Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

  ,

то получим известную  задачу определения доверительного интервала для математического  ожидания генеральной совокупности. Воспользуемся результатами решения  этой задачи для следующих случаев:

1)Случайная величины Х распределена нормально, и известно ее среднее квадратическое отклонение. Тогда получаем: , где п – число испытаний, s - известное среднее квадратическое отклонение, а t – аргумент функции Лапласа, при котором Ф(t) = g/2.

2)Случайная величина Х распределена нормально с неизвестным s. Воспользуемся формулой , где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а определяется по соответствующей таблице.

3)Если случайная  величина распределена по иному  закону, то при достаточно большом  количестве испытаний (n > 30) можно использовать для оценки d предыдущие формулы, так как при п®¥ распределение Стьюдента стремится к нормальному, и границы интервалов, полученные по формулам и , различаются незначительно.      

 

Разыгрывание  случайных величин.

Определение 8.1. Случайными числами называют возможные значения r непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0; 1).

1.Разыгрывание дискретной случайной величины.

Пусть требуется  разыграть дискретную случайную  величину Х, то есть получить последовательность ее возможных значений, зная закон распределения Х:                               

 Х   х₁   х₂ … х_п   

                             р   р₁   р₂ … р_п .

Рассмотрим равномерно распределенную в (0, 1) случайную величину R и разобьем интервал (0, 1) точками с координатами  р_1,  р₁ +  р₂, …, р₁ +  р₂ +… +р_п-1 на п частичных интервалов , длины которых равны вероятностям с теми же индексами.

Теорема 8.1. Если каждому случайному числу , которое попало в интервал , ставить в соответствие возможное значение , то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:                               

 Х   х₁   х₂ … х_п                               

 р   р₁   р₂ … р_п .

Доказательство.

Возможные значения полученной случайной величины совпадают  с множеством                             х₁ ,  х₂ ,… х_п, так как число интервалов равно п, а при попадании r_j в интервал  случайная величина может принимать только одно из значений х₁ ,  х₂ ,… х_п.

Так как R распределена равномерно, то вероятность ее попадания в каждый интервал равна его длине, откуда следует, что каждому значению  соответствует вероятность p_i. Таким образом, разыгрываемая случайная величина имеет заданный закон распределения.

Пример. Разыграть 10 значений дискретной случайной величины Х, закон распределения которой имеет вид:     Х    2        3        6        8                                     

 р    0,1     0,3     0,5     0,1

Решение. Разобьем интервал (0, 1) на частичные интервалы: D₁- (0; 0,1), D₂ – (0,1; 0,4), D₃ -   (0,4; 0,9), D₄ – (0,9; 1). Выпишем из таблицы случайных чисел 10 чисел: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Первое и седьмое числа лежат на интервале D₁, следовательно, в этих случаях разыгрываемая случайная величина приняла значение х₁ = 2; третье, четвертое, восьмое и десятое числа попали в интервал D₂, что соответствует х₂ = 3; второе, пятое, шестое и девятое числа оказались в интервале D₃ – при этом Х = х₃ = 6; на последний интервал не попало ни одного числа. Итак, разыгранные возможные значения Х таковы: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2.Разыгрывание противоположных  событий.

Пусть требуется  разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р. Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения 1 (в случае, если событие А произошло) с вероятностью р и 0 (если А не произошло) с вероятностью q = 1 – p. Затем разыграем эту случайную величину так, как было предложено в предыдущем пункте.

Пример. Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых  событие А появляется с вероятностью 0,3.

Решение. Для случайной  величины Х с законом распределения  Х   1     0                                                                                                             

 р  0,3  0,7

получим интервалы   D₁ – (0; 0,3) и D₂ – (0,3; 1). Используем ту же выборку случайных чисел, что и в предыдущем примере, для которой в интервал D₁ попадают числа №1,3 и 7, а остальные – в интервал D₂. Следовательно, можно считать, что событие А произошло в первом, третьем и седьмом испытаниях, а в остальных – не произошло.

3.      Разыгрывание полной группы событий.

