Математика в экономике

 

 

Оценка параметров уравнения регрессии.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = ∑yi – yx2;n – m – 1

S2 = 49;8 = 0613

S2 = 0,613 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S  = S2 = 0613 = 078

S = 0,78 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии),

Sa – стандартное отклонение случайной величины a,

Sa = S  ∑x2;n Sx

Sa = 078  00225;10 • 000233 = 505

Sb – стандартное отклонение случайной величины b,

Sb = S;n Sx

Sb =  078; 10 • 000233 = 10641

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

t–статистика. Критерий Стьюдента.

tкрит (n–m–1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

tb = b;Sb

tb = –23863;10641 = 224

Поскольку 2.24  <  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

ta = a;Sa

ta = 671;505 = 1329

Поскольку 13.29  >  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

F–статистика. Критерий Фишера.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 = 1 – 49;799 = 03866

F = R2;1 – R2n – m –1;m

F = 03866;1 – 0386610–1–1;1 = 504

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5,32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F–критерием Фишера и t–статистикой Стьюдента выражается равенством:

t2r = t2b = F = 504 = 225

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a·xb

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a xb + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)

Для оценки параметров α и β – используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

ln(x)	ln(y)	ln(x)2	ln(y)2	ln(x) • ln(y)
3	4,04	9	16,3	12,12
3,01	4,02	9,06	16,19	12,11
3,02	4,01	9,09	16,04	12,08
3,01	3,99	9,03	15,9	11,98
3,03	4,01	9,15	16,07	12,13
3,04	4,02	9,24	16,17	12,23
3,05	4,02	9,3	16,19	12,27
3,08	4,03	9,5	16,2	12,41
3,15	4,04	9,94	16,33	12,74
3,13	4,04	9,78	16,32	12,63
30,51	40,21	93,1	161,72	122,69

 

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 30,51 b = 40,21

30,51 a + 93,1 b  = 122,69

Решаем систему и получаем: b = 0,1989, a = 3,4147

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e3,41467381x0,1989 = 30,40703x0,1989

Линия регрессии

 

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  3051;10 = 305

y = ∑yi;n =  4021;10 = 402

xy = ∑xiyi;n =  12269;10 = 1227

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n – x2 =  931;10 – 3052 = 000253

S2y = ∑y2i;n – y2 =  16172;10 – 4022 = 0000259

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  000253 = 00503

Sy = S2y =  0000259 = 00161

Эмпирическое корреляционное отношение.

η = ∑y – yx2; ∑yi – y2

η = 311;799 = 0624

где

y – yx2 = 799 – 488 = 311

Индекс корреляции,

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

R = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 ; R = 1 – 488;799 = 062

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = 1 - ∑yi - yx2; ∑yi - y2

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Индекс детерминации.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 ; R2 = 1– 488;799 = 0389

т.е. в 38.93 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 61,07 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:

x	y	y(x)	(yi–ycp)2	(y–y(x))2
20,1	56,7	55,23	0,83	2,16
20,3	55,9	55,34	0,0121	0,32
20,4	54,9	55,39	0,79	0,24
20,2	53,9	55,28	3,57	1,92
20,6	55,1	55,5	0,48	0,16
20,9	55,8	55,66	0,0001	0,0196
21,1	55,9	55,77	0,0121	0,0181
21,8	56	56,13	0,0441	0,0166
23,4	56,9	56,92	1,23	0,000624
22,8	56,8	56,63	1,02	0,0283
211,6	557,9	557,86	7,99	4,88

 

 

Оценка параметров уравнения регрессии.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = ∑yi – yx2;n – m – 1

S2 = 488;8 = 061

S2 = 0,61 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S  = S2 = 061 = 078

S = 0,78 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии),

Sa – стандартное отклонение случайной величины a,

Sa = S  ∑x2;n Sx

Sa = 078  931;10 • 00503 = 1498

Sb – стандартное отклонение случайной величины b,

Sb = S;n Sx

Sb =  078; 10 • 00503 = 491

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

t–статистика. Критерий Стьюдента.

tкрит (n–m–1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

tb = b;Sb

tb = 02;491 = 00405

Поскольку 0,0405  <  2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

ta = a;Sa ; ta = 341;1498 = 023

Поскольку 0.23  <  2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

F–статистика. Критерий Фишера.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 = 1 – 488;799 = 03893

