Логическая структура языка школьной математики

Арифметический способ - вопрос по следующим действиям или решение с последующим объяснением, или числовое решение без текста. Типы задач: задачи на движение в прямом и обратном направлениях, задачи на работу, задачи на проценты, задачи на нахождение части от числа и числа по его части, экономические задачи и т.д.

Одним из самых простых и в  то же время очень важных видов  математических моделях реальных ситуаций являются известные ученикам V - VI классах линейные уравнения с одной переменной. Примерами могут служить следующие уравнения: 3x = 12, 5у - 10 = 0 и т.д. решить линейное уравнение - это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение Зх = 12 имеет корень х = 4, т.к. 3× 4 = 12 - верное равенство, причем других корней нет.

Вообще линейным уравнением с одной  переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а, b - любые числа (коэффициенты), при этом

а ≠0; во всех этих случаях уравнения имели единственный корень х =-    Важно чтобы учитель выработал определенную программу действий, определенный порядок ходов - в математике в таких случаях используется термин алгоритм - для решения линейного уравнения. Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0, когда а ≠ 0.

1.Преобразовать уравнение к виду ах = b.

2.Записать корень уравнения в виде х = (-b) ÷ а, или, что тоже самое, х = - .

А как быть учителю, если уравнение  записано в более сложном виде, например: 2х - 2 = 10 - х?

В этом случае необходимо четко и  понятно объяснить ученикам как поступить и чем воспользоваться. Учитель должен рассуждать так: два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю:

(2х - 2) - (10 - х) = 0. Ученики должны вспомнить известные из курса математике V - VI классов правила раскрытия скобок и приведения подобных членов: 2х - 2 - 10 + х = 0;

Зх = 12;

х = 4.

Такие уравнения ученики уже  решали в V - VI классе. Здесь учитель  должен ввести еще один алгоритм.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с).

1.Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.

2.Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kх + т = 0, где k ≠ 0.

3.Преобразовать уравнение к виду kх =-т и записать его корень: х =-.

Необходимо также вспомнить  два основных свойства уравнений, которые позволяют преобразовать уравнение в более простое, но равносильное начальному, то есть при этих преобразованиях уравнение не может приобрести новые корни, не может и потерять своих корней.

Свойство 1: при прибавлении к каждой части уравнения целого выражения, содержащего неизвестное, получается новое уравнение, имеющее только один корень, при этом такой же, как и начальное уравнение.

Следствие 1: члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом знак этих членов на противоположный.

Следствие 2: два равных числа, стоящих в обеих частях уравнения с

одинаковыми знаками, можно опустить.

Свойство 2: если обе части уравнения умножить на какое-нибудь число, не равное нулю, то в результате получится новое уравнение, имеющее только тот корень, что и исходное, может быть выведено одним из приемов, использованных при выводе первого свойства.

После изучения темы «Линейные уравнения с одной переменной» ученики изучают «Линейное уравнение с двумя переменными».

В этой теме они знакомятся с новыми понятиями: что такое линейное уравнение  с двумя переменными, что значит решить уравнение, что является его  решением, а также научится строить  графики.

Уравнение вида ах + by + с = 0, где а, b, с - числа (коэффициенты) - линейное уравнение с двумя переменными х и у. Числа могут быть любыми, кроме одного случая, когда а = 0 и b = 0.

Решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (а; b), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.

Учителю необходимо, чтобы ученики  хорошо усвоили эту тему. Это позволит им от одной математической модели (алгебраической) перейти к другой математической модели (геометрической).

Если даны два линейных уравнения  с двумя переменными х и у: a₁ +  b₁ + с₁ = 0 и а₂х + b₂у + с₂ = 0, которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом - фигурной скобкой '

а_хх + b_гу + с_г = 0,

а₂х + b₂у + с₂ = 0.

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы. Решить систему - это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Вообще с неравенствами ученики  знакомятся в начальной школе. Они

сравнивают числа, устанавливают  знаки: больше или меньше между

числовыми выражениями. Такого же типа задания преобладают в V - VI

классах.

Например:

a) отметить на координатном луче натуральное число, удовлетворяющее неравенству х < 3;

b) отметить на координатной прямой число, удовлетворяющее неравенству -2 < х < 5;

c) сравнить дроби и т.д.

Т.е. все задания носят практический характер.

В учебнике для VII касса под редакцией С.А.Теляковского в §11 п.26 изучаются числовые неравенства. В этом пункте дается определение: число а больше числа b, если разность а - b - положительное число; число а меньше числа b, если разность а — b - отрицательное число. Если разность

а - b равна нулю, то число а равно числу b. Это определение согласуется с тем, которое было принято в курсе V класса: из двух чисел а и b меньшим становится то, которое изображается на координатной прямой точкой, лежащей левее, и большим считается то, которое изображается точкой, лежащей правее. Ученики должны очень хорошо усвоить это определение для выполнения практических заданий, а также различать строгие и нестрогие неравенства для правильной записи ответа.

При записи ответа ученику необходимо понимать что значит «объединение»  решений.

