Многофакторное планирование экспериментов первого порядка

 

Вспомогательная таблица для расчета дисперсии s²{y}

(опыты на нулевом уровне)

Номер опыта	1	2	3	4	5	6
y (Rp)	0,712	0,819	0,756	0,742	0,798	0,721

 

 

ПРИМЕР

 

Для реализации многофакторной регрессионной  модели Ra=f(h_з, s₀, n, Raи, Smи) процесса минералокерамического выглаживания, отражающей количественные связи между натягом (h_з), подачей (s₀), частотой вращения шпинделя (n), исходными параметрами качества поверхностного слоя Raи (среднее арифметическое отклонение профиля, исходное), Smи (средний шаг неровностей профиля, исходный) и параметром шероховатости -  Ra, был спланирован и поставлен эксперимент, учитывающий результаты предварительных поисковых экспериментов.

На первом этапе исследования была реализована полуреплика 2^5-1 с определяющим контрастом 1=х₁х₂х₃х₄х₅. Интервалы варьирования принимались, исходя из реальных пределов колебания значений факторов, определенных в результате предварительных поисковых экспериментов.

Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов приведены в таблице 1. Матрица плана эксперимента и результаты измерений Ra (мкм) представлены в таблице 2.

Таблица 1

Уровни и интервалы варьирования факторов

		Факторы
Уровень
фактора
		h3,	S0,	n,	Raи,	Smи,
		мкм	мм/об	мин-1	мкм	мкм
Кодированное обозначение		x1	x2	x3	x4	x5
Верхний  (+)		75	0,14	630	3	27
Нижний   (-)		25	0,07	200	1	18

Таблица 2

План эксперимента

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x1x2	x1x3	x1x4	x1x5	x2x3	x2x4	x2x5	x3x4	x3x5	x4x5	y (Ra)
1	+	-	-	-	-	+	+	+	+	-	+	+	-	+	-	-	0,290
2	+	+	-	-	-	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+	+	0,295
3	+	-	+	-	-	-	-	+	+	+	-	-	-	+	+	+	0,320
4	+	+	+	-	-	+	+	-	-	+	-	-	+	+	-	-	0,300
5	+	-	-	+	-	-	+	-	+	+	-	+	+	-	-	+	0,260
6	+	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	-	+	-	0,345
7	+	-	+	+	-	+	-	-	+	-	+	-	+	-	+	-	0,375
8	+	+	+	+	-	-	+	+	-	-	+	-	-	-	-	+	0,570
9	+	-	-	-	+	-	+	+	-	+	+	-	+	-	+	-	0,290
10	+	+	-	-	+	+	-	-	+	+	+	-	-	-	-	+	0,310
11	+	-	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+	-	-	+	0,665
12	+	+	+	-	+	-	+	-	+	-	-	+	-	-	+	-	0,635
13	+	-	-	+	+	+	+	-	-	-	-	-	-	+	+	+	0,570
14	+	+	-	+	+	-	-	+	+	-	-	-	+	+	-	-	0,485
15	+	-	+	+	+	-	-	-	-	+	+	+	-	+	-	-	0,415
16	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	0,375

Коэффициенты уравнения регрессии  определяем по формулам [1]

 

,       (1)

 

,      (2)

 

,      (3)

 

где i = 1..k – номер фактора, j – номер опыта (строки в матрице планирования), N – количество опытов.

b0		b1		b2		b3		b4	b5
0,4063		0,0081		0,0506		0,0181		0,0619	-0,0025
b12		b13		b14		b15		b23
0,0050		0,0113		-0,0250		-0,0794		-0,0413
b24	b25		b34		b35		b45
0,0038	-0,0256		-0,0250		-0,0056		0,0144

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсию s²{y} определяем по шести параллельным опытам в центре плана, т.е. по результатам опытов, выполненных при нахождении факторов на основных уровнях (таблица 3, формула 4): s²{y}=0,00011.

