Натурал және теріс емес бүтін сандар

 

 

Егер бiр та»балы  сандар єосындысы 10-нан артыє болса, онда оны ассоциативтiк жёне коммутативтiк за»дарды пайдаланып табу№а болады.

Мысал.   7+8=7+(3+5)=(7+3)+5=10+5=15

Кјп та»балы  сандарды єосу бiр та»балы сандарды єосу№а келтiрiледi. Алдымен дј»гелек сандарды єосуды єарастырайыє. Дј»гелек сан деп бiр та»балы санмен кескiнделген со»ында нольдерi бар кјп та»балы санды айтады. Мысалы, дј»гелек сандар№а жататындар: 50, 300, 8000, 9000000 т.с.

Со»ында№ы нольдер  саны бiрдей болатын екi дј»гелек санны» єосындысын табайыє, мысалы, 3000000 жёне 4000000,

3 000 000+4 000 000=3 млн+4 млн=7 млн=7 000 000.

Со»ында№ы нольдер  саны бiрдей болатын екi дј»гелек санны» єосындысын єосу таблицасы бойынша  табу№а болады.

Мысалы, 30+40,  300+400,  3000+4000 т.с. єосындыларыны», ёрєайсысыны» мёнi єосыл№ышта неше ноль болса, со»ына сонша ноль  3+4 саны болады.

Кјп та»балы  сандарды єосуды єарастырайыє. 308 жёне 9421 сандарыны» єосындысын есептейiк. Іосу таблицасында бЅл єосынды жоє. Кез  келген кјп та»балы сандарды єосу таблицасына, єосуды» коммутативтiк  жёне ассоциативтiк за»дары мен оларды» салдарына сѕйенiп, басєаша табады.

308+9421 єосындысы,  мiне, былай есептеледi:

308=300+8,   9421=9000+400+20+1,

сондыєтан, 308+9421=(300+8)+(9000+400+20+1).

Ассоциативтiк  за»нан шы№атын салдар жаєшаларды алып тастау№а мѕмкiндiк бередi, сондыєтан, 308+9421=300+8+9000+400+20+1.

Іосуды» коммутативтiк  за»ын єолданамыз:

308+9421=9000+300+400+20+80+1.

Іосуды» ассоциативтiк за»ын пайдаланыз да, жаєшалар iшiндегi дј»гелек сандар жёне бiр та»балы сандар єосындысын табамыз.

308+9421=9000+(300+400)+20+(8+1)=9000+700+20+9=9729.

Іосыл№ыштарды»  бiрлiктерiнi» астында бiрлiктерi, ондыєтарыны» астында ондыєтары, жѕздiктерiнi» астында жѕздiктерi т.с.с. тЅратын етiп, берiлгендердi ба№ана тѕрiнде жазсає, амалдарды орындау№а ы»№айлы болады.

Мысал єарастырайыє:

5789

       + 365

         . . . .

 

Іосуды е» тјмен  разряд бiрлiктерiнен бастайды. Іосынды 9+5=14. Тјрт бiрлiктi сызыє астында№ы  бiрлiктер ба№анасына жазамыз:

 

5789

       + 365

       

        . . . 4

Бiр ондыєты  ондыєтар єосындысына єосамыз:

8+6+1+=15.

15 ондыєта 1 жѕздiк  жёне 5 ондыє бар.

5 ондыєты сызыє  астында№ы ондыєтар ба№асына  жазамыз:

 

5789

       + 365

       

. . 54

Бiр жѕздiктi жѕздiктер єосындысына єосамыз:

 

7+3+1=11 т.с.с.

Іосуды одан ары жал№астырып, мынаны табамыз.

5789

       + 365

         6154

 

 

Іосындыдан  санды азайту.

Айырманы  санмен жёне санды айырмасымен єосу

 

Бiрiншi класта-ає єосындыдан санды азайту мысалдары  шы№арылады. Мысалы (6-+3)-2 айырмасы ѕш тёсiлмен тбылады.

1- тёсiл. (6+3) –2=9-2=7

2- тёсiл. (6+3) –2=(6-2)+3=4+3=7

3- тёсiл. (6+3) –2=6+(3-2)=6+1=7

Екiншi жёне ѕшiншi тёсiлдер келесi теоремалар№а негiзделсiн:

Теоремалар: Егер a³с болса, онда (a+b)-c=(a-c)+b те»дiгi тура болады. Егер a³b ьолса, онда (a+b)-c=a+(b-c) те»дiгi тура болады.

