Натурал және теріс емес бүтін сандар

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым 

министрлігі

 

 

 

 

 

 

 

 

Исмаилов И.

 

 

 

 

 

 

Математика

2 – бөлім

 

Натурал және теріс емес бүтін сандар

 

 

 

Бастауышта  оқытудың әдістемесі және педагогикасы мамандығы  студенттері үшін оқу  құралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шымкент 2010

Бастауышта  оқытудың әдістемесі және педагогикасы мамандығы студенттері үшін оқу  құралы.

 

Пікір жазғандар:

1. Байжуманов А. А. – ф.-м.ғ.к. “Шымкент” Университеті информатика кафедрасының меңгерушісі
2. Жақыпбеков Б.Ә. – ф.ғ.к. «Мирас» Университетінің БСОӘП кафедрасының меңгерушісі

 

 

Мирас Университетінің ғылыми әдістемелік кеңесі ұсынған

 

Хаттама №_________________2010 ж.

 

 

Көмекші құрал  «Математика және жаратылыстану  пәндері» кафедрасының мәжілісінде  талқыланып, мақұлдаған

Хаттама №1      5  IX      2004 ж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НАТУРАЛ САНДАРДЫҢ  БӨЛІНГІШТІГІ

Натурал санның бөлгіші. Натурал  санның еселігі 

 

1-мысал: 6 алманы 2 балаға  тең етіп бөліп беруге болады. Балалардың әрқайсысы 3 алмадан  алады. Енді 6 алманы 4 балаға тең  бөлу керек дейік. Онда балалардың әрқайсысы 1 алмаданұ алады да, 2 алма артық қалады. Демек, 6 саны 2-ге қалдықсыз бөлінеді де, 4-ке қалдықсыз бөлінбейді, яғни 6-ны 4-ке бөлсек, 2 қалдық қалады.

Бұл жағдайда 2 саны 6 санының бөлгіші болады, ал 4 саны 6 санының бөлгіші емес дейміз.

6 санының бөлгіштері: 1, 2, 3 және 6

5 санының бөлгіштері: 1 және 5

8 санының бөлгіштері: 1, 2, 4 және 8

Жалпы түрде берілген санды а әрпімен, бөлгішті b әрпімен белгілесек, a:b=c, a – бөлінгіш,  b – бөлгіш, c – бөлінді.

Натурал сан  а-ның бөлгіші деп осы а саны қалдықсыз бөлінетін санды атайды.

Кез келген натурал сан 1-ге бөлінетіндіктен, 1 саны кез келген  натурал санның бөлгіші болады.

Берілген натурал санның ең үлкен  бөлгіші сол санның өзі болады. Енді b саны бөлгіші болатындай натурал сандарды қарастырайық.

2-мысал. b=3 дейік. 3 саны бөлгіші болатындай натурал сандар: 3, 6, 9, 12,..

3 саны бөлгіші болатындай 3, 6, 9, 12, ... сандарын алу үшін, 3 санын  1, 2, 3, 4, ... сандарына  көбейту жеткілікті. Сонда сәйкес 3, 6, 9, 12 ... сандары шығады. Бұл сандардың ортақ бір қасиеті бар: олардың бәрі де 3-ке бөлінеді.

3:3=1, демек, 3 санында бір 3 бар немесе 3 саны 3-тің бір еселігі.

6:3=2, демек, 6 санында екі 3 бар немесе 6 саны 3-тің екі еселігі.

9:3=3, демек, 9 санында үш 3 бар немесе 9 саны 3-тің үш еселігі.

12:3=4, демек, 12 санында төрт 3 бар немесе 12 саны 3-тің төрт еселігі.

Сонда 3, 6, 9, 12, ... сандары 3 санына еселік сандар.

Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз  бөлінетін натурал санды атайды.

a:b=c, мұндағы a-b - ға еселік сан және a×b=c

Берілген натурал b санына еселік санды табу үшін сол b санын қандай да бір натурал санға көбейту керек: b×1; b×2; b×3; b×4; b×5 және т.с.с. Жалпы түрде a= b ×n. Мұндағы a- b – ға еселік сан (n=1, 2, 3, 4, ...).

