Натурал және теріс емес бүтін сандар

    Кјбейтiндiнi  табу амалы кјбейту деп аталады.

    Кјбейту  белгiсi нѕкте  “Ÿ” болады.  а˝п,3˝п жазуларында нѕктенi єалдырып кетуге, я№ни ап,3п деп жазу№а болады.

    2. Екi кјбейткiштi» кјбейтiндiсi аныєтамасын пайдаланып, ѕш, тјрт жёне одан да кјп кјбейткiштер кјбейтiндiсiн аныєтау№а болады.

    А н ы є т а м а. а₁ , а₂ жёне а₃ ѕш санны» кјбейтiндiсi деп (а₁˝а₂)˝а₃ кјбейтiндiсi аталады, я№ни

а₁˝а₂˝а₃=(а₁˝а₂)˝а₃

   Мына№ан  кј»iл аудары»ыздар: а₁˝ а₂˝а₃ = ( а₁˝а₂)˝а₃ те»дiгi аныєтама бойынша енгiзiледi, сондыєтан, оны дёлелдеуге ёрекет жасау ма№ынасыздыє болады.

   М ы  с а л. 5˝2˝7 кјбейтiндiсiн табайыє. 

Аныєтама бойынша 5˝2˝7=(5˝2)˝7, ал екi кјбейткiштi» кјбейтiндiсi 5˝2=10. Сондыєтан, 5˝2˝7=(5˝2)˝7=10˝7=70.

   Дёл осылайша  тјрт, бес т.с.с. кјбейткiштi» кјбейтiндiсiн  енгiзуге болады.

а₁, а₂, а₃, а₄ тјрт кјбейткiштi» кјбейтiндiсi деп ((а₁˝а₂)˝а₃)˝а₄ кјбейтiндiсi аталады, я№ни  а₁˝а₂˝а₃˝а₄˝а₅ = (((а₁˝а₂)˝а₃)˝а₄)˝а₅.

  а₁, а₂,…..а_п п санны» кјбейтiндiсiн табу ѕшiн а₁˝а₂  кјбейтiндiсiн ѕшiншi а₃ санына кјбейту керек, сонда шыєєан (а₁˝а₂)˝а₃  кјбейтiндiсiн тјртiншi а₄ санына кјбейту керек, т.с.с. осылайша со»№ы а_п санына дейiн кјбейте беру керек.

М ы с а  л.

5˝3˝2˝4˝6˝10˝1000=

= (((((5˝3)˝2)˝4)˝6)˝10)˝1000=

= ((((15˝2)˝4)˝6)˝10)˝1000=

= (((30˝4)˝6)˝10) ˝1000=

= ((120˝6) ˝10) ˝1000=

= (720˝10) ˝1000=

= 7200˝1000=

= 7 200 000.

     Мына№ан  назар аудары»ыздар: кјбейткiгтердi»  саны єанша болса да кјбейтiндiнi  есептеу е» аєырында екi кјбейткiштi» кјбейтiндiсiн есептеуге келтiрiледi.

 

Кјбейтудi» коммутативтiлiгi

 

1. 3-суретте кескiнделген жЅлдызшалар санын есептейiк. БЅл санды ёртѕрлi тёсiлдермен  табу№а болады.

1-тёсiл. Бiр  жолда№ы жЅлдызшалар санын (6) жолдр санына (4) кјбейту  6*4=24

2-тёсiл. Бiр ба№анда№ы жЅлдызшалар санын (4) ба№аналар санына (6) кјбейту:  4*6=24

есептеудi» екi тёсiлi де бiр №ана нётиженi беруi тиiс:

Теорема. Кез келген a жёне b сандары ѕшiн a*b=b*a те»дiгi тура болады.

БЅл – сандарды кјбейтудi» коммутативтiк за»ы (немесе сандар кјбейтiндiсiнi» коммутативтiлiгi). БЅл жайды былай оєиды: кјбейiткiштердi» орындарын ауыстыр№аннан кјбейтiндiнi» мёнi јзгермейдi.

Осыны дёлелдейiк. ¶ш жа№дайды єарастырамыз.