F = R2;1 – R2n – m –1;m

F = 03893;1 – 0389310–1–1;1 = 51

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5,32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F–критерием Фишера и t–статистикой Стьюдента выражается равенством:

t2r = t2b = F = 51 = 226

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a·bx

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a bx + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + x ln(b)

Для оценки параметров α и β – используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x • ln(y)
20,1	4,04	404,01	16,3	81,16
20,3	4,02	412,09	16,19	81,68
20,4	4,01	416,16	16,04	81,71
20,2	3,99	408,04	15,9	80,54
20,6	4,01	424,36	16,07	82,59
20,9	4,02	436,81	16,17	84,06
21,1	4,02	445,21	16,19	84,9
21,8	4,03	475,24	16,2	87,75
23,4	4,04	547,56	16,33	94,57
22,8	4,04	519,84	16,32	92,1
211,6	40,21	4489,32	161,72	851,05

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 211,6 b = 40,21

211,6 a + 4489,32 b  = 851,05

 Решаем уравнение и получаем: b = 0,00921, a = 3,8267

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = e3,82665604·e0,00921x = 45,90876·1,00925x

 

 

 

 

 

 

Линия регрессии

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  2116;10 = 2116

y = ∑yi;n =  4021;10 = 402

xy = ∑xiyi;n =  85105;10 = 8511

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n – x2 =  448932;10 – 21162 = 119

S2y = ∑y2i;n – y2 =  16172;10 – 4022 = 0000259

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  119 = 1089

Sy = S2y =  0000259 = 00161

Эмпирическое корреляционное отношение.

η = ∑y – yx2; ∑yi – y2

η = 3124;799 = 0625

где

y – yx2 = 799 – 486 = 3124

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

R = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 ; R = 1 – 486;799 = 063

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Индекс детерминации.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 ; R2 = 1– 486;799 = 0391

т,е, в 39,11 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами – точность подбора уравнения регрессии – средняя. Остальные 60,89 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:

x	y	y(x)	(yi–ycp)2	(y–y(x))2
20,1	56,7	55,24	0,83	2,13
20,3	55,9	55,34	0,0121	0,31
20,4	54,9	55,39	0,79	0,24
20,2	53,9	55,29	3,57	1,94
20,6	55,1	55,5	0,48	0,16
20,9	55,8	55,65	0,0001	0,0227
21,1	55,9	55,75	0,0121	0,0219
21,8	56	56,11	0,0441	0,0126
23,4	56,9	56,95	1,23	0,00204
22,8	56,8	56,63	1,02	0,0284
211,6	557,9	557,86	7,99	4,86

 

Оценка параметров уравнения регрессии.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = ∑yi – yx2;n – m – 1

S2 = 486;8 = 0608

S2 = 0.608 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S  = S2 = 0.608 = 0.78

S = 0,78 – стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии),

Sa – стандартное отклонение случайной величины a,

Sa = S  ∑x2;n Sx

Sa = 078  448932;10 • 1089 = 48

Sb – стандартное отклонение случайной величины b.

Sb = S;n Sx

Sb =  078; 10 • 1089 = 023

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

t–статистика. Критерий Стьюдента.

tкрит (n–m–1;α/2) = (8;0,025) = 2,306

tb = b;Sb

tb = 000921;023 = 00407

Поскольку 0,0407  <  2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

ta = a;Sa

ta = 383;48 = 08

Поскольку 0,8  <  2,306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

F–статистика. Критерий Фишера.

R2 = 1 – ∑yi – yx2; ∑yi – y2 = 1 – 486;799 = 03911

F = R2;1 – R2n – m –1;m

F = 03911;1 – 0391110–1–1;1 = 514

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5,32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F–критерием Фишера и t–статистикой Стьюдента выражается равенством:

t2r = t2b = F = 514 = 227

Параметры	Модель
	линейная	гиперболическая	степенная	показательная
	y = 0,513 x + 44,9353	y = –238,6259 / x + 67,0958	y = e3,41467381x0,1989 = 30,40703x0,1989	y = e3,82665604·e0,00921x = 45,90876·1,00925x
Ryx	0,625	0,62	0,62	0,63
Ryx2	0,3908	0,387	0,389	0,391
Fрасч	5,13	5,1	5,1	5,14