Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

Содержание:

1)Введение……………………………………………………………………………………………………………………….2-5

2)Геометрические вероятности……………………………………………………………………………………..5-12

3)Формула полной вероятности  и формула Байеса……………………………………………………12-16

4)Случайные величины…………………………………………………………………………………………………16-23

5) Функция распределения и плотность распределения случайной величины ……….23-27

6) Нормальный закон распределения вероятностей…………………………………………………..27-32

7) Основные характеристики дискретных и непрерывных случайных величин…………33-46

8)Числовые характеристики статистического распределения…………………………………….46-49

9)Моделирование случайных величин методом Монте-Карло………………………………….49-56

10)Литература………………………………………………………………………………………………………………………………..57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Теория вероятности есть математическая наука, изучающая закономерности

в случайных явлениях.

     Что же понимается под случайными явлениями?

     При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого  типа, которые принято называть случайными.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

    Приведем пример случайного явления.

     Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналитических весах: результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия  обусловливаются влиянием различных второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как случайные вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний прибора и т.д.

     Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

     Случайности неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом, из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самые главные, основные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основные факторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения, которыми оперирует рассматриваемая теория.

     Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только поясняются.

    Одним из первых понятий в теории вероятности вводится понятие события.

    Под событием понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

    Приведем примеры событий.

      А - рождение мальчика или девочки;

      В - избрание того или иного дебюта в шахматной игре;

      С - принадлежность к тому или иному зодиакальному знаку.

    Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одна большей, другие - меньшей. Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называют вероятностью события.

   Таким образом, вероятность события есть численная характеристика степени объективной возможности события.

   За единицу вероятности принимают вероятность достоверного события, равную 1, а диапазон изменения вероятностей любых событий - числа от 0 до 1.

   Вероятность обычно обозначают буквой Р.

   Рассмотрим на примере извечной проблемы шекспировского Гамлета "быть или не быть?"  как можно определить вероятность события.

   Вполне очевидно, что человек, предмет и всякое иное явление может  находиться в одном из двух и не более состояний: наличия ("быть") и отсутствия ("не быть"). Т.е., возможных событий две, а произойти  может только одно. Это означает, что вероятность, например бытия, равна 1/2.

    Помимо понятия события и вероятности, одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

    Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.

    Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

    Наряду, со случайными событиями как фактами в схеме испытаний, характеризующими ее качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведет к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Например, при бросании монеты «решка» — это 0, а «герб» — это 1; при бросании игральной кости результаты — суть номера граней от 1 до 6 и т. п.

     В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; рост призывников при наборе в армию; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. П.

    Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям. С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно. Например, координаты(абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры(длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты мед обследования(температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения(по возрасту, полу, достатку и пр.).

    Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определенными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины.

    На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная). Перечень возможных значений (спектр) каждой одномерной случайной величины может быть как дискретным (конечным/бесконечным), так и непрерывным, а также комбинированным — в зависимости от характера распределения вероятностной массы материальных точек, схем испытаний по значениям случайной величины. Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

 

Геометрические вероятности.

 

 Одним из недостатков  классического определения вероятности  является то, что оно неприменимо  к испытаниям с бесконечным  количеством исходов. В таких  случаях можно воспользоваться  понятием геометрической вероятности.   

 Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:             

                                                                                                              (1.1)

где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.

Можно дать аналогичную  постановку задачи для точки, брошенной  на плоскую область  S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:           

                                                                                                                (1.1)   

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным  образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:           

                                                                                                                (1.1`)

где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

Пример 1. Найти вероятность  того, что точка, наудачу брошенная  в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга  а площадь шестиугольника Следовательно,                       

            

Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.

Решение. Обозначим  длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z). Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек, для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y,              y + z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y,  y + z = x

х Рис.1.

(одна из них,  плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от куба пирамиду, объем которой равен . Следовательно, объем оставшейся части

. Тогда                                

 

Теорема сложения вероятностей.

Теорема 1.1 (теорема сложения).  Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна         

 Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).                                                            (1.2)

Доказательство.

Докажем теорему  сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, т_А – число исходов, благоприятных событию А, т_В – число исходов, благоприятных событию В, а т_АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно т_А + т_В – т_АВ (так как в сумме (т_А + т_В)  т_АВ  учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле:              

 

что и требовалось  доказать.

Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С     

 Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)                    

(1.3)

и т.д.

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то т_АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:         

Р(А + В) = р(А) + р(В).                                                                        (1.4)

Определение 1.1.  Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом,  заключается в том, что событие А не произошло.

Теорема 1.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:       

 р(А) + р( )=1.                                                                                  (1.5)

Доказательство.

Так как А и  образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + является достоверным. Следовательно,

Р( А + ) = 1. Но, так как А и несовместны, из Р(А + В) = р(А) + р(В) следует, что Р(А + ) = р(А) + р( ). Значит,  р(А) + р( ) = 1, что и требовалось доказать.

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле р(А) + р( ) = 1.                                                                

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров.  Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле р(А) + р( )=1 :          

 

а множество исходов, благоприятных событию   - это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных:         

 

Тогда        а                     

 

Теорема умножения  вероятностей.

Определение 1.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.