1-жа№дай: b>1

Кјбейтiндiнi»  аныєтамасы бойынша

ab=(1+1+…+1)*b=

1+1+…+1+

+…………..+

+1+1+…  +1   (*)

°рбiр єосыл№ыш 1-ге те». Сондыєтан, ab кјбейтiндiсi (*) єосындысында№ы єосыл№ыштар санына те». Осы єосындыда№ы єосыл№ыштар санын есептейiк.  Іосыл№ыштарды таблица№а жазайыє.

Кестеде а ба№ана b жол болады.

Іосыл№ыштар (кесте  торлары, таблицада№ы бiрлiктер) санын  екi тёсiлмен есептеуге болады.

1-тёсiл.  Бiр  жолда№ы єосыл№ыштар санын (а) санау жёне оны жолдар санына (b) кјбейту. Сонда ab бiрлiк шы№арып аламыз.

2-тёсiл. Бiр  ба№анда№ы єосыл№ыштар санын  (b) санау жёне оны ба№аналар санына (а) кјбейту. Сонда b*a бiрлiк шы№арып аламыз.  Есептеудi» екi тёсiлi де бiр №ана нётижденi (єосындыда№ы єосыл№ыштар санын) беруi тиiс, сондыєтан a*b=b*a

Бiз b>1 деп Ѕй№арумен єатар, a>1 деп те Ѕй№ардыє.

a= (b>1) деп Ѕй№арайыє.

Кјбейтiндiнi» аныєтамасы бойынша:

b*1=b

1*b=1+1+…+1=b

 

1*b=b жёне b*1=b те»дiктерiнен b*1=1*b те»дiгi шы№ады. Дёл осылайша, b*0=0*b екенi аныєталады.

2-жа№дай: b=1

Егер а=0 болса, онда кјбейтiндiнi» аныєтамасы бойынша 0*1=0 жёне 1*0=0 болады. 0*1=0 жёне 1*0=0 те»дiктерiнен 0*1=1*0 те»дiгi шы№ады. Егер a=1 болса, онда коммутативтiк за»ны» дЅрысты№ы b=1 бол№анда тiкелей тексерiледi: 1*1=1*1.

Егер a>1 болса, онда кјбейтiндiнi» аныєтамасы бойынша келесi те»дiктер тура болады:

a*1=a  жёне 1*а=1+1+…+1=a.

a*1=a жёне   1*a=a  те»дiктерiнен a*1=1*a те»дiгi шы№ады.

3-жа№дай. b=0 ґздерi»iз єарастыры»ыздар.

Бастауыш мектепте сандарды кјбейтудi» коммутативтiк за»ын кјбейтудi» орын ауыстырымдылыє за»ы деп атайды.

Коммутативтiлiк бiрнеше кјбейiткiш кјбейтiндiсiне де тён болады.

Кез келген екi кјбейiткiштi» орындарын ауыстыр№аннан кјбейтiндiнi» мёнi јзгермейдi.

 

Кјбейтiндiнi» ассоциативтiлiгi

Кјбейтiндiнi» ассоциативтiлiгi мен коммутативтiлiгiнi»

салдарлары

 

1. Аныєтама бойынша a,b,c ѕш санны» кјбейтiндiсi (a*b)*с-ге те»:

a*b*с=(a*b)*c

Ал, a*(b*с) кјбейтiндiсi неге те»?

БЅл сЅраєєа  жауапты келесi мысал еске салады. 153- суреттегi дененi єЅрайтын кубтар санын  есептейiк. Есептеудi ёртѕрлё тёсiлдермен  жѕргiзуге болады.

1-тёсiл. Горизонталь  єабатта№ы кубтар санын (a*b) горизхонталь єабаттарды» санына (с) кјбейту. БЅл есептеу тёсiлi бойынша 153-суретте кескiнделген дене (a*b)*с кубтан тЅрады, ал суретте кјрсетiлген a, b, с мёндерiнде (5*3)*4 кубтан тЅрады.

2-тёсiл. Вертикаль  єабатта№ы кубтар санын (b*с) вертикаль єабаттар санына (а) кјбейту. БЅл есептеу тёсiлi бойынша 153-суретте кескiнделген дене (b*с)*а кубтар тЅрады. Кјбейтiндi коммутативтi, сондыєтан, (b*с)*а=(a*b)*с

Сонымен, дене  (153-сурет) (a*b)*с кубтан тЅрады ал суретте кјрсетiлген a,b,c мёндерiнде 5*(3*4) кубтан тЅрады.

