Логическая структура языка школьной математики

 

 

 

Содержание

Введение 2

Глава I. Логическая структура языка  школьной

математики  4

§ 1. Логическая структура математических предложений  в

школьной  математике  4

§2. Логическая основа методов доказательств в  школьной

математике  10

§3. Логические подходы к введению базовых понятий школьного курса математики Заключение…………………………………………………………………….45 Литература lis

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                   

 

                                                                                                                                                    

Введение

Актуальность темы. Одной из основных задач обучения математике является задача развития логической культуры учащихся средней школы. В последние годы, как показывают результаты выпускных экзаменов в школе, уровень логической культуры выпускников значительно снизился. Это проявляется в том, что учащиеся:

• Слабо  ощущают логическую структуру математических предложений;
• имеют весьма смутные представления о типах математических определений и методах доказательств.

Причины этого связаны с тем, что как в логической подготовке учителя математики, так и в  развитии логической культуры учащихся, есть существенные недостатки.

Всё выше сказанное определило выбор темы курсовой работы, цель и задачи исследования.

Цель - выявить и раскрыть логические основы школьного курса математики, на базе которых формируется логическая культура учащихся.

Основные задачи:

1) выявить и раскрыть логическую структуру математических предложений в школьной математике.

2) Раскрыть логическую основу основных методов доказательств и методику их изучения в школьной математике.

3) Раскрыть логические подходы к введению основных понятий (уравнение, неравенство, тождество).

4) Раскрыть логику процесса решения систем уравнений и неравенств.

Для решения поставленных задач  были использованы следующие методы исследования:

а) изучение и анализ научно - методической литературы по теме курсовой работы; анализ содержания школьных учебников;

b) наблюдение учебного процесса в школе;

c) изучение уровня логической подготовки учащихся X - XI классов.

Цели и задачи исследования определили структуру курсовой работы. Она состоит из введения, главы, заключения и списка литературы.

В главе рассмотрена логическая структура математических предложений; логическая основа методов доказательств (метода «от противного» , метода математической индукции); раскрыта логика различных подходов к введению понятий «уравнение», «неравенство», «тождество».

Содержание курсовой работы представляет определенный интерес для студентов, изучающих методику преподавания математики в школе и учителей старших классов.

 

 

 

Глава . Логическая структура языка школьной

математики

§1. Логическая структура математических предложений  школьной математики

Математический язык является искусственным. Он возник под влиянием потребностей математики в точных, ясных и сжатых формулировках, как результат совершенствования  естественного языка по трем направлениям:

a) устранения громоздкости,

b) устранение омонимии (многозначности),

c) расширение выразительных возможностей.

Устранение громоздкости языка  связано с широким использованием символики, специальных математических знаков и соглашений о правилах пользования  этими знаками. Каждый знак математического  языка (цифра, буква, знак операции или  отношения) обозначает понятие, которое  в естественном языке выражается словом или совокупность слов.

При изучении математики в школе  наряду с обычными предложениями, записываемые с помощью букв русского алфавита и знаков препинания, используется ряд специфических знаков. Из них  можно выделить некоторое множество  основных знаков, образующих алфавит  языка школьной математики. Эти знаки  по аналогии со знаками алфавита естественного  языка будем называть буквами. Из этих букв составляются знакосочетания, называемые словами языка школьной математики, а из слов - предложения этого языка.

Специфические для языка школьной математики знаки можно классифицировать следующим образом:

1) Имена предметов, называемые иначе предметными постоянными.

2) Предметные переменные, принимающие значения из некоторых множеств предметных постоянных.

3.Функциональные буквы, служащие для обозначения различных отображений.

4.Предикатные буквы, служащие для обозначения различных соответствий и отношений.

5.Знаки препинания, скобки и точки.

Для теории множеств предметными постоянными  являются: 1.Обозначение конкретных множеств, в частности обозначения N, Z, Q, R, R̟₊, R², С, [а;b], [а; b], и т.д. А также обозначения Æ для пустого множества, È для универсального множества.