Мысалы, егер a³с болса, онда  (a+b)-c=(a-c)+b те»дiгi болатынын дёлелдейiк.

a³с бол№андыєтан, a –с айырмасы бар. Оны k(kÎN_0. ) белгiлейiк. Сонда      a-c=k. БЅл те»дiктен a=k+c те»дiгi шы№ады.

(a+b)-c јрнегiнде а саны k+c єосындысымен алмастырайыє, сонда:

(a+b)-c=(k+c+b)-c=k+b

Ал, k=a-c, сондыєтан k+b= (a-c)+b.

“Те»” єатысы транзитивтi, сондыєтан,

(a+b)-c=(a-c)+b

Мынаны јздерi»iз  дёлелде»iздер:

Егер b³с болса, онда (a+b)-c=(b-c)+a те»дiгi жёне (a+b)-c=a+(b-c) те»дiгi тура болады.

(a+b)-c=(a-c)+b

(a+b)-c=a+(b-c)

те»дiктерi єосындыдан санды азайту ережесiн бередi.

Іосындыдан санды  азайту ѕшiн осы санды јзiнен ѕлкен єосыл№ыштан шегерiп, екiншi єосыл№ышты јзгерiссiз єалдыру жеткiлiктi.

“Те»” єатысыны»  симметриялыє єасиетi бойынша: егер (a+b)-c=(a-c)+b болса, онда (a+b)-c=a+(b-c)     те»дiгi айырманы санмен єосу ережесiн бередi.

Айырма№а a-c  санды (b) єосу ѕшiн осы санды азай№ышєа (а) єосып,  шыєєан єосындыдан азайтєышты азайту жеткiлiктi.

(a-c)+b=(a+b)–c  те»дiгiнi» сол жає жёне о» бјлiктерiндегi єосыл№ыштарды» орындарын ауыстырып, тура те»дiк шы№арып аламыз:

b +(a - c)=(b + a)-c

БЅл те»дiк сан№а айырманы єосу ережесiн бередi.

Сан№а айырманы єосу ѕшiн осы сан№а азай№ышты єосып, шыєєан єосындыдан азайтєышты азайту жеткiлiктi.

Іосындыдан  санды азайту, айырманы санмен єосу жёне санды айырмамен єосу ережелерiн бастауыш мектепте есептеулердi же»iлдету ѕшiн пайдаланады.

 

Саннан  єосындыны азайту.

Айырмадан санды азайту

 

Саннан єосындыны  ёр тѕрлi тёсiлдермен азайту№а болады. Мысалы 8-(2+3) айырмасын ѕш тёсiлмен табу№а болады:

1- тёсiл. 8- (2+3) =8-5=3

2- тёсiл. 8 - (2+3) =(8-2)-3=6-3=3

3- тёсiл. 8- (2+3)=(8-3)-2=5-2=3

Бiрiншi тёсiл  жаєшалары бар јрнектi» мёнiн  есептеу туралы “алдымен жаєшалар iшiндегi амалдар орындалады” деген  келiсiмге негiзделген.

Саннан єосындыны азайту ѕшiн осы саннан бiр єосыл№ышты азайтып, сонда шыєєан айырмадан екiншi єосыл№ышты азайту жеткiлiктi.

Егер азайту орындалатын болса, онда саннан єосындыны  азайту туралы теорема єосыл№ыштар  саны єанша болса да тура болады.

a-(b₁+b₂+ …+b_k)= a-b₁-b₂- …-b_k

Саннан єосындыны  азайтуды» ёртѕрлё тёсiлдерi бастауыш мектепте ауызша есептеулер ѕшiн єолданылады. Мысалы.

1. 78-(50+8)=(70-8)-50=70-50=20
2. 82-(12+30)=(82-12)-30=70-30=40

Айырмадан санды  азайту ережесiн єарастырайыє. “Те»” єатысыны» симметриялыє єасиетi бойынша a-(b+c)=(a-b)-c те»дiгiнен мына те»дiк шы№ады:

(a-b)-c=a-(b+c)

Айырмадан (a-b)санды (с) азату ѕшiн азай№ыштан (а)азайтєыштарды» (b жёне с) єосындысын азайту жеткiлiктi.

Айырмадан санды азайтуды»  екiншi ережесi келесi теорема№а негiзделген.

Теорема. Егер a-b³c болса, онда (a-b)-c=(a-c)-b те»дiгi тура болады.

Дёлелдеу. Мынаны ескертемiз: егер a-b³c болса, онда a-c³b жёне a³b болады.

(a-b)-c айырмасын k ёрпiмен белгiлейiк:

(a-b)-c=k.

Сонда a-c=k-c   (айырманы» аныєтамасынан) .

a=(k+с) + b =  (айырманы» аныєтамасынан)

=(k+b)+c    (єосындыны» ассоциативтiлiгi мен коммутативтiлiгiнен).

