Логическая структура языка школьной математики

К прямым приёмам доказательства относятся:

1).Прием преобразования условия суждения (синтетический).

2).Прием преобразования заключения суждения:

а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ);

б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3).Прием последовательного преобразования либо условия, либо

заключения суждения.

Метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается  посредствам опровержения противоречащего  ему суждения) относится к косвенным  приемам поиска доказательств.

При доказательстве методом «от  противного» мы опираемся и на условие теоремы и на предложение, «противное» тому, что надо доказать. В общем виде теорема выглядит так:

 ∀x Î М, Р(х)⇒ (∀x Î М)(А(х) → В(х)), где (∀x Î М) — разъяснительная часть; А(х) - условие; В(х) - заключение. Строим отрицание:

(∀ х Î М)(А(х) → В(х)) ⇔  (∃ х ϵ М)(А(х)&В(х)).

Для того, чтобы опровергнуть (доказать ложность) всеобщего

условного предложения достаточно найти такой элемент, при котором

условие предложения будет истинно, а заключение - ложно.

Сформулированное правило называется правило контрпримера.

Допустив противное мы можем прийти к противоречию с каким-либо

верным утверждением (с аксиомой, теоремой), к противоречию с условием

теоремы или прийти к нелепому выводу, например: а > а.

Пример.

Доказать, что  - иррациональное число.

Доказательство. Допустим противное: - рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби где m и n целые числа.

Возведем предполагаемое равенство  в квадрат: = ⇒ 2 = ⇒

т² = 2п². Отсюда следует, что т² четно, значит четно и т; следовательно, делится на 4, а значит, n² и n тоже четны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби Значит, исходное предположение

было неверным и - иррациональное число.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения  охватывают бесконечное число частных  случаев, а провести проверку для  бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто  приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях вывод из такого рода затруднений заключается в  обращении к особому методу рассуждении, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем: Если предложение А(n):

1) справедливо (истинно) при n = 1;

2) из предположения, что это предложение истинно при n =k, следует истинность этого предложения и при n = k + 1 ,то предложение A(n) истинно при всех натуральных n.

Метод математической индукции основан  на следующем логическом законе, который  мы запишем в предикатной форме.

Пусть дано множество натуральных чисел N.

A(l)& ∀  k ϵ N, (A(k) A(k + 1))

∀ n ϵ N, A(n).

На практике этот логический закон  формулируется в виде следующего правила: «Если некоторое утверждение, зависящее от натурального числа n, будет истинно при n=1 и из предположения истинности его при n=k, будет следовать истинность при n=k+1, то это утверждение будет истинно для любого п из множества натуральных чисел».

Это правило в свою очередь позволяет  выделить основные шаги алгоритма действий при решении конкретных задач. Он описан выше.

Многих учащихся смущает сложность  этой аксиомы, ее недостаточная очевидность. Поэтому покажем, что эту аксиому  можно доказать, как теорему, приняв за аксиому более простое и  более очевидное положение, а  именно следующую.

§3. Логические подходы к введению базовых понятий школьного курса математики и процессу решения некоторых задач

 

Пропедевтика (начальная подготовка) тождественных преобразований, понятий  уравнения и неравенства ведется  уже в начальной школе. Тождественные  преобразования числовых выражений, простейшие уравнения и неравенства являются, по сути, элементами алгебраического  материала, использование которого в начальной школе способствует материальной подготовке учащихся. Происходит обобщение знаний о числах и свойствах  арифметических действий, что являются основным содержанием курса математики начальной школы.

Тождественные преобразования используются, в частности, при развитии вычислительных навыков учащихся при устном и  письменном счете. Применяются коммутативный  и ассоциативный законы сложения и умножения, дистрибутивный закон  умножения относительно сложения.

Алгебраические законы действий рассматриваются в начальной школе в виде правил: сложение числа с суммой (разностью) и вычитание из числа суммы (разности): а ± (b ± с); сложение числа с суммой: (b + с) + а; сложение двух сумм (разностей) или их вычитание:(а b) (с d);  умножение и деление числа на произведение:a; порядка действий со скобками и без скобок.