Если события А₁, А₂, …, А_п, вероятности которых равны р₁ ,  р₂ ,… р_п, образуют полную группу, то для из разыгрывания (то есть моделирования последовательности их появлений в серии испытаний) можно разыграть дискретную случайную величину Х с законом распределения   Х    1    2  …  п, сделав это так же, как в пункте 1. При этом считаем, что                           

 р     р₁   р₂ … р_п

если Х принимает значение х_i = i, то в данном испытании произошло событие А_i.

4.      Разыгрывание непрерывной случайной величины.

а) Метод обратных функций.

Пусть требуется  разыграть непрерывную случайную  величину Х, то есть получить последовательность ее возможных значений x_i (i = 1, 2, …, n), зная функцию распределения F(x).

Теорема 8.2. Если r_i– случайное число, то возможное значение x_i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F(x), соответствующее r_i, является корнем уравнения

F(x_i) = r_i.                                                                         (8.1)

Доказательство.

Так как F(x) монотонно возрастает в интервале от 0 до 1, то найдется (причем единственное) значение аргумента x_i , при котором функция распределения примет значение r_i. Значит, уравнение F(x_i) = r_i имеет единственное решение: х_i = F^-1(r_i ), где F^-1- функция, обратная к F. Докажем, что корень уравнения F(x_i) = r_i является возможным значением рассматриваемой случайной величины Х. Предположим вначале, что x_i– возможное значение некоторой случайной величины x, и докажем, что вероятность попадания x в интервал (с, d) равна F(d) – F(c). Действительно,  в силу монотонности F(x) и того, что F(x_i) = r_i. Тогда

, следовательно,    Значит, вероятность попадания x в интервал (c, d) равна приращению функции распределения F(x) на этом интервале, следовательно, x = Х.

Пример.

Разыграть 3 возможных  значения непрерывной случайной  величины Х, распределенной равномерно в интервале (5; 8).

Решение.

F(x) = , то есть требуется решить уравнение   Выберем 3 случайных числа: 0,23; 0,09 и 0,56 и подставим их в это уравнение. Получим соответствующие возможные значения Х:        

б) Метод суперпозиции.

Если функция  распределения разыгрываемой случайной  величины может быть представлена в  виде линейной комбинации двух функций  распределения:

,                                                   (8.2)

то  , так как при х®¥  F(x) ® 1.

Введем вспомогательную  дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z      1     2. Выберем 2 независимых случайных числа r₁ и r₂ и разыграем возможное

p      C₁   C₂         

значение Z по числу    r₁ определяется, если Z = 1, то ищем искомое возможное значение Х из уравнения , а если Z = 2, то решаем уравнение   .

Можно доказать, что  при этом функция распределения  разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения.

в) Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины.

Так как для R, равномерно распределенной в (0, 1), , то для суммы п независимых, равномерно распределенных в интервале (0,1) случайных величин . Тогда в силу центральной предельной теоремы нормированная случайная величина  при п ® ¥ будет иметь распределение, близкое к нормальному, с параметрами а = 0 и s =1. В частности, достаточно хорошее приближение получается при п = 12:   

Итак, чтобы разыграть  возможное значение нормированной  нормальной случайной величины х, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из суммы вычесть 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1)Блатов И.А. - Методы неполной факторизации в сочетании с быстрым преобразованием Фурье решения дискретных краевых задач с различными краевыми условиями. «Тезисы докладов. Часть 2.» Новосибирск. Изд-во. 2000. стр. 175.

2)Ежов А.М. - Об корректности первой задачи Коши-Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона, «Тезисы докладов, часть 2.» Самара, 2000г. стр. 159.

3)Шевченко Г.Н. - Методические указания к типовому расчету по высшей математике «Введение в математический анализ». Часть 2. Самара, 2001г. стр. 225.

4)Старожилова О.В. - Двухступенчатый итерационный метод. Изд-во ПГАТИ, Самара, 2000. стр. 340.

5)Сергиевская И.М. - О единственности решения задачи для одного дифференциального уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями выражения. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара, 2001г. Часть 3. стр. 225.

6)Бочкарева О.В. - Методические указания для практических занятий по теме «Теория функций комплексного переменного». ПГАТИ, Самара, 1999г. стр. 289.