3-мысал. b=5; 5 санына еселік сандар:

n=1,  5×1=5;

n=2,  5×2=10;

n=3,  5×3=15;

...  ...

n  5 n

 

Кез келген санға еселік сандар шексіз көп.

 

2, 5 және 10 сандарына  бөлінгіштік белгілері 

 

Натурал сандар жұп сандар және тақ сандар болып бөлінеді.

0, 2, 4, 6, 8 цифрларын жұп цифрлар деп, жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын натурал сандарды жұп сандар деп атайды.

1, 3, 5, 7, 9 цифрларын тақ цифрлар деп, жазылуы тақ цифрлармен аяқталатын натурал сандарды тақ сандар деп атайды.

Мысалы: 32, 86, 100, 204 сандары – жұп  сандар, ал 11, 17, 23, 109, 205 сандары–тақ сандар.

2 санына бөлінгіштік  белгісі       

2 санына еселік сандардың ортақ  белгілеріне назар аударайық.

2 санына еселік сандар: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,... .

Бұл сандардың барлығының жазылуы  жұп цифрлардың бірімен аяқталады. Демек, 2 санына тек қана жұп сандар бөлінеді.

Жазылуы жұп  цифрлармен аяқталатын барлық натурал  сандар

2-ге бөлінеді, егер санның жазылуы тақ цифрлармен  аяқталса, онда ол сан 2-ге бөлінбейді.

Мысалы,    8:2=4,     10:2=5.

13 саны 2-ге бөлсек, онда 1 қалдық қалады. 13:2=6(1). Демек, 13 саны тақ цифрмен аяқталғандықтан, 2-ге бөлінбейді.

2-ге бөлінетін сандар  жалпы түрде 2п өрнегімен жазылады, мұндағы п=1, 2, 3, 4, ... .

5 санына бөлінгіштік  белгісі.

5 санына еселік сандардың  ортақ белгісін табу керек. 5 санына  еселік сандар: 5, 10, 15, 20, 25, 25, 30, ... . Бұл сандардың соңғы цифры 0 немесе 5 болып тұр.

Демек, жазылуы 0 цифрымен немесе 5 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 5-ке бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 5-ке бөлінбейді.

Жалпы түрде 5-ке бөлінетін  сандар 5n өрнегімен жазылады. Мұндағы n=1, 2, 3, 4, ...

Мысалы: 225, 620, 835, 900 сандары 5-ке бөлінеді: 225:5=45; 620:5=124, ал 224, 621, 834, 836, 903 сандары 5-ке бөлінбейді, 224-ті 5-ке бөлсек, 4 қалдық қалады: 224:5=44(4).

10 санына бөлінгіштік  белгісі.

10 санына еселік сандар: 10, 20, 30, 40, 50, ..., 100, ..., 2000... Бұл сандардың барлығының  жазылуы 0 цифрымен аяқталады.  Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 10-ға бөлінеді. Жалпы түрде 10-ға бөлінетін сандар 10n өрнегімен жазылады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

Мысалы: 210, 300, 1000, 1210 сандарды 10-ға бөлінеді. 210:10=21, 1000:10=100, ал 209, 211, 307, 307, 408, 999 сандары 10-ға бөлінбейді. 10=2×5 болғандықтан, 10-ға бөлінетін барлық сандар 2-ге де, 5-ке де бөлінеді. Демек, санның 0-мен аяқталуы 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінгіштіктің ортақ белгісі.

3-ке және 9-ға  бөлінгіштік белгілері 

 

Бөлу амалың орындамай  тұрып, берілген санның 3-ке және 9-ға бөлінгіштік  белгілерін анықтауға болады.

1-мысал. 522 алманы олардың саны тең болатындай етіп, 3 жәшікке бөліп салуға бола ма?

