Математика в экономике

 

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F – критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т.е. она лучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки от объема капиталовложений.

Лучшей является линейная модель вида. Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1 = 1,54 млн. руб., а в 2009 году -  1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб.Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии. Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия).В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.)В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.)

 

 

Задача 2

Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1, млн. руб.) и основных производственных фондов (х2, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8)

 

Таблица 8

Время, t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Выручка, у	56,7	55,9	54,9	53,9	55,1	55,8	55,9	56,0	56,9	56,8
Объем капитало-  вложений, х1	20,1	20,3	20,4	20,2	20,6	20,9	21,1	21,8	23,4	22,8
Основные  производственные фонды, х2	6,2	5,9	6,0	5,7	5,8	6,1	6,4	6,2	59,	6,5

1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х1 и х2. Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность.
2. Построить линейную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров b1 и b2.
3. Построить степенную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров β1 и β2.
4. Для каждой из моделей:

• найти коэффициент множественной корреляции;

• найти коэффициент детерминации;
• проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;
• найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель.

6. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик.
7. Найти частные коэффициенты эластичности и β – коэффициенты.
8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов).

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)–1XTY

 

К матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:

1	20,1	6,2
1	20,3	5,9
1	20,4	6
1	20,2	5,7
1	20,6	5,8
1	20,9	6,1
1	21,1	6,4
1	21,8	6,2
1	23,4	5,9
1	22,8	6,5

Матрица Y

 

56,7
55,9
54,9
53,9
55,1
55,8
55,9
56
56,9
56,8

Матрица XT

 

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
20,1	20,3	20,4	20,2	20,6	20,9	21,1	21,8	23,4	22,8
6,2	5,9	6	5,7	5,8	6,1	6,4	6,2	5,9	6,5

 

 

Умножаем матрицы, (XTX)

XT X = | 10;2116;607;2116;448932;128536;607;128536;36905

В матрице,  (XTX) число 10, лежащее на пересечении 1–й строки и 1–го столбца, получено как сумма произведений элементов 1–й строки матрицы XT и 1–го столбца матрицы X

Умножаем матрицы,  (XTY)

XT Y = | 5579;1181125;338781

 

Находим обратную матрицу (XTX)–1

74,351	–1,117	–8,337
–1,117	0,0964	–0,152
–8,337	–0,152	1,904

 

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

YX = | 74351;-1117;-8337;-1117;00964;-0152;-8337;-0152;1904 • | 5579;1181125;338781 = | 37676;0381;1658

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

 Y = 37,68 + 0,38X1 + 1,66X2

Матрица парных коэффициентов корреляции R.

Число наблюдений n = 10. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (10 х 4).

Матрица, составленная из Y и X

1	56,7	20,1	6,2
1	55,9	20,3	5,9
1	54,9	20,4	6
1	53,9	20,2	5,7
1	55,1	20,6	5,8
1	55,8	20,9	6,1
1	55,9	21,1	6,4
1	56	21,8	6,2
1	56,9	23,4	5,9
1	56,8	22,8	6,5

Транспонированная матрица,

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
56,7	55,9	54,9	53,9	55,1	55,8	55,9	56	56,9	56,8
20,1	20,3	20,4	20,2	20,6	20,9	21,1	21,8	23,4	22,8
6,2	5,9	6	5,7	5,8	6,1	6,4	6,2	5,9	6,5

Матрица ATA,

10	557,9	211,6	60,7
557,9	31133,23	11811,25	3387,81
211,6	11811,25	4489,32	1285,36
60,7	3387,81	1285,36	369,05

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

Найдем парные коэффициенты корреляции,

rxy = x • y –x • y ;sx • sy

ryx1  = 118113 – 2116 • 5579;109 • 089 = 0625

ryx2  = 33878 – 607 • 5579;025 • 089 = 0619

rx1 x2  = 12854 – 607 • 2116;025 • 109 = 0355

 

Признаки x и y	∑xi	x = ∑xi;n	∑yi	y = ∑yi;n	∑xiyi	xy = ∑xi yi;n
Для y и x1	211,6	21,16	557,9	55,79	11811,25	1181,125
Для y и x2	60,7	6,07	557,9	55,79	3387,81	338,781
Для x1  и x2	60,7	6,07	211,6	21,16	1285,36	128,536

 

Признаки x и y	Dx = ∑x2i;n – x2	Dy = ∑y2i;n – x2	sx = Dx	sy = Dy
Для y и x1	1,186	0,799	1,089	0,894
Для y и x2	0,0601	0,799	0,245	0,894
Для x1  и x2	0,0601	1,186	0,245	1,089

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

–	y	x1	x2
y	1	0,625	0,619
x1	0,625	1	0,355
x2	0,619	0,355	1

Для отбора наиболее значимых факторов xi учитываются следующие условия:

– связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;

– связь между факторами должна быть не более 0.7. Если в матрице есть межфакторный коэффициент корреляции rxjxi > 0.7, то в данной модели множественной регрессии существует мультиколлинеарность.;

– при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

В нашем случае все парные коэффициенты корреляции |r|<0.7, что говорит об отсутствии мультиколлинеарности факторов.

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых |ryxi| < 0,5 исключают из модели. Можно дать следующую качественную интерпретацию возможных значений коэффициента корреляции (по шкале Чеддока): если |r|>0,3 – связь практически отсутствует; 0,3 ≤ |r| ≤ 0,7 – связь средняя; 0,7 ≤ |r| ≤ 0,9 – связь сильная; |r| > 0,9  – связь весьма сильная.

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t–критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t–статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем наблюдаемые значения t–статистики для ryx1 по формуле:

tнабл = ryx1  n–m–1;1 – ryx1 2

где m = 1 – количество факторов в уравнении регрессии,

tнабл = 063 10 – 1 – 1;1 – 0632 = 227

По таблице Стьюдента находим Tтабл

tкрит(n–m–1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции, Другими словами, коэффициент корреляции статистически – не значим

Рассчитаем наблюдаемые значения t–статистики для ryx2 по формуле:

tнабл = 062 10 – 1 – 1;1 – 0622 = 223

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – не значим

Таким образом, связь между  является существенной.

Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x1 (r = 0.63), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.