Первое тождественное преобразование ученики совершают, когда заменяют арифметическое действие его результатом (например, 2 + 1 = 3). Простейшие уравнения, с которыми встречаются младшие  школьники, это числовые равенства  с окошечками вида 2 + □ = 3. Ученики  решают такие уравнения, исходя из зависимости  между компонентами и результатами действий. Находя неизвестное число, учащиеся осознают, что значит решить уравнение (найти число, при подстановке которого в окошечко получаем верное равенство).

С числовым неравенством школьники  также встречаются на первых страницах  учебника математики, решая задачи типа: поставить знак « > »,

 « < » или « = » вместо звездочки в запись 2 * 1 и ей подобные. Неравенства с переменной тоже выглядят как неравенства с окошечком, например,

2 + □ > 3. Ученики подбором находят  числа, подстановка каждого из  которых приводит к верному  числовому неравенству.

Рассмотренные простейшие случаи дают возможность формировать правильные представления у учащихся о тождественных  преобразованиях выражений, об уравнениях, неравенствах и их решениях.

В V классе продолжается знакомство учащихся с уравнениями и неравенствами, в процессе решения которых используются тождественные преобразования. Целесообразно  предлагать пятиклассникам как можно  большее число разнообразных  упражнений. Внеурочная работа по математике создает для этого дополнительные возможности.

Приведем задачи для внеурочных занятий по математике в V классе с  целью пропедевтики понятий тождественного преобразования, уравнения, неравенства.

Задача1.

Найдите сумму всех однозначных  чисел самым легким способом. Слова  «самым легким способом» в условии  задачи заставляют детей заняться поиском  нового способа нахождения суммы  в отличие от последовательного  сложения чисел. Для этого им приходится вглядеться в приведенный ряд слагаемых, чтобы установить закономерность: суммы равноудаленных от концов ряда чисел одинаковы:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 10

(если дети не видят этого,  то учитель с помощью вопросов  подводит их к нужному выводу). Отсюда способ быстрого и легкого  нахождения искомой суммы:

1 + 2 +3+4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,104 + 5 = 45.

Затем учитель с учащимися обосновывают каждый шаг решения.

Задача2.

Сколькими способами можно представить  число 50 в виде суммы двух четных чисел? (Порядок не учитывать).

Эту задачу решить ученики сначала  затрудняются. Учитель должен переформулировать  ее: сколько пар четных чисел, меньших 50, в сумме дают 50? Какие это  пары?

Дети рассуждают следующим образом: 0, 2, 4, 6, 8, ..., 48, 50 - чисел 26, пар 13, значит, 13 способов.

В процессе решения этой задачи учащиеся приобретают умение наблюдать, устанавливать  закономерность, обобщать, использовать данный метод в другой ситуации. При этом они убеждаются, что буквенный  перенос способа деятельности не всегда приводит к цели, не всегда возможен. Их поиски обогащаются видоизмененным методом. Таким образом, при переходе от задачи к задаче учащиеся приобретают  навыки самостоятельного поиска путей  решения, творческого подхода к  делу, так как дополнительный шаг  к получению решения задачи по сравнению с предыдущей небольшой и вполне им доступен.

 

 

 

 

ЗадачаЗ.

В записи 1*2*3*4*5 замените звездочки знаками действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Решая эту задачу, учащиеся вместе с учителем отыскивают способ получения  результата. Замечают, что только с  помощью сложения и вычитания  чисел 1, 2, 3, 4, 5 получить 100 не удается, так  как сумма их всех равна 15 < 100, значит, надо использовать операцию умножения. Учитель предлагает изучить структуру  числа 100. Получают, что 100 это 2 2 5 5 = 455; сравнивая с записью 1*2*3*4*5 выражение 455, дети формируют ключевую задачу, которая составляет к тому же часть данной задачи: число 5 записать с помощью чисел 1, 2, 3. Составляют возможные комбинации. Их две: 5 = 1 (2 + 3) или 12 + 3; отсюда искомый результат: 100 = 1 (2 + 3) 4 5 или 100 = (1 2 + 3) 4 5

