Логическая структура языка школьной математики

Опираясь на эти тождества, выводятся  новые тождества, которые выражают правила тождественных преобразований, изучаемые в школьном курсе алгебры. Например, тождество (а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd, (1) выражающее правило умножения многочлена на многочлен, выводится на основании распределительного закона умножения с использованием правила подстановки: вместо любой переменной или выражения, принимающих значения из множества М, можно всюду, где эта переменная или выражение входят в тождество, подставлять одно и тоже выражение, принимающее значения из М, и при этом получится снова тождество. Обозначим двучлен      а + b буквой х; тогда выражение (а + b) (c + d) примет вид х(с + d). Раскрыв скобки (тождество 5), получим тождество. x (с + d) = хс + xd. (2)

Подстановка в тождество (2) вместо переменной л: выражения а+b приводит к новому тождеству:

(а + b)(с + d) = (а + b)с + (а + b)d. (2') Применяя к каждому слагаемому правой части тождества (2') распределительный закон и пользуясь транзитивностью отношения тождественного равенства, получим тождество (1).

При выводе новых тождеств используются также некоторые определения. Например, по определению полагают, что х⁵ = х • х • х •х • х;        а⁰ = 1, если а≠ 0.

Различают числовые и алгебраические выражения, поэтому можно говорить о тождественных преобразованиях  числовых выражений и алгебраических выражений.

Ученики начальной школы знают, что такое числовое выражение (- это число, которое получается в результате вычисления выражения). Вычисление - это процесс последовательных тождественных преобразований данного выражения. Сам термин «вычислить» здесь не употребляется. Здесь рассматриваются примеры такого вида:

1. найдите значения выражения;
2. упростить выражение и найти его значение;

Т.е. термин «преобразовать» выражения  выступает в виде двух выражений: упростить и найти значение.

В V классе добавляются упражнения вида: составить числовое уравнение  к задаче. Например: купили 5 тетрадей по 14 рублей и 3 по 18 рублей. Сколько  стоит вся покупка?

В начальной школе у обучающихся  выработаны твердые навыки вычислительных алгоритмов, т.е. порядок действии. Желательно, чтобы ученики знали теоретическую  основу преобразований числовых выражении,

т.е. умножая два многозначных числа, они должны понимать, что

используют распределительный  закон при последовательном умножении  на единицы разрядов множителей.

Ученики должны понимать, что используют позиционную систему исчисления, т.е. сдвиг влево обозначает умножение  на 10, что суммируя, мы применяем  сочетательный закон и т.д. затем  ученики знакомятся с буквенными выражениями не называя их.

В курсе алгебры VI класса вводится понятие степени с натуральным  показателем, изучаются свойства степеней и соответствующие тождественные  преобразования выражений со степенями. Лишь после этого вводятся термины  «тождественно равные выражения  на данном множестве», «тождество на множестве», «тождественное преобразование выражении». Продолжается изучение тождественных  преобразовании рациональных выражении (целых и дробных).

Вводится новый термин в VII классе «выражение с переменной», а не буквенное  выражение как раньше. Буква называется переменной, а также появляется термин «преобразование выражения», как  свойство действительных чисел.

Выделим несколько определении подводящих к понятию тождественных преобразовании.

Определение 1. Два выражения называются тождественно-равными, если при любых значениях переменной соответствующие значения этих выражении равны.

Определение 2. Равенство, верное при любых значениях переменной, называется тождеством.

Определение 3. Замена выражения другим ему тождественно-равным называется тождественным преобразованием.

Следует помнить, что в VII классе кроме  тождественных преобразований есть еще равносильные преобразования, которые  связаны с понятием уравнения.

Определение 4. Равенство, содержащее переменную, называется уравнением (если переменных несколько, то это формула).

Определение 5. Число, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Определение 6. Уравнение, имеющее одинаковые корни, называются

равносильными.

Процесс получения уравнения равносильного  данному - это равносильные преобразования.

Равносильных преобразований два:

1. перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
2. умножение или деление обеих сторон уравнения на число, отличное от нуля, обеих сторон уравнения.

Из выше сказанного следует, что, чтобы  ученики усвоили разницу между  тождественными и равносильными  преобразованиями, они должны знать, что тождество - это преобразование выражении, а равносильность - это преобразование уравнении и формул, но эти преобразования связаны между собой. И в формуле, и в уравнении можно выделить выражение стоящее и в левой, и в правой части, и применить к ним тождественные и равносильные преобразования. Достаточно с учениками хорошо разобрать один пример, чтобы они усвоили разницу между тождественными и равносильными преобразованиями.

Пример: Зх + 3(2,5 - 2х) = 13(2 - х).

1. шаг: тождественное преобразование - раскрытие скобок;

3х + 7,5 - 6х = 26 - 13х;

2. шаг: тождественное преобразование - привести подобные слагаемые;

-3х + 7,5 = 26 - 13х;

3. шаг: равносильное преобразование - перенос слагаемого;

-3х + 13х = 26 - 7,5;

4. шаг: тождественное преобразование - привести подобные слагаемые;

10х = 18,5;

5. шаг: равносильное преобразование - делим на 10;

х = 1,85.

Учитель должен следить за речью  обучающихся, т.е. за терминами: «преобразуем выражение, стоящее в правой части», «заменим уравнение равносильным» и т.д.

И все же основой VII класса, а значит основой всех тождественных преобразовании в целом является формула сокращенного выражения. Это:

(а ± b)² = а² ± 2ab + b²;

 а² - b² = (а - b) (а +b );

(а ± b)³ = а³ ± 3а²b + 3ab² ± b³;           

а³ + b³ = (а + b) (а² - аb + b²);

                                              а³-b³ = (а-b)(а² + аb + b²).

       При изучении этих формул основную роль играют хорошо продуманный цикл упражнений, который состоит из двух частей:

1. группа: по уяснению и закреплению данного тождества, т.е. овладение данным математическим понятием.
2. группа: упражнения по применению тождества в различных задачах, т.е. тождества как аппарат для решения математических задач.

Рассмотрим типы уравнений для  разности квадратов: а² -b ².                      I группа: на закрепление.

1. Преобразовать в виде произведения с² — 5² = (с - 5)(с + 5).

Здесь устанавливаются связи данного  тождества с числовыми множителями. Ученики усваивают, что роль «а» или «b» может играть число.

2. Раскрыть скобки

(x-y)(x-y )= х² - ху - ух + у².

Здесь формируются навыки использования  тождества в обратном направлении.

3. Упростить

(2 - х)² + (2 + х)² = 4 - 2х + х² + 4 + 2х + х² = 8 + 2х².

Здесь ученики должны увидеть, что  роль «а» или «b» может играть выражение, содержащее сумму или разность.

4. Разложить на множители

9х² - 25у² = (3х)² - (5у)² = (3х - 5у) (3х + 5у).                                                                Здесь ученики должны увидеть квадрат в коэффициенте.

5. Вычислить

(10² - 2²)(10² + 2²) = (10 - 2)(10 + 2) = 8 • 12 = 96

 применение тождества для  устного счета.

 II группа: на применение формул.

1. Исключить иррациональность в знаменателе                                                                                  

=

2)Упростить

 

3)Решить уравнение

х³ - 4х = 0;

х(х² - 4) = 0;

х=0 или х²-4=<span class="dash041e_0441_043d_043e_0432_043d_043e_0439_0020_0442_0435_043a_0441_0442_0020_002b_0020_0418_043d_0442_0435_0440_0432_0430_043b_00203_0020pt__Char" style=" font-size: 14pt; text-decoration: none