Есептеудi» екi тёсiлi де бiр №ана нётиже беруi тиiс, сондыєтан, келесi те»дiктер тура болады:

(5*3)*4=5*(3*4)

(a*b)*c=a*(b*c)

Кез келген ѕш сан a, b,c, ѕшiн (a*b)*c=a*(b*c) те»дiгi тура болады.

БЅл – кјбейтудi» ассоциативтiк за»ы (сандар кјбейтiндiсiнi» ассоциативтiлiгi).

(a*b)*c=a*(b*c) те»дiгi былай оєылады:

Екi санны» кјбейтiндiсiн ѕшiншi сан№а кјбейту ѕшiн бiрiншi санды екiншi сан мен ѕшiншi санны» кјбейтiндiсiне кјбейту жеткiлiктi.

Бастауыш мектепте кјбейтудi» ассоциативтiк за»ын кјбейтудi» терiмдiлiк за»ы деп атайды.

Ассоциативтiлiк кјбейiткiштерiнi» саны кез келген сан болатын кјбейтiндiлерге де тён екенi дёлелденген.

Іатар тЅр№ан єандай да екi немесе бiрнеше кјбейiткiштi оларды» кјбейтiндiсi мен алмастыр№аннан терiс емес бѕтiн сандар кјбейтiндiсiнi» мёнi јзгермейдi.

Басєаша айтєанда, кез келген а₁, а₂, …, *а_m-1, a_m, … a_n ѕшiн                                а₁*а₂ …*а_m-1 a_m … a_n=(a₁*a₂…*a_m-1)*(a_m … *a_n) те»дiгi тура болады, мЅнда№ы m , те»сiздiгiн єана№аттандыратын кез келген натурал сан.

10*3*5*7*2=10*(3*5*7*2):

10*3*5*7*2=(10*3)*(5*7*2):

10*3*5*7*2=(10*3)*5*(7*2):

10*3*5*7*2=(10*3*5*7)*2:

а₁*а₂ …*а_m-1 a_m … a_n=(a₁*a₂…*a_m-1)*(a_m … *a_n) те»дiгiнен “те»” єатысыны» симметриялыє єасиетi бойынша мына те»дiк шы№ады:

(a₁*a₂…*a_m-1)*(a_m … *a_n)=а₁*а₂ …*а_m-1 a_m … a_n Бѕдан мынадай ереже шы№ады.

Бiрнеше санны» кјбейтiндiсiн бiрнеше санны» кјбейтiндiсiне кјбейту ѕшiн екi кјбейтiндiнi» кјбейткiтерiн бiртiндеп кјбейтiп шы№у жеткiлiктi.

Мысал. (50*20)*(2*5*136)=50*20*2*5*136

(a₁*a₂…*a_m-1)*(a_m … *a_n)=а₁*а₂ …*а_m-1 a_m … a_n те»дiгi те»сiздiгiн єана№аттандыратын кез келген m ѕшiн тура болады.

m=2 мынадай тура те»дiк шы№ады:

a₁(a₂*…*a_n)=a₁*a₂*… *a_n

Берiлген а₁ санын a₂*… *a_n кјбейтiндiсiне кјбейту ѕшiн алдымен, a₁ –дi a₂-ге кјбейту керек, содан кейiн a₁a₂ кјбейтiндiсiн а₃ –ке кјбейту керек, т.с.с. е» со»ында, a₁*a₂*… *a_n-1 кјбейтiндiсiн а_n –ге кјбейту керек.

Осы уаєытєа дейiн бiз кјбейтудi» тек єана ассоциативтiк немесе тек єана коммутативтiк за»ын єарастырдыє. Осы екi за»ды бiр мезгiлде  єолдану не беретiнiн байєайыє..

Кјбейтiндiнi»  коммутативтiлiк єасиетi бойынша  кјбейткiштердi» орындарын еркiмiзше  ауыстыру№а болады. Кјбейтiндiнi» ассоциативтiлiк  єасиетi бойынша кјбейткiштердi еркiмiзше  топтастыру№а болады. Егер коммутативтiлiк жёне ассоциативтiлiк єасиеттердi бiрге пайдалансає, онда кјбейткiштердi» орындарын еркiмiзше ауыстырып, содан кейiн еркiмiзше топтастыру№а болады.