Айырманы» аныєтамасы бойынша a=(k+b) + c те»дiгiнен k+b=a-c

жёне (a-b)-c=k те»дiктерi шы№ады.

Симметриялыє  жёне транзитивтiлiк єасиеттер бойынша (a-b)-c=k. жёне (a-с) - b=k.  те»дiктерiнен(a-b)-c= (a-с)-b те»дiгi шы№ады.

Айырмадан (a-b) санды (с) азайту ѕшiн азай№ыштан (а) осы санды (с) азайтып, содан кейiн шыєєан (a-с) нәтижеден b азайтқышын азайту азайту жеткілікті.

Сонымен, (a-b)-c айырмасын әр түрлі тәсілдермен табуға болады.

1-тәсіл. Амалдарды (a-b)-c өрнегінде көрсетілген ретпен орындау.

Мысал. (5786-786)-3241=5000-3241=1759

2-тәсіл. (a-b)-с=(а-с )- b теңдігін пайдалану.

Мысал. (596-137)-396=(596-396)-137=200-137=63

3-тәсіл. (a-b)-с=a-(b+с) теңдігін пайдалану.

Мысал. (410-250)-150=410-(250+150)=410-400=10

Математиканың мектептік курсында осы үш тәсілдің бәрі де қолданылады.

 

Саннан айырманы азайту

 

Саннан айырманы азайту ережелерi шы№атын теоремаларды дёлелдейiк.

1. теорема. Егер a+c³b жёне b³c болса, онда a-(b-c)=(a+c)-b болады.

 a+c³b  бол№андыєтан, а³b-c болады.

k ёрпiмен a-(b-c) айырмасын белгiлейiк, сонда k=a-(b-c).

a=k+(b-c) = (айырманы» аныєтамасы бойынша) = (k+b)-c (сан мен айырманы» єосындысы туралы теорема бойынша).

a=(k+b)-c     те»дiгiнен жёне айырманы» аныєтамасынан келесi те»дiктер шы№ады:

a-(b-c)=(a+c)-b

БЅл те»дiктi былай оєу№а болады: Саннан (а)айырманы  (b-c) азайту ѕшiн берiлген сан№а (а) азайтєышты (с) єосып, сонда шыєєан єосындыдан (а+с) азай№ышты (b) азайту жеткiлiктi.

2-теорема. Егер а³ b және b³ с болса, онда а- (b-с)=(а-b)+с болады.

Осы параграфтың 1-теоремасы бойынша:

a-(b-c)=(a+c)-b  (1)

Айырманы санмен қосу ережесі бойынша:

(a-b)+c=(a+c)-b (2)

 

«Тең» қатысының симметриялық және транзитивтілік қасиеттері бойынша (1) және (2) теңдіктердің мына теңдік шығады:

a-(b-c)=(a-b)+с

Дәлелдеу керегі де осы еді.

a-(b-c)=(a-b)+с теңдігімен саннан айырманы азайтудың екінші ережесі беріліп тұр.

Саннан (а) айырманы (b-c) азайту үшін осы саннан(а) азайғышты (b) азайтып, сонда шыққан (a-b) айырмаға азайтқышты (с) қосу жеткілікті.

Саннан айырманы азайту есептеулерді жеңілдету үшін пайдалынады.

Мысалдар:

615-(378-185)=(615+185)-378=800-378=422;

530-(220-9)=(530+9)-220=538-220=319;

2569-(569-175)=(2569-569)+175=2000+175=2175.

 

Кјп та»балы сандарды азайту

 

   5-2 айырмасын  табайыє. Аныєтама бойынша айырма  деп 2 санмен єосыл№анда 5-тi беретiн сан аталады. Іосу таблицасынан бЅл сан 3 екенiн табамыз. Сондыєтан, 5-2=3, јйткенi, 2+3=5. Сонымен јзiмiз бiлетiн єосу таблицасын азайту  таблицасы ретiнде пайдалану№а болады. °рине, 1 класс оєушысы-ає 5-2 айырмасын таблица№а єарамай таба алады. Оны» орнына ол екi саусаєтан (таяєшадан, єояннан) тЅратын жиынды бес саусаєтан (таяєшадан, єояннан) тЅратын жиын№а толыєтаушыны» элементтерiн санайды.

  Кјп та»балы  сандарды азайту№а кјшейiк.

   587-254 айырмасын  табайыє. Іосу таблицасында бЅл айырма жоє. Оны саннан єосындыны азайту немесе єосындыдан санды азайту туралы теоремаларды пайдаланып есептеуге болады. Азай№ышты жёне азайтєышты мына тѕрде жазайыє:

587-254=(500+80+7)-(200+50+4).

