Логическая структура языка школьной математики

«Решение уравнений первой степени  с одним неизвестным» лучше всего  начинать с изучения вопроса о  равенствах. Следует обратить внимание учеников на то, что им приходилось много раз встречаться с такими формулами, в которых два алгебраических выражения соединены знаком равенства.

Два алгебраических выражения, соединенные  знаком равенства, принято называть равенством. Примерами могут служить  следующие равенства: а(b + с) = a b + b c;

30 - 12 = 18; 3а + 4 = 2а + а + 4.

Равенства, в которых содержаться  только известные числа, называются численными или арифметическими.

Для проверки арифметического равенства  проводят вычисления левой и правой частей равенства. Полезно привести примеры, в которых требуется  сделать сложные вычисления для  проверки справедливости равенства.

Примеры:

1. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 =×

2. 1 + 3¹ + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ =

3. 2⁴ = 4²;

4. 3⁵ = 5³;

5. 3 × 35 - 5 = 3 × 30;

Затем следует показать ученикам, что совсем иначе обстоит дело с равенством, содержащим буквенные  выражения; такие равенства могут  оказаться верными при одних  значениях букв и неверными при  других значениях букв, входящих в  равенство.

Примеры:

1. 4а + b = 2b + а верно при а = 1, b = 3 и неверно при а = 2, b = 3.

2. х + 13 = 27 верно при единственном значении х = 14, но неверно при всех других значениях.

Иногда можно получить равенство, которое становится бессмысленным  при некоторых значениях букв, входящих в него.

Так, ах + 3 = 27 теряет смысл при а = 0, так как 0 • x+3≠27ни при каком значении х.

Далее следует остановить внимание учеников на равенствах, верных при  любых значениях входящих в них  букв; такие равенства называются тождеством. Примеры следует привести в первую очередь из ряда арифметических знаков, например: а - b - с = а - b + с; (а - b)с = ас - bc и др.

Надо отметить, что арифметические равенства представляют тождества.

После этих рассуждений можно ввести понятие об уравнениях.

Но прежде всего необходимо установить, что мы сами понимаем под уравнением и как подвести учеников к этому понятию. Существует три отличающихся друг от друга определения:

1) уравнение рассматривается как равенство, справедливое при некоторых значениях входящих в него букв.

2) Уравнение рассматривается как любое равенство, в котором одно или несколько чисел, выраженных буквами, считаются неизвестными, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными.

3) Уравнение определяется так: вопросительное предложение о том, существуют ли такие значения неизвестной величины, при которых одно выражение равно другому; если существуют, то одно ли, если не одно, то сколько и какие.

На первый взгляд, простейшее из указанных  определений - первое, казалось бы самое доступное для понимания учащихся, но оно оказывается узким, не охватывает всего объема этого понятия.

Ведь понятие уравнения в  современной жизни находит многообразные  применения: при помощи уравнения  выражаются зависимости между величинами и значениях одних величин находятся по значениям других величин, в виде уравнений записываются многие законы физики, химии, техники, при помощи уравнений задаются кривые и т.д.

Кроме этого, указанная трактовка  уравнения никак не связывает  понятие уравнения с понятием функции.

Второе определение отражает научную  трактовку уравнения, а именно, что  уравнение - «равенство между значениями двух функций того или иного числа  неизвестных величин», причем в частных  случаях одна из функций может  равняться постоянному числу.

Третье определение указывает  на вопросительный характер равенства, подчеркивая противоположность  такого рода равенства тождеству  как утвердительному равенству. Но в этой трактовке смешивается  понятие уравнения с понятием о решении уравнения. К тому же не всегда можно определить характер равенства заранее и, таким образом, отнести равенство к уравнению  или тождеству.

Ученики должны быть подведены ко второму определению понятия  уравнения.

Однако учащиеся первоначально  знакомятся с понятием уравнения  при решении задач, в которых  приходится отвечать на некоторый вопрос, поставленный в условии задачи, и  поэтому на первом этапе изучения уравнений целесообразно показать вопросительный характер равенства.

В дальнейшем изучении математики понятие  уравнения должно уточняться и расширяться: в связи с изучением законов  физики ученики знакомятся с выражением зависимости между физическими  величинами, при изучении функции  и их графиков учащиеся видят, что  равенства, содержащие известные (переменные) величины, могут служить средством  задания функций и изучения свойств  функций. Таким образом, ученики, окончив  школу, получат достаточно широкое  представление об уравнении, необходимое  им в общем комплексе знаний по основам наук, таких знаний, которые  будут нужны им в практической жизни.

