Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

Полученный результат  позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.                             

 

Показательное распределение.

Определение 5.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

                                                                   (5.5)

В отличие от нормального  распределения, показательный закон  определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию  распределения показательного закона:  

   Следовательно,

                                                                     (5.6)

Теперь можно  найти вероятность попадания  показательно распределенной случайной  величины в интервал (а, b):        

  .                                                                 (5.7)

Значения функции е^-х можно найти из таблиц.                                        

 Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция                F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна       

                              R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).                                        (5.8)

Эта функция называется функцией надежности.              

 Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет  показательное распределение, то есть:                           

 F(t) = 1 – e^-λt .                      

Следовательно, функция  надежности в этом случае имеет вид:                

 R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e^-λt) = e^-λt .

Определение 5.4. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством                     

 R(t) = e^-λt ,                                                                          (5.9)

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Пусть время  безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения  f(t) = 0,1 e^-0,1t при  t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e^-0,1·10 = e^-1 = 0,368.

 

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

 

Закон распределения (функция распределения и ряд  распределения или плотность  вероятности) полностью описывают  поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать  некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное  отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных  величин.

Математическое  ожидание.

Определение 6.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п .                                                    (6.1)

Если число возможных  значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непрерывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи, следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3.   

Тогда

Пример 2. Определим  математическое ожидание случайной  величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х	1	2	…	п	…
р	0,5	(0,5)2	…	(0,5)п	…

Тогда 
..+

+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).

Свойства математического ожидания.

1)Математическое  ожидание постоянной равно самой  постоянной:           

М(С) = С.                                                                                  (6.2)

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С·1 = С.

2)Постоянный множитель  можно выносит за знак математического  ожидания:   

 М(СХ) = С М(Х).                                                                            (6.3)

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

то ряд распределения  для СХ имеет вид:

Сxi	Сx1	Сx2	…	Сxn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п = С( х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п) = СМ(Х).

Определение 6.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение 6.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.

3)Математическое  ожидание произведения двух независимых  случайных величин равно произведению  их математических ожиданий: 

 M(XY) = M(X)M(Y).                                                                        (6.4)

Доказательство. Для  упрощения вычислений ограничимся  случаем, когда Х и Y  принимают только по два возможных значения:

xi	x1	x2
pi	p1	p2

уi	у1	у2
gi	g1	g2

Тогда ряд распределения  для XY  выглядит так:

ХY	x1y1	x2y1	x1y2	x2y2
p	p1g1	p2 g1	p1g2	p2g2

Следовательно, M(XY) = x₁y₁·p₁g₁ + x₂y₁·p₂g₁ + x₁y₂·p₁g₂ + x₂y₂·p₂g₂ = y₁g₁(x₁p₁ + x₂p₂) +   + y₂g₂(x₁p₁ + x₂p₂) = (y₁g₁ + y₂g₂) (x₁p₁ + x₂p₂) = M(X)·M(Y).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается  методом математической индукции.

Определение 6.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4)Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:     

M (X + Y) = M (X) + M (Y).                                                             (6.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные  величины, заданные рядами распределения, приведенными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y  являются х₁ + у₁, х₁ + у₂, х₂ + у₁, х₂ + у₂. Обозначим их вероятности соответственно как р₁₁, р₁₂, р₂₁ и р₂₂. Найдем М( Х +Y ) = (x₁ + y₁)p₁₁ + (x₁ + y₂)p₁₂ + (x₂ + y₁)p₂₁ + (x₂ + y₂)p₂₂ =

= x₁(p₁₁ + p₁₂) + x₂(p₂₁ + p₂₂) + y₁(p₁₁ + p₂₁) + y₂(p₁₂ + p₂₂).

Докажем, что р₁₁ + р₂₂ = р₁. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х₁ + у₁ или х₁ + у₂ и вероятность которого равна  р₁₁ + р₂₂, совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х₁ (его вероятность – р₁). Аналогично доказывается, что p₂₁ + p₂₂ = р₂, p₁₁ + p₂₁ = g₁, p₁₂ + p₂₂ = g₂. Значит,     

 M(X + Y) = x₁p₁ + x₂p₂ + y₁g₁ + y₂g₂ = M (X) + M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при  броске одной кости:

М(Х₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4  М(Х)=

Дисперсия.

Для того, чтобы  иметь представление о поведении  случайной величины, недостаточно знать  только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида:

 

Х	49	50	51
Р	0,1	0,8	0,1

Y	0	100
p	0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х  М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y  существенно отстоят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя  служит дисперсия.

Определение 6.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

          D(X) = M (X – M(X))².                                                                          (6.6)