2.Обозначение конкретных элементов множества. Сюда относятся также обозначения (а; b) для упорядоченной пары элементов и т.д. Предметными переменными в теории множеств являются: 1.Обозначения произвольных множеств из некоторой совокупности множеств. 2.Обозначения произвольных элементов данных множеств. Функциональными буквами в теории множеств являются: 1.Обозначения булевых операций: ∩, \, È, ∆.

2.Обозначения ˟ и П для операции декартова произведения множества.

Обозначение f: А → В для отображения f множества А в множество В.

Предикатными буквами в теории множеств являются:

1.Обозначение = для равенства множеств.

2.Обозначения для включения множеств.

3.Знак ϵ принадлежности элемента множеству.

4.Знаки ≠,Ï,Ë для отрицания указанных отношений и соответствий.

В школьной математике не употребляются  обозначения математической логики, хотя соответствующие понятия, по сути дела, употребляются. Отметим те знаки  математической логики, которые заменяются в школьной математике словами.

Предметными постоянными являются обозначения конкретных высказываний, а также обозначения «И» и  «Л» для заведомо ложного и  заведомо истинного высказывания. Функциональными буквами в математической логике являются обозначения логических операций: |, —, →,↔, &, Ú,ù. Особым видом функциональных букв являются кванторы существования и всеобщности.

Предикатными буквами в математической логике являются => и <=>, обозначающие логическое следование и логическую эквивалентность (вместо <=> пишут также ≡).

Отсутствие же в школьной математике принятых в современном математическом языке специальных обозначений  для кванторов общности и существования  представляет собой неудобство, приводя  к значительному удлинению записей  без того, чтобы сделать их более  понятными. В частности, затрудняется корректное определение понятия  тождества.

В школьной алгебре мы имеем дело с операциями над числами и  с отношениями между ними. Этим и определяется алфавит школьной алгебры. Для обозначения чисел  в десятичной системе счисления  нужны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и знак для разделения целой и дробной части (запятая или точка), а также знак « - » (минус) для обозначения отрицания.

В качестве числовых переменных применяют  строчные буквы латинского алфавита (а, b, с, d,..., x, у, z), а также буквы этого алфавита с индексами: х₁ а₃ и т.д. функциональными буквами в школьной алгебре являются знаки операций: +, -, ×,¸.

Наконец, в школьной алгебре применяются  предикатные буквы =, >, < и «знаки препинания» - скобки и точки.

Из перечисленных выше «букв», то есть знаков математического языка, по определенным правилам строятся выражения, имеющие определенный смысл и  значение. Эти выражения разделяются  на формулы и термы в зависимости  от того, входят в них или нет предикатные буквы.

 Определение1. Термами в школьной алгебре являются:

1.Все имена чисел и числовых переменных (такие термы называются элементарными);

2. Выражения вида (А) + (В), (А) - (В), (А) ×(В),(А) ¸ (В), где А и В - термы.

3. Термов иного вида не бывает.

Чтобы не писать слишком много скобок, условимся опускать скобки, содержащие лишь имя числа или числовой переменной. Например, (3) + (f) будем писать 3 + f

Различные аспекты, связанные с  интерпретацией выражений, с их смыслом, отношением к предметной области, обычно называют семантикой этих выражений.

В различных контекстах используются разные семантики арифметических выражений, заметив, что ему соответствует  либо число, либо функция, определенная в некоторой области значений переменных. При такой семантике, которую можно назвать функциональной, приходится считать эквивалентными многие выражения, имеющие совершенно различный вид, например такие, как (а + b)(а — b) , а² — b² и а² + 2с — b² — с — с. Кроме того, можно либо требовать, чтобы имена переменных совпадали, либо отказаться от этого требования и считать, что выражения а + b и х + у задают одну и ту же функцию переменных. Разумеется , можно было бы считать, что два выражения совпадают, если они описываются одним и тем же знакосочетанием. Тогда выражения (а) + (b), а + (b) и а + bимели бы разный смысл. Это определение еще менее удобно, так как в нем учитывается все даже лишние скобки.