Далее в этом учебнике изучаются свойства числовых неравенств:

1. Если а < b и b < с, то а < с.
2. Если а < b и с - любое число, то а + с < b + с.
3. Если а < b и с - отрицательное число, то ас > bc.

Ученики должны понимать, что является решением неравенства. Решением неравенства  с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его  в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все  его решения или доказать, что  их нет.

Неравенство вида ах > b или ах < b, где а и b - некоторые числа, называется линейным неравенством с одной переменной.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Затем изучаются системы неравенств с одной переменной. Для усвоения этой темы, учитель решает вместе с  учениками задачу на составление  системы неравенств.

Неравенства играют важную роль для  изучения свойств функции, а именно: промежутки, в которых функция  сохраняет знак; возрастание и убывание. Также изучается функция вида: у = ее свойства.                                                            Основное содержание темы, как и при изучении уравнений:

1. Алгебраический способ решения.
2. Графический способ решения.
3. Исследование числа решений.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля,      используется определение модуля:

f(x), если f(x)>0

|f(x) |=

                          -f(x), если f(x)<0.

Говорят, что несколько  неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором  каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Также существуют дробно - линейные неравенства.

В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость  заменить одно выражение другим, более  простым или более удобным, для  решения рассматриваемой задачи. Иначе говоря, приходится совершать  тождественные преобразования выражений.

Важное место занимают тождественные  преобразования и в школьном курсе  математике. При решении уравнений  и неравенств, при исследовании функций (как элементарными средствами, так  и с помощью производной), при  выводе ряда форму алгебры и геометрии  и многих других вопросов постоянно  приходится выполнять те или иные тождественные преобразования. Можно  сказать, что тождественные преобразования составляют одну из основных линий, которая  пронизывает весь школьный курс математики, начиная с младших классов.

Сейчас я рассмотрю различные  подходы к понятию тождества. При всем многообразии словесных  формулировок понятий тождества, тождественного равенства двух выражении, тождественного преобразования выражений, можно выделить лишь 3 подхода, которые характеризуются следующими определениями:

Определение 1: равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Выражения, связанные знаком тождественного равенства, называют тождественно равным.

Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием  этого выражения.

Определение 2: равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством.

Под допустимыми значениями переменных здесь подразумеваются все значения переменных, при которых имеет  смысл левая и правая части  рассматриваемого равенства.

Тождественное равенство двух выражений, тождественное преобразование одного выражения в другое определяется аналогично тому, как и в первом случае.

Определение 3:  равенство, верное при любых значениях переменной (пар значений переменных, троек значений переменных и т.д.), принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему на данном

множестве, называют тождественным  преобразованием этого выражения  на

указанном множестве.

Из определения тождества на множестве непосредственно следует, что

отношение тождественного равенства  на данном множестве между

выражениями рефлексивно, симметрично  и транзитивно.

Таким образом, отношение тождественного равенства на данном

множестве между выражениями является отношением эквивалентности. Это

означает, что оно определяет разбиение  всех выражений, определенных на

заданном множестве М, на классы эквивалентности, т.е. на классы

выражений, тождественно равных друг другу на данном множестве М.

Тождественное преобразование выражения  на данном множестве с этой

точки зрения состоит в замене одного выражения другим из того же класса,

второго - третьим и т.д.

Тождественные преобразования выражений, вообще говоря, и                   производится с той целью, чтобы данное выражение заменить другим, ему

тождественно равным (т.е. из того же класса эквивалентности), но более

удобным для решения рассматриваемой задачи. Например, чтобы построить

график функции  f(х) = , выражение, целесообразно представить в виде 3 + Этот вид сразу показывает, что график функции f есть образ графика функции y = при параллельном переносе, который начало координат отображает на точку О′( 1;3).

При переходе к понятию тождества, выраженным определением 3, проводится теоретико-функциональная точка зрения. Эта точка зрения хорошо раскрывает смысл тождественно равных выражений: два выражения с одной переменной тождественно равны на данном множестве М, если при

любом значении переменной, принадлежащих множеству М, равны их соответствующие значения. При таком подходе легко доказать, что два выражения А(х) и B(x) на указанном множестве М не являются тождественно равными. Для этого достаточно найти такое х₀ϵМ, при котором A(x₀) ≠ B(x₀). Например, выражения  x² + х² и х⁴ не являются тождественно равными на множестве R, так как при х=1 значения этих выражении не равны: 1² + 1² =1⁴. Доказать же, что два выражения являются тождественно равными на некотором бесконечном множестве, опираясь на теоретико- функциональную точку зрения на понятие тождества, невозможно.

Для этого пользуются некоторыми исходными  тождествами, выражающими свойства операций, истинность которых принимается  в качестве аксиом:

1. а + (b + с) = (а + b) + с,
2. а + b - b + а,
3. 0 + а = а,
4. а + (-а) = 0,
5. а + (b + c)ab + ас.
6. а(bс) = (аb)с;
7. ab = bа;
8. 1 • а = а;
9. а •(а≠0).