Математика в экономике

Оглавление

 

 

 

Задача 1

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет.

Время, t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Выручка, у	56,7	55,9	54,9	53,9	55,1	55,8	55,9	56,0	56,9	56,8
Объем капитало-  вложений, х	20,1	20,3	20,4	20,2	20,6	20,9	21,1	21,8	23,4	22,8

 

1. Построить поле корреляции.
2. Найти параметры уравнения линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.
3. Составить уравнения нелинейных регрессий:

• гиперболической ;

• степной ;
• показательной

4. Для каждой из моделей:

• найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);
• найти коэффициент детерминации;
• проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
• найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.
7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Уравнение парной регрессии.

Строим поле корреляции

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β – используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Строим таблицу для расчета показателей

x	y	x2	y2	x · y
20,1	56,7	404,01	3214,89	1139,67
20,3	55,9	412,09	3124,81	1134,77
20,4	54,9	416,16	3014,01	1119,96
20,2	53,9	408,04	2905,21	1088,78
20,6	55,1	424,36	3036,01	1135,06
20,9	55,8	436,81	3113,64	1166,22
21,1	55,9	445,21	3124,81	1179,49
21,8	56	475,24	3136	1220,8
23,4	56,9	547,56	3237,61	1331,46
22,8	56,8	519,84	3226,24	1295,04
211,6	557,9	4489,32	31133,23	11811,25

 

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 211,6 b = 557,9

211,6 a + 4489,32 b = 11811,25

Решаем систему и получаем: b = 0,513, a = 44,9353

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии) имеет вид:

y = 0,513 x + 44,9353

Линия регрессии:

 

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  2116;10 = 2116; y = ∑yi;n =  5579;10 = 5579;

xy = ∑xiyi;n =  1181125;10 = 118113

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n – x2 =  448932;10 – 21162 = 119;

S2y = ∑y2i;n – y2 =  3113323;10 – 55792 = 08

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  119 = 1089; Sy = S2y =  08 = 0894

Ковариация.

covxy = x·y – x·y = 118113 – 2116·5579 = 061

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

rxy = x·y –x·y ;Sx·Sy = 118113 – 2116·5579;1089·0894 = 0625

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  заметна и прямая.

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0,51 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.51.

Коэффициент a = 44.94 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе – обратная). В нашем примере связь прямая.

Коэффициент детерминации,

R2= 0,6252 = 0,3908 т.е. в 39,08 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 60,92 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

x	y	y(x)	(yi–ycp)2	(y–y(x))2
20,1	56,7	55,25	0,83	2,11
20,3	55,9	55,35	0,0121	0,3
20,4	54,9	55,4	0,79	0,25
20,2	53,9	55,3	3,57	1,95
20,6	55,1	55,5	0,48	0,16
20,9	55,8	55,66	0,0001	0,0206
21,1	55,9	55,76	0,0121	0,0198
21,8	56	56,12	0,0441	0,014
23,4	56,9	56,94	1,23	0,00153
22,8	56,8	56,63	1,02	0,0285
211,6	557,9	557,9	7,99	4,87

 

 

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = ∑yi – yx2;n – m – 1; S2 = 487;8 = 0608

S2 = 0,608 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S  = S2 = 0608 = 078

S = 0,78 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa – стандартное отклонение случайной величины a.

Sa = S  ∑x2;n Sx

Sa = 078  448932;10 • 1089 = 48

Sb – стандартное отклонение случайной величины b.

Sb = S;n Sx

Sb =  0.78; 10 • 1.089 = 0.23

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

t–статистика, Критерий Стьюдента,

tкрит (n–m–1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

tb = b;Sb

tb = 051;023 = 227

Поскольку 2,27  <  2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

ta = a;Sa

ta = 4494;48 = 937

Поскольку 9,37  >  2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

F–статистика. Критерий Фишера.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 = 1 – 487;799 = 03908

F = R2;1 – R2n – m –1;m

F = 03908;1 – 0390810–1–1;1 = 513

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F–критерием Фишера и t–статистикой Стьюдента выражается равенством:

t2r = t2b = F = 513 = 227

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид вид y = b/x + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: y=bx + a

Для оценки параметров α и β – используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑(1/x) = ∑y

a∑1/x + b∑(1/x2) = ∑y/x

1/x	y	1/x2	y2	y/x
0,0498	56,7	0,00248	3214,89	2,82
0,0493	55,9	0,00243	3124,81	2,75
0,049	54,9	0,0024	3014,01	2,69
0,0495	53,9	0,00245	2905,21	2,67
0,0485	55,1	0,00236	3036,01	2,67
0,0478	55,8	0,00229	3113,64	2,67
0,0474	55,9	0,00225	3124,81	2,65
0,0459	56	0,0021	3136	2,57
0,0427	56,9	0,00183	3237,61	2,43
0,0439	56,8	0,00192	3226,24	2,49
0,47	557,9	0,0225	31133,23	26,42

 

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 0,47 b = 557,9

0,47 a + 0,0225 b  = 26,42

 Решаем систему и получаем: b = –238,6259, a = 67,0958

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = –238,6259 / x + 67,0958

 

 

 

 

Линия регрессии

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  047;10 = 00474

y = ∑yi;n =  5579;10 = 5579

xy = ∑xiyi;n =  2642;10 = 264

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n – x2 =  00225;10 – 004742 = 50E–6

S2y = ∑y2i;n – y2 =  3113323;10 – 55792 = 08

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  50E–6 = 000233

Sy = S2y =  08 = 0894

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

b = x • y–x • y;S2x = 264–00474 • 5579;50E–6 = –2386259

Эмпирическое корреляционное отношение.

η = ∑y – yx2; ∑yi – y2

η = 3088;799 = 0622

где

y – yx2 = 799 – 49 = 3088

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

R = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2

R = 1 – 49;799 = 062

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = 1 - ∑yi - yx2; ∑yi - y2

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Индекс детерминации.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 ; R2 = 1– 49;799 = 0387

т,е, в 38,66 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 61.34 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi–ycp)2	(y–y(x))2
20,1	56,7	55,22	0,83	2,18
20,3	55,9	55,34	0,0121	0,31
20,4	54,9	55,4	0,79	0,25
20,2	53,9	55,28	3,57	1,91
20,6	55,1	55,51	0,48	0,17
20,9	55,8	55,68	0,0001	0,0148
21,1	55,9	55,79	0,0121	0,0129
21,8	56	56,15	0,0441	0,0224
23,4	56,9	56,9	1,23	4,0E–6
22,8	56,8	56,63	1,02	0,029
211,6	557,9	557,9	7,99	4,9