Компромиссом между этими подходами  является подход, при котором два  выражения эквивалентны, если они  дают одну и ту же программу вычисления, при этом выражения (а +b) + с и а + (b + с) считаются различными.

При установлении эквивалентности  выражений часто используются приведение этих выражений к стандартному виду - два выражения, имеющие один и тот же стандартный вид, эквивалентны. Однако, такой стандартный вид не всегда существует.

Мы подвергли синтаксическому  и семантическому анализу термы  школьной алгебры (арифметические выражения). Два арифметических

выражения, соединенные знаком отношения (равенства или неравенства), образуют формулу, например (а + b)² = а² + 2ab + b², х² - 6х + 5 = 0, х² — 4 < х + 3,8-9>5+6и т.д. Если формула не содержит переменных, то она является высказыванием о числах (которое может быть как истинным, так и ложным). Например, высказывания 3 + 5 = 8,

8 - 6< 5,13 + 2≠ 4 + 10 истинны, а высказывания 3 + 5 < 8,8 6>5,13 + 2 = 4 + 10 ложны. Если же формула содержит переменные, то она является высказывательной формой. Задача отыскания множества истинности этой формы называется в школьной математике задачей о решении уравнения или неравенства. Включая в язык школьной алгебры логические операции дизъюнкции и конъюнкции, получаем возможность записывать и системы уравнений, а также более сложные задачи об уравнениях и неравенствах: например,

(х + у = 5) & (х² + у² =13) - система уравнений;

(х + у < 5)&(х² + у² > 13) - система неравенств и т.д.

Термами и формулами исчерпываются  выражения языка школьной алгебры.

Всякое математическое предложение  состоит только из математических и  логических терминов или заменяющих их символов. Математические термины (или  символы) обозначают объекты, изучаемые  математической теорией, которой принадлежит  данное предложение. Логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из математических терминов образуются предложения и из одних предложений конструируются другие предложения.

Математические предложения часто  формируются в виде импликаций.

Если импликация р ⇒ q выражает некоторую теорему, то основание р называется условием, а следствие q - заключением теоремы.

Для импликации р ⇒ q (1) определим еще три импликации следующим образом:

1. если в (1) поменять местами основание р и следствие q, получим предложение q ⇒  р, (2) называемое обратным по отношению к предложению (1).
2. Если в (1) заменить р и q своими отрицаниями ̅p и ̅q соответственно, получим р ⇒ q, (3) называемое противоположным по отношению к предложению (1).
3. Если в (1) произвести одновременно преобразования, указанные в 1) и 2), получим предложение q ⇒ р, (4) называемое контрапозитивным (противоположно - обратным, или обратно - противоположным) по отношению к предложению (1).

Нетрудно заметить, что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны:

р ⇒ q ≡ q ⇒ р; q ⇒ р ≡ р ⇒q (эти равносильности выражают закон контрапозиции, на котором основано правило контрапозиции).

 

§2. Логическая основа методов доказательств, используемых в школьной математике.

Требование всякой задачи на доказательство состоит в том, чтобы доказать некоторое сформулированное в задаче утверждение. А что это значит?

В жизни часто, когда говорят  о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. Но в науке проверка и доказательство - это разные вещи, хотя, конечно, и связанные между собой. Слово «доказательство», как и слово «рассуждение», применяется в обыденной речи в весьма широком и недостаточно утонченном (расплывчатом) смысле.

Вообще, доказать какое-либо утверждение-это  значит показать, что это утверждение  является логическим следствием системы  уже доказанных и принятых в науке  утверждений (или, как говорят, некоторой  теории). Каждый шаг доказательства обычно имеет такую структуру: 1) доказанное раннее или принятое утверждение; 2) условие задачи; 3) логическое следствие  из применения этого общего утверждения  к данному условию задачи. Доказательство, построенное из таких шагов, можно  назвать прямым доказательством. Решение задач на доказательства обычно оформляют в виде прямого доказательства. Но найти прямое доказательство сразу, как правило, не удаётся. Процесс нахождения доказательства строится обычно в обратном порядке, идя не от условий к требованию, а, наоборот, от требованию к условиям.