К определению уравнения нужно  подвести учеников постепенно, расширяя это понятие, но учитель должен заранее  знать к чему он ведет их, поэтому  он должен выбрать ту или иную точку  зрения на уравнения и придерживаться ее. От выбранной точки зрения будет зависеть подготовительная работа, которую учитель будет вести с учениками V и VI классов в плане пропедевтики темы «Уравнения».

Я рекомендую второе определение уравнения. В классе, где ученики впервые  встречаются с термином «уравнение», следует дать определение уравнению  с одним неизвестным. (Равенство, в котором одно число, выраженное буквой, считается известным, называется уравнением с одним неизвестным).

Понятие об уравнении проще всего  устанавливается при решении  задач. При согласованной работе учителя математики с учителем начальных классов представление об уравнении можно создать очень рано. Так, при решении примеров на вычитание различных компонентов действий полезно придавать записям такой вид: х + 5 = 7, 36 ÷ x = 4, 27 - х = 13, x ÷ 6 = 9 и читая эти условия в форме вопроса, например: к какому числу надо прибавить 5, чтобы получилось 7? Какое число надо разделить на 6, чтобы получилось 9?

В V классе решаются примеры, которые  представляют собой простейшие уравнения, например: 4,75 + х + 5,05 = 24,1, а - (4,6 - 0,9) = 10.

В IV и V классах некоторые задачи, особенно типовые, иногда решают с введением  обозначения неизвестной величины буквой, например х, что уже представляет собой скрытое решение уравнений.

Разберем в качестве примера  такую задачу. «В двух ящиках 126 яблок. В одном на 24 яблока больше, чем в другом. Сколько яблок в каждом ящике?»

Решается эта задача заменой  или предположением, но оформить решение  можно так, что получим уравнение:

1 ящик	x яблок
2 ящик	x яблок

 

+24 яблока 
 

Всего яблок х + (х + 4) = х + х + 24 = 2х + 24. В общее количество яблок входит удвоенное количество яблок из первого ящика и еще 24 яблока; все это количество составляет 126 яблок. Значит, 2х + 24 = 126.

Удвоенное количество яблок из первого  ящика равно:

2х = 126 - 24; 2х = 102 (яблока),

 А количество яблок в первом  ящике равно:

х = 102 ¸ 2 = 51 (яблоко).

Количество яблок во втором ящике  равно:

х + 24 = 51 + 24 = 75 (яблок).

В IV и V классах нельзя обращать решение  полученного «уравнения» в механизм с таким рассуждением, что 2х = 126 - 24, отсюда х = 102 ÷ 2 = 51, т.е. отвлекаться от смыслового значения выражения 2х и х, или пользоваться механически зависимостью между компонентами действий (что вообще в простейших случаях не исключено даже и в этих классах, но обычно вводится в VI классе, когда ученики будут иметь первоначальное понятие об уравнении).

В V классе для ознакомления с уравнением следует использовать и геометрический материал: задачи, связанные с нахождением  площадей прямолинейных фигур - прямоугольника и треугольника, площади поверхности  и т.д.

Как уже было сказано, в V классе нет надобности даже вводить термин «уравнение», а ограничится термином «равенство».

Некоторые учителя в процессе решения  уравнений обращают внимание

на то, что простейшие рассуждения  приводят всегда к «перемещению»

членов уравнения из одной части  в другую с противоположным знаком, и в дальнейшем этим пользуются механически, не затрагивая вопроса о свойстве уравнения. Механический перенос членов уравнения освобождает от утомительных рассуждений и может быть введен в VI классе.

Дальше остается тренировать учащихся в решении уравнений и задач  на составление уравнений, не усложняя чрезмерно условий задач, но усложняя задаваемые уравнения соответственно изучаемым тождественным преобразованиям. Следуя этому принципу, мы получим  примерно такую последовательность простейших уравнений:

х +3 = 7;   3х = 9; 2х + 3 = 13; 8 - 6х = 10;

5х - 4 = 11 и т.д. 

