Натурал және теріс емес бүтін сандар

2. Аралас саннан натурал санды азайту.

2-мы с а л. қыскаша:

Аралас  саннан натурал санды азайтқанда, аралас санның бүтін бөлігінен азайтқыш натурал сан азайтылып, бөлшек бөлігі тіркеліп (қосылып) жазылады.

 3. Аралас саннан дұрыс бөлшекті азайту.

3-м ы с а л.

 кысқаша:

Бұл жағдайда егер аралас санның алымы, бөлшектің алымынан кіші болса, онда аралас санның бүтін бөлігін 1-ге кемітіп, оны бұрыс бөлшекті аралас санға айналдырады да, азайту амалын орындайды.

4-м ы с а л.

 

 

 

 

Бөлшектерді көбейту. Өзара кері сандар

Тік төртбұрыштың ауданын, тік бұрышты параллелепипедтің көлемін, жолды және заттың құнын табу үшін, ондағы шамалар бөлшектермен берілсе, бөлшектерді көбейту амалы пайдаланылады.

1-м ы с а л.  Тік төртбұрыштың ұзындығы  дм, ені дм. Оның ауданын есептеп шығарайық.

Ш е ш у і: 17-суреттегі шаршының ұзындыгын тең 5 бөлікке (үлеске), енін тең 3 бөлікке (үлеске) бөлсек, шаршы 15 бөлікке (үлеске) бөлінеді. Сонда оның бір бөлігінің ауданы дм². ABCD тік төртбұрышының ұзындыгы АВ — дм, ені ВС = дм. ABCD тік төртбұрышында әрқайсысының ауданы дм² болатын 8 бөлік бар. Онда ABCD тік төртбұрышының ауданы дм². Демек, көбейтінді — бөлшегінің алымы көбейткіш бөлшектердің алымдарының көбейтіндісі: 8=4•2, ал бөлімі көбейткіші бөлшектердің бөлімдерінің көбейтіндісі: 15=5•3. Нәтижені жазсақ,

Екі жай бөлшектің көбейтіндісі — алымы берілген бөлшектердің алымдарының көбейтпіндісіне, ал бөлімі бөлімдерінің көбейтпіндісіне тең бөлшек.

Әріп түрінде ереже  былай жазылады: 

а, с— натурал сандар немесе нөл, b, d— натурал сандар. Егер көбейтінді бөлшектің алымы мен бөлімінің ортақ бөлгіштері бар болса, оны (ең дұрысы алымы мен бөлімінің кебейтіндісін таппай тұрып) қысқарту керек.

2-м ы с а л.

Натурал санды бөлшекке көбейту үшін, оны бөлімі 1 болатын  бөлшекпен алмастырады.

3-м ы с а л.   , қысқаша:

Натурал санды бөлшекке көбейткенде натурал  сан бөлшектің алымына көбейтпіліп, көбейтінді бөлшектің алымы ретпінде алынады да, бөлімі өзгеріссіз сол қалпында қалдырылады:

Егер көбейткіштер аралас сандар болса, оларды бұрыс бөлшектерге  айналдырып, содан кейін бөлшекті бөлшекке көбейту ережесін қолдану керек.

4-м ы с а л. 

 

Егер кебейткіштердің  бірі нөлге тең болса, онда көбейтінді нөлге тең болады.

 

5-м ы с а л. 0 = 0 =0.

Егер көбейткіштердің  бірі әріппен берілсе, онда әріп бөлшектен  кейін, өлшек сызығының деңгейінде жазылады. Көбейту таңбасын жазбауға да болады. Сандық көбейткішті коэффициент деп атайды.

6-м ы с а л. х; мұндағы — коэффициент, х — әріп көбейткіш.

Коэффициент 1-ге тең болса, ол жазылмайды. а—8 өрнегіндегі а-ның коэффициенті 1.

Егер бірінші бөліпектің алымы екініпі бөлшектің бөліміне, ал бірін-ші белшектің белімі екінші бөлшектің алымына тең болса, ондай бөлшектер өзара кері сандар деп аталады.

7-м ы с а л. санына (бөлшегіне) кері сан (бөлшек)

7 санына кері сан санына кері сан 7.

Екі өзара кері сандардыц көбейтіндісі 1- ге тпең болады.

8-м ы с а л.                       

Көбейтпінділері 1-ге тең екі санды өзара кері сандар дейміз.

0 санына кері сан  болмайды.

 

Бөлшектерді көбейтуде  көбейтудің ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік қасиеттерінің орындалуы

Натурал сандарды көбейтудегідей, бөлшек сандарды көбейтуде де көбейтудің ауыстырымдылық, терімділік және үлестірімділік қасиеттері орындалады. 1. Бөлішектерді көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті:

1-м ы с а л.