Осы єасиеттердi b*(a₁*a₂*…*a_n) кјбейтiндiсiне жёне (a₁*a₂*…*a_n)*b кјбейтiндiсiне єолданайыє.

b*(a₁*a₂*…*a_n)=(b*a₁)(a₂*…*a_n)= a₁*(b*a₂)*…*a_n= a₁*a₂*…*(b*a_n),

(a₁*a₂*…*a_n)*b=(a₁*b)*a₂*…*a_n=a₁*(a₂*b)*…*a_n=… =a₁*a₂*…*(a_n*b)

БЅл те»дiктер берiлген санды кјбейтiндiге жёне кјбейтiндiнi берiлген сан№а єалай кјбейту керек екенiн кјрсетедi.

Бѕларды есептеулердi же»iлдету ѕшiн пайдаланады.

Мысал. 125*(537*8*2)=537*(125*8)=537*1000*2=1074000

Есептеулердi же»iлдету ѕшiн кейде бiр немесе бiрнеше кјбейткiштi кјбейтiндi тѕрiнде жазу пайдалы болады.

175*12 кјбейтiндiсiн есептейiк.

175*2=(7*25)*(4*3)=7*(25*4)*3=7*100*3=(7*3)*100=21*100=2100

 

 

 

Кјбейтудi»  єосынды№а єатысты дистрибутивтiк за»ы

 

     Математиканы»  бастама курсында єосындыны сан№а  кјбейту ережесi єарастырылады, ол  былай жазылады: (a+b)*c=a*c+b*c БЅл те»дiктi кјбейтудi» єосынды№а єатысты дистрибутивтiк немесе ѕлестiрiмдiлiк за»ы деп атайды.

      Есеп єарастырайыє. “4-суретте баєшаны»  планы кескiнделген. Шиелер дј»гелекшелермен, ал алхорылар жЅлдызшалармен  кескiнделген. Баєшада неме жемiс  а№ашы бар?” Есептi екi тёсiлмен  шы№ару№а болады.

 

 

 

 

1-тёсiл. Бiр  єатарда№ы а№аштар санын есептеймiз:

15+7

Бiр єатарда№ы  а№аштар санын єатарларды» санына кјбейтемiз:

(15+7)*5

2-тёсiл. Шиелер  санын есептеймiз.

15*5

Алхорылар санын  есептеймiз:

7*5

Баєшада№ы жемiс  а№аштарыны» санын табамыз.

15*5+7*5

   Екi жа№дайда  да бiр №ана сан шы№арып  алатынымыз айєын, сондыєтан: (15+7)*5=15*5+5*7

   Жалпы, келесi теорема орындалады.

Теорема.   Кез келген a, b, c ѕшiн

(a+b)*c=a*c+b*c   те»дiгi тура болады.

БЅл – кјбейтудi»  єосынды№а єатысты дистрибутивтiк  за»ы.

(a+b)*c=a*c+b*c те»дiгi єосындыны сан№а кјбейту ережесiн бередi:

Іосындыны сан№а кјбейту ѕшiн осы сан№а  ёрбiр єосыл№ышты кјбейтiп, шыєєан нётижелердi єосу жеткiлiктi.

Дистрибутивтiк  за» деп c*(a+b)=c*a+c*b те»дiгiн де атайды, бЅл да кез келген a, b, c  сандары ѕшiн тура болады.

Санды єосынды№а  кјбейту ѕшiн оны ёрбiр єосыл№ышєа кјбейтiп, шыєєан кјбейтiндiлердi єосу жеткiлiктi.

aс+bc=(a+b)*c

БЅл те»дiк бастауыш мектепте есептеулердi же»iлдету ѕшiн  жиi пайдаланылады. Айталыє, 147*59 + 853-59  єосындысын табу керек болсын. 147*59 жёне 853*59 кјбейтiндiлерiн жеке-жеке есептеп жатуды» єажетi жоє. Бiрден былай табу№а болады:

147*59+853*59=(147+853)*59=1000*59=59000

 

Кјбейтудi»  азайту№а єатысты дистрибутивтiк  за»ы

 

Есеп. 5-суретте  квадраттар мен ѕшбЅрыштар кескiнделген. Квадраттарды» ѕшбЅрыштардан нешеуi артыє?