При усложнении задачи детям приходится рассматривать больше вариантов. Эта  работа способствует развитию комбинаторного мышления. Простейшие уравнения, решаемые на основе зависимости между компонентами арифметических действий, учащиеся получают, дополняя отсутствующие цифры. (Например, 7 - □ = 7, □ - 2 = 2, 3 - □ = 1 и т.д.), заменяя звездочки цифрами (например, *+2 = 4, 1 +*= 5 и т.д.). К более сложным уравнениям учащиеся приходят, занимаясь заполнением магического квадрата (например: 612 + 198 + □ = 1000,

1000 - (198 + 252) = □ и т.д.), или выполняя составное арифметическое задание (например: 25 + 13 + □ = 45, 13 + 19 + □ = 45 и т.д.). Некоторые задачи требуют более творческого подхода . При их решении учащимся приходится обратиться к свойствам чисел и получаемых сумм. При этом очень важно попросить учащихся объяснить свои рассуждения.

В процессе решения приведенных  задач актуализируются знания учащихся, мобилизуется их внимание, активизируются математические способности, что показывает опыт, ведет к формированию творческих начал пятиклассников. Среди математиков и методистов велись и ведутся споры по поводу трактовки понятия уравнения. Часто уравнение рассматривается как аналитическая запись задачи об отыскании совокупности тех значений переменных, при которой выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, принимают равные значения. Такой подход несколько суживает использование понятия уравнения. Термин «уравнение» мы часто употребляем, не связывая его с задачей отыскания решений. Так, мы говорим об «уравнении касательной», об «уравнении движении точки» и т.п. поэтому более удобной нам представляется точка зрения, которая проводится в действующих учебниках с IV класса: под уравнением понимается всякое равенство, содержащее переменные. Примерами уравнений могут служить равенства: х + 4 = 5, (х + 2)² = х² + 4х + 4, x + у = у + x, s = v t.

Уравнения и неравенства с переменными  мы можем рассматривать как частный  вид предложений с переменными. Поясним эту мысль подробнее.

Рассмотрим равенства и неравенства 3 + 5 = 8, >3³ = 10 - 2,

3 ÷ > + левая и правая части которых представляют собой числовые

выражения, имеющие смысл. О каждом из них можно сказать, является ли оно истинным или ложным. Поэтому  числовые равенства и неравенства, в которых левая и правая части  есть выражения, имеющие смысл, можно

рассматривать как высказывания.

Уравнения х + 6 = 8, = х + 4, неравенства с переменными > 2,

х² < у² не являются высказываниями. Если в уравнение (неравенство) с одной переменной подставить вместо переменной такое ее значение, при котором обе части уравнения (неравенства) имеют смысл, то получится числовое равенство (неравенство), истинное или ложное. Аналогично обстоит дело с уравнениями и неравенствами с несколькими переменными. Здесь речь будет идти о подстановке некоторой совокупности значений переменных (пары, тройки и т.п.). Таким образом, каждое уравнение или неравенство с переменными представляет собой высказывательную форму, которая при определенных значениях переменных обращается в истинное

или ложное высказывание. Такие высказывательные формы иначе называются, как известно, предложениями с переменными.

Значение переменной, при котором  уравнение (неравенство) с одной  переменной обращается в истинное числовое равенство (неравенство), называется его  решением. Решение уравнения с  одной переменной принято называть корнем уравнения.

Из всех вопросов школьного курса  математики учение об уравнении занимает наиболее важное место. Действительно, учение об уравнениях непосредственно  связано с учением о функциях, оно помогает ученикам понять зависимость  между величинами, характеризующими различного рода явления реального  мира, и выражения этих зависимостей.

Решение их позволяет конкретно  применить тождественные преобразования; уравнения дают обучающимся наиболее рациональный метод решения задач  с конкретным содержанием и позволяют  обобщить приёмы решения ряда типовых  задач.

Решение задачи с помощью составления  уравнения требует от ученика  рассуждений, сообразительности и  прежде всего общего развития учеников, запаса жизненных представлений, то есть умения представить конкретную ситуацию, изложенную в условии задачи.

В решении задачи методом уравнений  ученики часто могут идти различными путями и проявить творческую инициативу, изобретательность. Теоретическая  и практическая ценность этой темы отражена в учебном плане по математике.

Современные программы по математике предусматривают решение простейших уравнений в V классе, с использованием известных ученикам зависимостей между  компонентами четырех арифметических действий.