Шешуі. 522 санында 5 жүздік, 2 ондық және 2 бірлік бар. 1 жүз алманы 3 жәшікке  тең бөліп салсақ, жәшіктердің  әрқайсысына 33 алмадан салынады да, 1 алма артық қалады. Сонда 5 жүздік алмадан 5 алма артық қалады. Ал 2 ондық алманы 3 жәшікке тең бөліп салғанда, жәшіктердің әрқайсысына алмадан салынады да, 2 алма артық қалады және тағы 2 алма бар. Назар аударсақ, артық қалғаналмалар саны 522 санының цифрларының (яғни разрядтық қосылғыштардың) қосындысына тең. (5 жүздіктен 5, 2 ондықтан 2, 2 бірліктен 2, барлығы 5+2+2=9 алма артық қалды). 9 алма жәшіктердің әрқайсысына 3 алмадан салынады. Демек, 522 алманы 3 жәшікке тең бөліп салуға болады. Жәшіктердің әрқайсысына 174 алмадан салынады. Олай болса, 522 саны 3-ке бөлінеді.

Санның 3-ке бөліну белгісін сол сандарды разрядтық қосылғыштарға жіктеп те анықтауға болады.

2-мысал. 384 санының 3-ке бөлінетіндігін  анықтайық. Ол үшін 384 санын разрядтық  қосылғыштарға жіктейміз: 384=3×100+8×10+4=3(99+1)+8(9+1)+4= 3×99+8×9+(3+8+4). Мұнда алғашқы екі қосылғыш 3-ке бөлінеді. Онда 3+8+4 қосындысы 3-ке бөлінсе, 384 саны да 3-ке бөлінеді. Ал 3+8+4 берілген санның (384) цифрларының қосындысын береді. Қосынды 15-ке тең. 15:3=5. 384 саны 3-ке бөлінеді. 384:3=128.

3-мысал. 235 саны 3-ке бөлінбейтіндігін  анықтайық. Ол үшін 235 санын разрядтық  қосылғыштарға жіктейміз: 235=2×100+3×10+5=2×(99+1)+3(9+1)+5= 2×99+3×9+(2+3+5). Мұнда алғашқы екі қосылғыш 3-ке бөлінгенімен, үшінші қосылғыш – 2+3+5 қосындысы 3-ке бөлінбейді. Сондықтан 235 саны 3-ке бөлінбейді.

Мысалдарды қорытындылағғанда  санның 3-ке бөлінгіштік белгісі  шығады.

Берілген санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санны өзі де 3-ке бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбесе, онда ол сан 3-ке бөлінбейді.

3-ке бөлінетін сандардың цифрларының  қосындысы 3-ке еселік болады. 3 санына бөлінетін сандардың  цифрларының қосындысын 3n түрінде жазуға болады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

4-мысал. 654 саны3-ке бөлінбейді. Себебі 437 саны цифрларының қосындысы 6+5+4=15; 15:3=5. онда 654:3=218

5-мысал. 437 саны 3-ке бөлінбейді, онда 437 саны да 3-ке бөлінбейді.

Саның 9-ға бөлінгіштік белгісін анықтау  үшін 9, 99, 999, 9999, ... сандарының 9-ға бөлінгіштігін  пайдаланамыз.

6-мысал. 783 санының 9-ға  бөлінгіштігін анықтайық. Ол үшін 783 санын разрядтық қосылғыштарға жіктейміз: 783=7×100+8×10+3=7×(99+1)+8(9+1)+3= 7×99+8×9+(7+8+3); Мұндағы алғашқы екі қосылғыш 9-ға бөлінеді, онда 7+8+3 қосындысы берілген цифрларының қосындысын береді: қосынды 18-тең, 18:9=2. Демек, 783:9=87.

Берілген  санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбесе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінбейді.

9-ға бөлінетін сандардың  цифрларының қосындысы 9 санына  еселік болады. 9-ға бөлінетін сандардың цифрларының қосындысын 9n түрінде жазуға болады, мұндағы n=1, 2, 3, 4, ... .

9 саны 3-ке бөлінетіндіктен, 9-ға бөлінетін сандардың барлығы  да 3-ке бөлінеді.