Көбейткіш бөлшектердің орындарын ауыстырғаннан көбейтінді

бөлшек  өзгермейді.

2. Бөлшектерді көбейтудің  терімділік қасиеті:

2-м ы с а л. 

Бір бөлшекті екі бөлшектің көбейтіндісіне көбейту үшін, ол бөлшекті әуелі бірінші бөлшекке көбейтіп, одан шыққан көбейтінді бөлшекті келесі көбейткіш бөлшекке көбейтуге болады.

3. Бөлшектерді көбейтудің қосуға (азайтуға) қатысты үлестірімділік қасиеті:

3-м ы с а л.

Бөлшектердің қосындысын бөлшекке көбейту үшін, оған қосылғыш бөлшектердің әрқайсысын жеке-жеке көбейтіп, нәтижелерін қосуга болады.

Аралас санды натурал  санға көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып көбейтуге болады.

4-м ы с а л.  4 көбейтіндісін табайық.

 

Аралас  санды натурал санға көбейту үшін, аралас санның бүтін бөлігін натурал санға көбейтіп, бүтпін бөлік етіп, бөлшек бөлігін натурал санға көбейтпіп, бөлшек бөлігі етіп, нәтижелерін қосу керек.

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, өрнектерді ықшамдауға болады.

5-м ы с а л.  

 

 

Көбейту амалының аталған  қасиеттері бөлшектерді есептеуді  жеңілдету үшін және бөлшектерді  ықшамдау үшін пайдаланылады.

 

ТЕРlС ЕМЕС БҮТlН САНДАР

 

Терiс  емес бѕтiн сандар жиыны

Іосуды» аныєтамасы

 

1. Натурал сандар жиыныны» жёне элементi “ноль” саны болатын жиынны» бiрiгуiн терiс емес бѕтiн сандар жиыны деп атайтын едiк:

N₀=N È{0}.

Осы жиын сандары  ѕшiн єосу операциясын аныєтаймыз. Мысал єарастырайыє. Екi жиын А={m, n, l} жёне B={c, d} берiлген. A жёне B  жиындарыны» ортає элементтерi жоє, я№ни AÇB=Æ. Оларды» бiрiгуiн табайыє:  AÈB ={m, n, l, c, d}.   (AÈB) жиыны элементтерiнi» санын, я№ни n(AÈB)=5 санын,  n(A)=3 жёне n(B)=2 сандарыны» єосындысы деп аатйды:

n(A)+ n(B)= n(AÈB)

3+2=5

Аныєтама. Терiс емес бѕтiн a жёне b сандарыны» єосындысы деп n(A)=a, n(B)=b, AÇB=Æ болатындай A жёне B екi жиынны» бiрiгуiнi» элементтерiнi» саны болып табылатын терiс емес бѕтiн сан  c  санын атайды.

Берiлген a жёне  b сандары єосыл№ыштар деп аталады.

Іосынды табылатын амал  єосу деп аталады жёне былай жазылады:

a+b=c

c=a+b те»дiгiнде c №ана емес, a+b јрнегi де єосынды деп аталады.

Аныєтама. a_1, a₂  жёне а₃ ѕш саныны» єосындысы деп (a₁ + а₂ ) +а₃  єосындысы деп аталады, я№ни a₁ + а₂ +а₃  =(a₁ + а₂ ) +а_3.

a₁ + а₂ +а₃  =(a₁ + а₂ ) +а_3.   Те»дiгi аныєтама бойынша енгiзiледi. Оны дёлелдей алмаймыз.

 

 

 

Қосындының  коммутативтілігі

 

Теорема. кез келген а және b сандарды үшін

а+b=b+a  теңдігі тура болады

Бұл – сандарды қосудың  коммутативтік заңы (немесе сандар қосындысының коммутативтілігі). Бұны былай оқиды: қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан қосындының мәні өзгермейді.

Қосудың коммутативтік  заңын бастауыш мектепте қосудың  орын ауыстырымдылық заңы деп атайды.

Коммутативтілікке қосылғыштарының  саны кез келген болатын қосынды да ие болады. Қосылғыштардың орындарын ауытырғаннан қосындының мәні өзгермейді.

Қосындының  ассоциативтілігі

Қосындының  ассоциативтілігінен шығатын салдарлар 

 

1. Анықтама бойынша a+b+c=(a+b)+c

Ал, (a+b)+c қосындысы неге тең? (a+b)+c қосындысы (a+b)+c қосындысына тең бола ма?

Теорема. Кез келген а, b, c сандары үшін (a+b)+c=a+(b+c)теңдігі тура болады.

Бұл – қосудың ассоциативтік  заңы.