Есептi екi тёсiлмен шешуге болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

1-тёсiл. Бiр  єатарда квадраттарды» ѕшбЅрыштардан  7-4-i артыє. Демек, ѕш єатарда  квадраттарды» ѕшбЅрыштардан (7-4)*3-i артыє.

2-тёсiл.

155-суретте 7*3 квадрат жёне 4*3 ѕшбЅрыш кескiнделген. Демек, квадраттарды» ѕшбЅрыштардан 7*3-4*3-i артыє.

Есеп сЅра№ыны»  жауабы есептi шешу тёсiлiне тёуелдi емес, сондыєтан,

(7-4)*3=7*3-4*3

1. жёне  2-теоремаларды дёлелде»iздер.
1. теорема. Егер а³b болса, онда  (a-b)*c=a*c-b*c  те»дiгi тура болады.

БЅл – кјбейтудi» азайту№а єатысты дистрибутивтiк за»ы. (a-b)*c=a*c-b*c те»дiгiнен айырманы сан№а кјбейту ережесi шы№ады.

Айырманы сан№а  кјбейту ѕшiн осы сан№а азай№ыш  пен азайтєышты жеке-жеке кјбейтiп, бiрiншi кјбейтiндiнi азайту жеткiлiктi.

2-теорема. Егер a³b болса, онда

c*(a-b)=c*a-c*b

те»дiгi тура болады.

БЅл да кјбейтудi» азайту№а єатысты дистрибутивтiк за»ы. Санды  айырма№а кјбейту ережесi былай  оєылады:

  Санды айырма№а кјбейту ѕшiн  осы санды азай№ыш пен азайтєышєа  жеке-жеке кјбейтiп, бiрiншi кјбейтiндiден  екiншi кјбейтiндiнi азайту жеткiлiктi.

  (a-b)*c=a*c-b*c те»дiгiнен “те»” єатысыны» транзитивтiлiнiнi» негiзiнде мына те»дiк шы№ады:

  a*с-b*c=(a-b)*c 

БЅл те»дiк есептеулердi же»iлдету ѕшiн пайдаланылады, мысалы:

5378*628-4378*628=(5378-4378)*628=1000*628=628000

Бөлудің анықтамасы

 

1. Екінші класста мынадай есеп шығарылады:

Балалар 15 емен ағашын бірден 3 қатар етіп отырғызды. әрбір қатарда  неше емен ағашы болады?

Айталық, бір қатарда  х емен бар дейік, сонда х×3=15. 5 саны х×3=15 теңдеуінің түбірі болып табылады: осы 5 санын 15-і 3-ке бөлгендегі бөлінді деп атайды. Бөлінді былай да белгіленеді: 15:3.

 Бөлуді теріс емес  бүтін сандар жиынында қарастырамыз.

Анықтама. Бүтін а санын натурал b санына бөлгендегі бөлінді деп х× b=а теңдеуінің түбірі (немесе b×х=а теңдеуінің түбірі) аталады. Бөліндіні табу амалы бөлу деп аталады.

Басқаша айтқанда, бөлу деп  екі көбейткіштің берілген көбейтіндісі (а) және бір көбейткіші (b¹0) бойынша екінші, көбейткішті (а: b) табу амалын атайды.

Бөліндінің анықтамасын

(а: b)× b =а

теңдігі түрінде немесе b×(а: b)=а теңдігі түрінде жазуға болады. (Бұл теңдіктер а: b саны х× b=а теңдеуінің түбірі немесе b×х=а теңдеуінің түбірі болып табылатындығын дәл айтып-ақ тұр).

Нөлге бөлуге болмайды

 

Математикада «Нольге  бөлуге болмайды» деп келісілген. Егер де нольге бөлуге рұқсат етілген болса, онда бөлінді не жоқ болар еді, не кез келген санға тең болар еді.

Теорема. 0:0 бөліндісі кез келген санға тең болады. Нольден өзге санды нольге бөлгендегі бөлінді жоқ болады.

а санын 0-ге бөлгендегі х бөлінді 0×х=а теңдеуінің түбірі болып табылады. Егер а=0 болса, онда х кез келген сан бола алады, өйткені, х-тің кез келген мәнінде 0×х нольге тең болады.

Егер а¹0 болса, онда бөлінді жоқ болады, өйткені, 0×х нольден өзге санға тең бола алмайды.