Демек, 3-ке және 9-ға бөлінетін  сандардың бөлінгіштік белгілері  ортақ мазмұнды екен.

 

Қосындының  және көбейтіндінің берілген

натурал санға  бөлінгіштігі

 

Қосындының берілген натурал санға бөлінгіштігін  анықтау үшін оның қосылғыштарының  сол берілген натурал санға жеке-жеке бөлінгіштігін қарастырамыз.

1-жағдай. Қосылғыштардың берілген натурал санға қалдықсыз бөлінуі.

 

Қосынды	Бөлгіш	Қосылғыштардың бөлінгіштігі	Қосындының бөлінгіштігі
12+6	3	12:3=4;       6:3=2;	18:3=6;
28+42	14	28:14=2;       42:14=3;	70:14=5
75+100	25	75:25=3;       100:25=4;	175:25=7

 

Кестедегі мысалдардан мынадай қорытынды жасауға болады: егер қосылғыштардың әрқайсысы жеке-жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Яғни бұл жағдайда қосындыны санға бөлу үшін қосылғыштарды  жеке-жеке санға бөліп, бөлінділерді қосу керек: (a+b):c=a:c+b:c.

2-жағдай. Қосылғыштар берілген натурал санға қалдықпен бөлінеді.

 

Қосынды	Бөлгіш	Қосылғыштардың қалдықпен  бөлінуі	Қалдықтар қосындысы	Қосындының бөлінгіштігі
15+21	9	15:9=1(6)       21:9=2(3)	9	36:9=4
22+38	15	22:15=1(7)       38:15=2(8)	15	60:15=4
33+36	23	33:23=1(10)       36:23=1(13)	23	69:23=3

 

Қосылғыштар берілгеннатурал санға жеке-жеке қалдықпен бөлінген жағдайда қалдықтардың қосындысы сол санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Егер қосындыны натурал  санға бөлуде аталған екі жағдай да орындалмаса, онда қосынды берілген натурал санға бөлінбейді.

Айырманың натурал санға  бөлінгіштігін зерттеу оқушыларға тапсырылады.

Көбейтіндінің натурал  санға бөлінгіштігін зерттеу  оқушыларға тапсырылады.

Көбейтіндіні натурал  санға бөлінгіштігін қарастырайық.

 

Көбейтінді	Бөлгіш	Көбейткіштердің бөлінгіштігі	Көбейтіндінің бөлінгіштігі
30×22	15	30:15=2 22 саны 15-ке бөлінбейді	660:15=44
41×96	32	41 саны 32-ге бөлінбейді 96:32=3	3936:32=123

 

Бұдан мынадай қорытынды  жасауға болады: егер көбейткіштердің біреуі берілген натурал санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол натурал санға бөлінеді. Екі санның көбейтіндісін натурал санға бөлу үшін, көбейткіштердің біреуін сол санға бөліп, шыққан бөліндіні екінші көбейткішке көбейту керек: (a×b):c=(a:c) ×b немесе (a×b):c=a×(b:c).

 

Жай және құрама сандар

 

Кестеде 35, 41, 26, 11, 1, 18 сандарының бөлгіштері келтірілген.

 

Натурал сан	Бөлгіштері	Бөлгіштер саны
35	1, 5, 7, 35	4
41	1, 41	2
26	1, 2, 13, 26	4
11	1, 11	2
1	1	1
18	1, 2, 3, 6, 9, 18	6

 

35 пен 26 сандарының төрт бөлгіші, 11 мен 41 сандарының екі бөлгіші, 1 санының бір бөлгіші, 18 санының алты бөлгіші бар. Натурал сандар бөлінгіштігі қарай үш топқа бөлінеді.

1. 1-ге және өзіне ғана бөлінетін санды жай сан деп атайды. Сонда жай санның екі ғана бөлгіші болады. Олар: 1 және сол санның өзі. Мысалы, 13 санының бөлгіштері: 1 және 13. 101 санының бөлгіштері: 1 және 101.