(a+b)+c=a+(b+c) теңдігінен есептеулерді жеңілдету үшін пайдаланылатын мынадай ереже шығады:

Екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін бірінші санға екінші және үшінші сандар қосындысын қосу жеткілікті.

Ассоциативтік (терімділік) заңмен оқушылар бастауыш мектептен-ақ таныс.

а+b+с=(а+b)+с және (а+b)+c және (a+b)+c=a+(b+c) теңдіктерінен транзитивтілік қасиет бойынша келесі теңдік шығады:

а+b+с=а+(b+с)

Ассоциативтілікке қосылғыштарының  саны кез келген болатын қосынды  да ие болады.

Қатар тұрған екі немесе бірнеше қосылғышты олардың қосындысымен алмастырғаннан теріс емес бүтін  сандар қосындысы а₁+ а₂+ ...а_n өзгермейді.

Басқаша айтқанда, кез  келген а₁, а₂,....а_m-1,…,a_n үшін келесі теңдік тура болады:

a₁+ a₂+ …+ a_m-1 +…+ a_n=(a₁+ a₂+ …+ a_m-1)+( a_m +…a_n )

мұндағы m саны – 1<m£n теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген натурал сан.

Мысалдар:

1+2+3+4+5=1+(2+3+4+5),

1+2+3+4+5=(1+2)+(3+4+5),

1+2+3+4+5=(1+2+3)+(4+5),

1+2+3+4+5=(1+2+3+4)+5.

Бірнеше санның қосындысына екінші бір қосындыны  қосу үшін осы қосындылардың барлық қосылғыштарын біртіндеп қоса беру жеткілікті.

Мысал. (378+22+50)+(167+333)=(((378+22)+50)+167)+333=950

(a₁+ a₂+ …+ a_m-1)+( a_m+…+ a_n)= a₁+ a₂+ …+ a_m-1+ a_m+… a_n

теңсіздігін қанағаттандыратын  кез келген m үшін тура болады. m=2 болғанда келесі теңдік шығады:

a₁+ (a₂+ …+ a_n)=a₁+ a₂+ …+ a

Берілген санға бірнеше  санның қосындысын қосу үшін сол санға  осы қосындының барлық қосылғыштарын бірінен соң бірін біртіндеп қоса беру жеткілікті.

2. Осы уақытқа дейін біз тек қана ассоциативтік заңды және тек қана коммутативтік заңды қарастырып келдік. Осы екі заңды бір мезгілде қолдану не беретінін байқап көрейік.

Қосындының коммутативтік қасиеті бойынша қосылғыштардың орындарын еркімізше ауыстырумызға болады. Қосындының ассоциативтілік қасиеті бойынша қатар тұрған қосылғыштарды еркімізше топтауымызға болады. Егер қосындының коммутативтілік және ассоциативтілік қасиеттерін бірден пайдалансақ, онда қосылғыштарды еркімізше орын ауыстыруымызға және топтастыруымызға болады.

Осы қасиеттерді

b+( a₁+ a₂+ …+ a_n)

қосындысына және

(a₁+ a₂+ …+ a_n)+b

қосындысына қолданайық.

b+( a₁+ a₂+ …+ a_n)=( a₁ +b)+a₂+

+…+ a_n= a₁+ ( a₂ +b)+…+ a_n=

=…= a₁+ a₂+…+( a_n+b)+

(a₁+ a₂+ …+ a_n)+b=( a₁+ b)+

+ a₂+…+ a_n= a₁+( a₂ +b)+

+…+ a_n= a₁+ a₂+…+

+( a_n+b)

Бұл теңдіктер берілген санға қосындыны қалай керек  екенің және берілген қосындыға санды  қалай қосу керек екенін көрсетеді.

Мысал: (961+115+8)+358=961+(115+385)+8=961+500+8=1469

Коммутативтік және ассоциативтік  заңдарды қолдану есептеулерді жеңілдетуге  мүмкіндік береді.

 

Теріс емес бүтін  сан мен нольдің қосындысы.

Қосу таблицасы. Көп таңбалы сандарды қосу

 

Теорема.  Кез келген а саны ѕшiн а+0=а те»дiгi тура болады.

Бiр та»балы кез келген екi санны» єосындысы єосу таблицасы деп аталатын таблица№а жазылады. Таблицаны пайдалану ережесi стрелкалармен кјрсетiлген.

 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 2 3   4 5 6 7 8 9	1 2 3 4   5 6 7 8 9 10	2 3 4 5   6 7 8 9 10 11	3 4 5 6   7 8 9 10 11 12	4 5 6 7   8 9 10 11 12 13	5 6 7 8   9 10 11 12 13 14	6 7 8 9   10 11 12 13 14 15	7 8 9 10   11 12 13 14 15 16	8 9 10 11   12 13 14 15 16 17	9 10 11 12   13 14 15 16 17 18