   Іосындыны  азайту ережесiн пайдаланамыз: єосындыны азайту ѕшiн ёрбiр єосыл№ышты бiртiндеп бiрiнен со» бiрiн азайта беру жеткiлiктi:

(500+80+7)-(200+50+4)=(500+80+7)-200-50-4.

   Ал, єосындыдан  санды азайту ѕшiн осы санды  бiр єосыл№ыштан азайту№а болады(егер  азайту мѕмкiн болса). Мысалы, (500+80+7)-200 айырмасы (500-200)+80+7 айырмасына те».

   Осылайша  пайымдап, табатынымыз: 

(500+80+7)-200-50-4=(500-200)+(80-50)+(7+4)=300+30+3=333.

    Есептеулердi  же»iлдету ѕшiн берiлгендердiба№ана  етiп жазады. Азай№ышты» астына  азайтєыш жазылады, сонда бiрлiктер  бiрлiктердi» астында, ондыєтар ондыєтарды» астында жѕздiктер жѕздiктердi» астында т.с.с. болуы керек.

587

254

…

7 бiрлiктен 4 бiрлiктi, 8 ондыєтан 5 ондыєты, 5 жѕздiктен 2 жѕздiктi азайтамыз сонда:

587

254

333

Та№ы мысал  єарастырайыє:

3567

174

…

БЅл мысалды» алды»№ы мысалдан айырмашылы№ы мынада: 6 ондыєтан 7 ондыєты азайту№а тура келедi. Бѕндай айырма болмайды.  Алайда, 3567 санында 5 жѕздiк бар екенiн ескерсек, оны» бiреуiн ондыєтар№а Ѕсаєтау№а болады: 10 онд.+6 онд.=16 онд. Ендi 16 ондыєтан 7 ондыєты азайту№а болады.

16 онд.-7 онд.=9 онд.

3567

174

..93

Азайтєышты» жѕздiктердi»  саны јзгередi. Олар 5 емес, 4 болды. Демек, 1 жѕздiктi ендi 4 жѕздiктен азайту керек:

3567

174

3393

 

Кјбейтудi»  аныєтамасы

 

1. Е с е  п. Пальто№а 3м мауыты кетедi. п пальто№а єанша мауыты керек?

п пальто№а неше метр мауыты керек екенiн бiлу ѕшiн ёрєайсысы 3-ке те» п єосыл№ышты» єосындысын есептеу керек:

3+3……+3

п єосыл№ыш

Ал, сiздер бiлесiздер: бЅл есеп кјбейтумен шешiледi. Аныєтама бойынша 3+3…+3 єосынды 3 санны» п санына кјбейтiндiсiне те»:

               п єосыл№ыш

3+3….+3=3˝п

  п єосыл№ыш

Егер п=1 немесе п=0 болса, 3˝п кјбейтiндiсiн ёрєайсысы 3-ке те» п єосыл№ышты» єосындысы ретiнде тѕсiндiру ма№ынасыздыє болар едi. 3-тi бiр рет немесе ноль рет єосыл№ы етiпалу№а болмайды.

    Жалпы,

а˝п=а+а+…+а

                    п єосыл№ыш     (*)

мЅнда№ы п>1, те»дiгiнен а˝1=а жёне а˝0=0 екенi ёлi шы№а єоймайды, јйткенi, п=1 немесе п=0 бол№анда (*) те»дiгiнi» о» бјлiгiнi» ма№ынасы болмайды. Сондыєтан, кјбейтудi» бастауыш мектептен жаєсы белгiлi аныєтамасын дёлелдей тѕсуге мЅєтажбыз.

А н ы є  т а м а. Терiс емес бѕтiн сан а мен п-нi» кјбейтiндiсi деп келесi ережелермен табылатын терiс емес бѕтiн с=а˝п саны аталады:

1. Терiс емес бѕтiн а саныны» натурал п>1 санына кјбейтiндiсi     дегенiмiз ёрєайсысы а-№а те» п єосыл№ышты» єосындысы:

а˛п=а+а+а+…+а

п єосыл№ыш

2. Терiс емес бѕтiн сан а саныны» 1-ге кјбейтiндiсi а саны болады:

а˝1=а

3. Терiс емес бѕтiн а саныны» 0 санына кјбейтiндiсi 0 болады:

а˝0=0.

  а˝п=с те»дiгiнде а жёне п сандары кјбейткiштер деп, с саны кјбейтiндi деп аталады. а˝п јрнегiн де кјбейтiндi деп аталады.