Уравнения, связанные с привидением  подобных членов:

5х + 2х = 14;  8 -7х - 34 = 30;

5у + 7 - 8у + 6у + 3 = 13 и  т.д.

Уравнения, связанные со сложением  многочленов:

(3х + 8) + (2х - 5) = 13; х + (х - 8) = 16;

3х - (х - 4) = 42 и т.д.

Уравнения, связанные с умножением многочленов:

(3х+2)(2х - 2) - 6х(х - 1) = 33;

(3х - 2)² + 9х(2 - х) = 8 и т.д.

В V классе задачи не должны приводить  к уравнениям с дробными членами (когда неизвестная буква входит в знаменатель дроби). Решать же уравнения  с дробными коэффициентами весьма полезно. Для примера приведу задачу допустимой сложности в V классе. «За 3 м. шерстяной и 5 м. шелковой ткани заплатили 136 руб. Сколько стоит метр каждой материи, если цена шерстяной материи больше цены шелковой на 24 руб.?»

Условие приводит к уравнению: 5х + 3(х + 24) = 136.

При решении подобных уравнений  используются простейшие преобразования: умножения многочленов, приведение подобных членов и т.д.

Уравнения также служат одним из источников введения новых чисел.

 

Например

3 - х = 5;	х2 = 2	= 5
х = 3- 5 x =-2	х = ±√2	x=
(отриц. число)	(рац. число)	(иррац. число)

То есть уравнения служат алгебраической мотивацией введения новых чисел.

В IV - V классах вводится алгоритм решения  уравнений, основанный на нахождении неизвестного компонента данного арифметического  действия. Существует четыре арифметических действия: сложение, вычитание, деление, умножение.

3+x=8

x=8-3

x=5

x +3=8

x+3-3=8-3

x=5

в

VI классе 

Для решения уравнения вида: х + а = b или х — а = b используется выражение: по смыслу выражения находим вычитаемое или уменьшаемое. Правило1: чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо от суммы отнять известное слагаемое.

Правило2: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

ПравилоЗ: чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо от уменьшаемого отнять разность.

Правило4: чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный сомножитель.

Правило5: чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Правило 6: чтобы найти неизвестный делитель, необходимое делимое разделить на частное.

В VI классе изучаются уравнения  в теме «Отрицательные числа». Здесь  дается обоснование основного алгоритма  решения уравнений вида: х + а =

b, которое вытекает из задачи с рычажными весами. Здесь необходимо прибавить к левой и правой частям уравнения число противоположное а, чтобы уровнять чащи весов, т.е. вводится правило переноса из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и правило деления обеих частей уравнения на число не равное нулю. Это и есть основной алгоритм решения уравнений, но заметим, что он дается без теоретического обоснования, т.к. нет понятия равносильности.

Заметим, что в VI классе в уравнении  переменная содержится в обеих

частях уравнения и коэффициентами являются дробные и отрицательные

числа. Например:x- =5,1x + 2, т.е. в V и VI классах решаются

уравнения одного вида - линейные уравнения  с одной переменной. Но они решаются 3 способами в зависимости от возраста обучающихся. В VI классе вводится термин «корень уравнения» и «решить уравнения» - найти его корни. Правило решения уравнения все еще формулируется как правило нахождения неизвестного компонента арифметического действия.

Заметим, что именно в VI классе закладывается основа классификаций уравнений по числу переменных и степени входящих переменных и подготавливается почва для исследования функции с помощью уравнений и неравенств. В V и VI много текстовых задач решаются с помощью уравнений.

Важная цель при обучении решения  задач методом уравнений - научить  основам моделирования и показать, что уравнения и неравенства - это основные типы математических моделей. Задачи в V и VI классах решаются арифметическим и алгебраическим методами. Возникает  вопрос: каким методом решать? Рекомендуется следующий подход: если задача не требует обязательного введения переменной, то она решается арифметическим способом, если удобнее с переменной, то алгебраическим.

Арифметический способ - когда все логические операции решения задачи проводятся над конкретными числами. Основой рассуждения являются знания смысла арифметических действий.

Алгебраический способ - когда составляется уравнение, решение которого основано на свойствах уравнений. Еще есть и комбинированный способ, который включает арифметический и алгебраический способы решения.

Работа над любой задачей  начинается с чтения текста, беседы по тексту и краткой записи условия задачи.