  комбинациях:

              (2,6), (3,5),  (4,4),  (5,3),  (6,2).

Таким образом  m=5 и Р(А) = .

Теперь вычислим вероятность  события  А при условии, что  наступило событие  В.  В этом случае возможные исходы эксперимента составляют комбинации, при которых  сумма выпавших очков- четное число, таких комбинаций – 18, поэтому    m = 5, n = 18,  а условная вероятность Р(А / В) = .    

Два события А  и  В называются независимыми , если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, иными словами, если условная вероятность равна  безусловной , Р(А / В) = Р(А). В противном случае события считают зависимыми. Так, в приведенном выше примере, события  А  и  В являются зависимыми.

События  А ,А , … , А   называются независимыми в совокупности ,если  для любого А из их числа и любого подмножества данной совокупности , событие  А и произведение событий из подмножества взаимно независимы.

Рассмотрим пример. Тетраэдр ,три  грани которого окрашены соответственно в красный , зеленый и синий  цвета, а четвертая грань содержит все три цвета, бросается наудачу  на плоскость. События А, В, С состоят  в том , что тетраэдр упал на грань, содержащую соответственно красный, зеленый либо синий цвет.

Безусловные вероятности  Р(А) = Р(В) = Р(С) = ,

условные вероятности  Р(А/В) = Р(А/С) = Р(В/С) = Р(С/А) = Р(В/А) = .

Следовательно попарно  события - независимы, однако  Р(А/ВС) = 1, а это свидетельствует о том ,что в совокупности  события - зависимы.

 Рассмотрим формулы, которые  используються для вычисления вероятностей сложных событий.   Сложным событием называется наблюдаемое событие,

выраженное  через другие наблюдаемые  в том же эксперименте события  с помощью допустимих алгебраических операций.

Формула сложения. Для произвольных событий  А и В справедливо соотношение

                 Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Для произвольного конечного числа событий формулы сложения имеет вид:

Р(А +А +…+А )=Р(А )+Р(А )+…+Р(А )–Р(А А )-Р(А А )-…-    Р(А А )+Р(А А А )+Р(А А А )+…+Р(А А А )-… (-1) Р(А А …А ) .    

Для несовместных событий  вероятность  суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А +А +…+А ) = Р(А )+Р(А )+ … +Р(А )

Формула умножения. Для произвольных событий А и В

                 Р(АВ) = Р(А) Р(B/A)=P(B)P(A/B.

Формула справедлива, если  Р(А) > 0, P(B) > 0, и позволяет вычислять вероятность совместного осуществления событий  А и В в тех случаях, когда условная вероятность считается известной (из дополнительных опытов) или определяется методом вспомогательного эксперимента.

Для произвольного конечного числа  событий формула умножения имеет вид:

Р(А А …А )=Р(А )Р(А /А )Р(А /А А )Р(А /А А А )…Р(А /А А …А ) .

Для независимых  в совокупности событий  вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей, т.е.

                        Р(А А …А ) =  Р(А А …А ) .

Пример 4. В условиях эксперимента, рассмотренного в примере 3 найти вероятности того, что среди выбранных изделий содержатся  :

а) не более одного бракованного;

б) хотя бы одно бракованное.

Пусть событие А - среди выбранных изделий не более одного бракованного,

Рассмотрим события: А - среди выбранных изделий - ни одного бракованного,

                                      А - среди выбранных изделий - одно  бракованное.

Тогда   А = А + А , причем  А , А - несовместны. По формуле сложения искомая вероятность Р(А) =Р(  А + А ) =Р(А ) +Р(А ),

       Р(А ) = = = ,    Р(А ) =  = = ,

                                    Р(А) =

Пусть событие  В – среди выбранных  изделий хотя бы одно бракованное.

Можно решить эту задачу с помощью формулы сложения, но решение будет значительно проще, если перейти к противоположному событию - среди выбранных изделий нет  бракованных.

      = А ,  Р( ) = Р (А ) = ,   Р(В) = 1 - Р( ) = 1 - =

Пример 5. Определить вероятность того , что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 5% всей продукции является браком, а 80%  небракованных изделий удовлетворяют требованиям  1-го сорта.

Обозначим  А – выбранное  изделие является небракованным,

                      В – выбранное изделие удовлетворяет  требованиям 1-го сорта,

тогда  АВ – выбранное изделие  является первосортным , а искомая вероятность

                      Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = ,

здесь  Р(А) = 1 – 0,05 ,      Р(В/А) = 0,8 . 

 

Лекция 5.               Формула полной вероятности.

Пример 6. Пусть в одном из трех ящиков находится 3 белых и 2 черных шара, во втором – 2 белых и 3 черных, в третьем – только белые шары. Из наугад

выбранного ящика извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белого цвета.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный шар белого цвета. Вероятность этого события зависит от того, из какого ящика выбран шар.

Рассмотрим события :

H - шар взят из первого ящика,

H - шар взят из второго ящика,

H - шар взят из третьего ящика.

События  H , H , H - несовместны, тогда   событие А можно представить в виде суммы произведений

                            А= H А +  H А + H А

Применяя формулы сложения и умножения получим,

       Р(А) = Р(H А +  H А + H А ) = Р(H А) + Р(H А) + (H А) =

       Р(H )Р(А/ H ) + Р(H )Р(А/ H ) + Р(H )Р(А/ H ) =

Это и есть формула полной вероятности. Запишем ее в общем виде.

Пусть событие   А  может произойти  только совместо с одним  из событий

H , H , … , H , образующих полную группу несовместных событий (гипотез).

Вероятность  Р(А) определяется  формулой полной вероятности 

                   Р(А) = Р( H )P(A/ H ),

где             Р( H ) = 1.

Пример 7.    На двух автоматических станках изготовляются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на  первом станке равна 0,95 , а на втором  - 0,80. Изготовленные на обоих станках нерассортированные валики находятся на складе, среди них валиков, изготовленных на первом станке, в три раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что наудачу взятый валик окажется высшего сорта.

Обозначим  А - событие, состоящее в том, что взятый наудачу валик окажется                                     

                             высшего сорта;

                     В -  событие, состоящее в том, что взятый наудачу валик

                            произведен  на первом станке; 

                     В -  событие, состоящее в том, что валик произведен на втором

                               станке.

Применив формулу полной вероятности  получим:

                 Р(А) = Р(В )Р(А/ В ) + Р(В )Р(А/ В ).

Поскольку валиков, произведенных  на первом станке , в 3 раза больше, чем  на втором, то        Р(В ) = ,       Р(В ) = .

В задаче даны условные вероятности:

                Р(А/ В ) = 0,92 ,        Р(А/ В ) = 0,80.

Искомая вероятность

                Р(А) = = 0,89.

 

                                    Формулы Байеса.

    В условиях Примера 6, выбранный из ящика шар, оказался белого цвета. Найти вероятность того, что шар был взят из третьего ящика.

Эта задача отличается тем, что известно событие, наступившее  в результате эксперимента:  А – извлечен  шар белого цвета. Требуется найти вероятность гипотезы при условии, что наступило событие А, т.е.  Р(Н /А).

Рассмотрим   вероятность  Р(А Н ) , по формуле умножения

                Р(А Н ) = Р(А)Р(Н /А) = Р(Н )Р(А/ Н ).

Из последнего равенства  выразим искомую вероятность

                 Р(Н /А)  = ,

где  Р(А) – полная вероятность события  А.

Полученное равенство и есть формула Байеса для  Н . Аналогично можно получить формулы для гипотез  H и H .

Используя результаты Примера 6 , получим

                   Р(Н /А)  = = .