 

                Таблица 3

Вспомогательная таблица для расчета  дисперсии s²{y}

Номер опыта		y (Ra)		<y>		y-<y>		(y-<y>)2
1	0,395		0,403		-0,008		0,000064
2	0,390				-0,013		0,000169
3	0,410				0,007		0,000049
4	0,395				-0,008		0,000064
5	0,415				0,012		0,000144
6	0,410				0,007		0,000049

 

s²{y}= ,     (4)

 

где n₀ - число параллельных опытов в центре плана; у_u - значение функции отклика в u-м опыте; <y> - среднее арифметическое значение функции отклика в n₀ опытах.

Средняя квадратичная ошибка в определении  коэффициентов уравнения регрессии для  y   оказалась следующей (формула 5):

S{b_i}= .      (5)

 

S{b_i}= =0,0026.    

 

Доверительный интервал для коэффициентов  уравнения регрессии определяем по формуле 6 (табличное значение критерия Стьюдента при 5 % - м уровне значимости и числе опытов n₀=6: t=2,57):

 

∆b_i=±t∙S{b_i} ,      (6)

 

где t – табличное значение критерия Стьюдента при числе опытов в центре плана - n₀ (приложение 1).

 

∆b_i=±2,57∙0,0026= ±0,0067.

 

В связи с тем, что коэффициенты b_5, b_12, b_24, b_35, по абсолютной величине меньше доверительного интервала, их можно признать статистически незначимыми и исключить из уравнения регрессии.

       Разность b₀-<y>=0,0033 по абсолютной величине меньше ошибки опыта s{y}=0,01, следовательно, коэффициенты при квадратичных членах значительно не отличаются от нуля, поэтому исследуемая зависимость с достаточной точностью может быть аппроксимирована неполной квадратичной моделью и не требуется переходить к квадратичной модели (хотя наблюдается высокая значимость коэффициентов при парных взаимодействиях).

Для проверки адекватности уравнения регрессии вычисляем дисперсию S²_ад адекватности (при числе значимых коэффициентов уравнения регрессии z=12) , по формуле 7:

 

S²_ад= .     (7)

 

S²_ад=0,00012. 

Адекватность уравнения регрессии  проверяем по F-критерию. Находим расчетное значение F-критерия (формула 8):

 

F_р= .       (8)

 

F_р= =1,14.

 

Табличное значение F-критерия при 5 %-м уровне значимости (при большей дисперсии - S²_ад с числом степеней свободы f=N-(k+1)=16-(5+1)=10; меньшей дисперсии - s²{y} с числом степеней свободы f=n₀-1=6-1=5) равно, примерно, 4,74 (приложение 2), и т.к. F_р< F, то модель адекватна.

 

 

 

Приложение 1

Значения критерия Стьюдента (t-критерия) при уровне значимости

α=0,05 для различного числа опытов (n₀)

n0	t	n0	t
2	12,71	19	2,10
3	4,30	20	2,09
4	3,18	21	2,09
5	2,78	22	2,08
6	2,57	23	2,07
7	2,45	24	2,07
8	2,36	25	2,06
9	2,31	26	2,06
10	2,26	27	2,06
11	2,23	28	2,05
12	2,20	29	2,05
13	2,18	30	2,04
14	2,16	31	2,04
15	2,14	41	2,02
16	2,13	61	2,00
17	2,12	121	1,98
18	2,11		1,96

 

Приложение 2

Значения критерия Фишера (F-критерия) при уровне значимости α=0,05

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. – М.: Машиностроение, 1981. – 184 с.
2. Губанов В.Ф., Марфицын В.В., Овсянников В.Е. Инновации при выглаживании с жестким закреплением индентора: Монография. – Германия: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. – 117 с.
 

 

Губанов Виктор Федорович

 

 

 

 

 

 

Многофакторное планирование

экспериментов первого порядка

 

 

Контрольные задания

по дисциплине

«Математическое моделирование

в инженерной и инновационной  деятельности»

для студентов направления 221700 «Стандартизация и метрология»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

________________________________________________________________________________

 

Подписано в печать   Формат 60х84 ¹/₁₆   Бумага тип. №1

Печать трафаретная   Усл. печ. л. 2,0  Уч-изд. л. 2,0

Заказ     Тираж    Цена свободная

________________________________________________________________________________

 

Редакционно-издательский центр КГУ

640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25

Курганский государственный университет