Математика в экономике

Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X1 = lg x1, X2 = lg x2.

Тогда Y = A + β1 ∙ X1 + β2 ∙ X2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК.

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии

y	x1	x2	lg x1	lg x2	lg y	lg2 x1	lg x1* lg x2	lg y*lg x1	lg2 x2	lg y* lg x2
56,7	20,1	6,2	0,041	-0,398	0,477	0,002	-0,016	0,020	0,158	-0,190
55,9	20,3	5,9	0,041	-0,398	0,462	0,002	-0,016	0,019	0,158	-0,184
54,9	20,4	6	0,079	-0,155	0,477	0,006	-0,012	0,038	0,024	-0,074
53,9	20,2	5,7	0,146	-0,046	0,491	0,021	-0,007	0,072	0,002	-0,022
55,1	20,6	5,8	0,146	-0,046	0,505	0,021	-0,007	0,074	0,002	-0,023
55,8	20,9	6,1	0,146	-0,097	0,447	0,021	-0,014	0,065	0,009	-0,043
55,9	21,1	6,4	0,114	-0,097	0,462	0,013	-0,011	0,053	0,009	-0,045
56	21,8	6,2	0,204	0,041	0,531	0,042	0,008	0,108	0,002	0,022
56,9	23,4	59	0,114	-0,398	0,544	0,013	-0,045	0,062	0,158	-0,217
56,8	22,8	6,5	0,146	-0,301	0,556	0,021	-0,044	0,081	0,091	-0,167
56,7	20,1	6,2	1,178	-1,894	4,955	0,163	-0,165	0,592	0,614	-0,943

Решаем систему уравнений применяя метод Крамера.

    

  

    

Степенная модель множественной регрессии имеет вид:

В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.

Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов.

Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях.

Коэффициент множественной корреляции:

Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная.

Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии

Y	X1	X2	Y расч.	(Y-Yрасч.)2	(Y-Yср)2	A
56,7	20,1	6,2	55,2421535	0,000	0,020	0,007
55,9	20,3	5,9	55,3439754	0,006	0,058	0,027
54,9	20,4	6	55,3949567	0,026	0,020	0,054
53,9	20,2	5,7	55,293041	0,000	0,002	0,007
55,1	20,6	5,8	55,4970603	0,015	0,004	0,038
55,8	20,9	6,1	55,6505687	0,131	0,116	0,129
55,9	21,1	6,4	55,7531434	0,003	0,058	0,020
56	21,8	6,2	56,1136461	0,007	0,068	0,024
56,9	23,4	59	56,9464298	0,002	0,130	0,012
56,8	22,8	6,5	56,6326973	0,007	0,212	0,023
56,7	20,1	6,2		0,198	0,684	0,342

 

коэффициент детерминации:

71,06% изменения  выручки предприятия в степенной  модели обусловлено изменением  объема капиталовложений и основных  производственных фондов, на 28,94 % - влиянием  факторов, не включенных в модель.

F – критерий Фишера

Проверим значимость уравнения

Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74.

Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым.

среднюю относительную ошибку аппроксимации

 

В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной.

 

 

Параметры	Модель
	линейная	степенная
	Y = 37,68 + 0,38X1 + 1,66X2	Y=2,223X10,897·X2-0,226
Коэффициент множественной корреляции	0,8235	0,8429
Коэффициент детерминации	0,6782	0,7106
F – критерий Фишера	7,375	8,592
Средняя относительная ошибка аппроксимации, %	3,53	3,42

 

В целом модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но лучшей считается степенная модель, т.к значение коэффициента корреляции, индекса детерминации, F – критерия Фишера немного больше, а средняя относительная ошибка аппроксимации немного меньше, чем у линейной модели.

Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии на среднем уровне.

    и т.д.

 

Вспомогательная таблица для вычисления частных коэффициентов эластичности

Y	X1	X2	Э(ух1)	Э(ух2)
56,7	20,1	6,2	0,524	-0,135
55,9	20,3	5,9	0,524	-0,135
54,9	20,4	6	0,545	-0,262
53,9	20,2	5,7	0,583	-0,364
55,1	20,6	5,8	0,583	-0,364
55,8	20,9	6,1	0,583	-0,311
55,9	21,1	6,4	0,565	-0,311
56	21,8	6,2	0,615	-0,484
56,9	23,4	59	0,565	-0,135
56,8	22,8	6,5	0,583	-0,174

 

Бета коэффициент рассчитываем по формуле:

- среднее квадратическое отклонение.

    

Если объем капиталовложений увеличить на величину своего СКО, т.е. 0,147 млн. руб., то выручка предприятия увеличится на 1,302 величины своего СКО, т.е. на 1,302·0,262 = 0,341 млн. руб.

Если основные производственные фонды увеличить на величину своего СКО, т.е. на 0,239 млн. руб., то выручка предприятия уменьшится на 1,068 своего СКО, т.е. на 1,068· 0,262 = 0,280 млн. руб.

Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:

,

где - средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:

;

k – период упреждения;

n – количество наблюдений.

, тогда

Х1, 11 = 1,4 + 1 ∙ 0,0333 = 1,4333 (млн.руб.)

Х1, 12 = 1,4 + 2 ∙ 0,0333 = 1,4667(млн.руб.)

Х2, 11 = 0,5 + 1 ∙ 0,0111 = 0,5111

Х2, 12 = 0,5 + 2 ∙0,0111 = 0,5222

Составляем вектор прогнозных значений факторов:

       .

Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозные значения факторов в уравнение регрессии.

(млн. руб.)

(млн. руб.)

Для получения интервального прогноза рассчитываем доверительные интервалы, используя величину отклонения от линии регрессии (U):

,

        

      

Среднее квадратическое отклонение расчетных значений от фактических:

Коэффициент Стьюдента tα для m = 10 – 2 – 1 = 7 степеней свободы и уровня значимости α = 0,05 равен 2,36.

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0,61610,5 = 0,329

U(11) = 0,1773 ∙ 2.36 ∙ 0.74810,5 = 0,362

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Шаг	Точечный прогноз, млн. руб.	Нижняя граница, млн. руб.	Верхняя граница, млн. руб.
11	3,6121	3,2829	3,9412
12	3,6763	3,3136	4,0390

 

 

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Инфра – М, 2001. – 402 с.
2. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. – 72 с.
3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.
4. Тутыгин А.Г., Амбросевич М.А., Третьяков В.И. Эконометрика. Краткий курс лекций. Учебное пособие. – М.-Архангельск, Издательский дом «Юпитер», 2004. – 54 с.
5. Эконометрика: Учеб. пособие; Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. –245 с.