Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

хi	0	1	2
pi	0,12	0,46	0,42

Графически закон  распределения дискретной случайной  величины можно представить в  виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x_i, p_i).

      

 x₁    x₂   x₃    x₄    x₅    

 

Функция распределения.

Определение 3.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:              

F (x) = p (X < x).                                                                      (3.1)                     

 Свойства функции  распределения.

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.                                                                                                    

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2)      Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁. Это следует из того, что  F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).

3)       В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4)      Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:                       

 p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).     

 Справедливость  этого утверждения следует из  определения функции распределения  (см. свойство 2).

Для дискретной случайной  величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:                

   

Соответственно  график функции распределения имеет  ступенчатый вид:

 

  

 
                                

 

Биномиальное распределение.

Вернемся к схеме  независимых испытаний и найдем закон распределения случайной  величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:      

                                                      (3.2)

( p – вероятность появления А в каждом испытании).

Такой закон распределения  называют биномиальным, поскольку правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:        

         

Пример. Составим ряд  распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:

х	0	1	2	3	4	5
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

 

                             

Распределение Пуассона.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:               

  ,                                            (3.3)

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Покажем, что сумма  всех вероятностей равна 1:           

 

(использовано разложение  в ряд Тейлора функции е^х).

Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению  Пуассона. Пусть на оси абсцисс  случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:

1)вероятность попадания  некоторого количества точек  на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси      (то есть точки распределены с одинаковой средней плотностью);

2)точки распределяются независимо друг от друга (вероятность попадания какого-либо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой другой отрезок);

3) практическая невозможность совпадения двух или более точек.

Тогда случайная  величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распределена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.

Замечание. В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон Пуассона часто называют законом редких явлений.

 

Функция распределения и плотность  распределения случайной величины.

 

Определение и свойства функции распределения сохраняются  и для непрерывной случайной  величины, для которой функцию  распределения можно считать  одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной  случайной величины вероятность  каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции  распределения:  р(Х = а) = F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной  случайной величины является так  называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).

Определение 4.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x) = F′(x),                                                                        (4.1)

то есть является производной функции распределения.             

        Свойства плотности распределения.

1)      f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2)      , что следует из определения плотности распределения.

3)      Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой:             

   

Действительно,

 

4)       (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что  а   

5)       так как  при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при  (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала   [a, b]  f(x) ≡ 0.

Пример 1. Плотность  распределения непрерывной случайной  величины задана формулой                                         

 

Найти:

а) значение константы С; 

 б) вид функции  распределения; 

 в) p(-1 < x < 1).

Решение.

а) значение константы С найдем из свойства 4:

 откуда  .

б)

в)

Пример 2. Функция  распределения непрерывной случайной  величины имеет вид:               

 

Найти плотность  распределения.

Решение.     

     

 

Равномерный закон распределения.  

 Часто на практике  мы имеем дело со случайными  величинами, распределенными определенным  типовым образом, то есть такими, закон распределения которых  имеет некоторую стандартную  форму. В прошлой лекции были  рассмотрены примеры таких законов  распределения для дискретных  случайных величин (биномиальный  и Пуассона). Для непрерывных случайных  величин тоже существуют часто  встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

Определение4.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Найдем значение, которое принимает f(x) при  Из условия нормировки следует, что  откуда .

Вероятность попадания  равномерно распределенной случайной  величины на интервал  равна при этом

Вид функции распределения  для нормального закона:   

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда 

 

 

Нормальный закон распределения  вероятностей.

Определение5.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

                                                          (5.1)

Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и σ.

График плотности  нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию          

1)      Область определения этой функции: (-∞, +∞).

2)      f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).

3)       то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при

4)       при х = а;  при x > a,  при x < a. Следовательно,  - точка максимума.

5)      F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.

6)       при , то есть точки  являются точками перегиба.

Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.

х                             

 Рис.1.

Найдем вид функции  распределения для нормального  закона:     

                                                    (5.2)

Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.

Определение 5.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется нормированным, а его функция распределения      -                                                                           (5.3)

-функцией Лапласа.

Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через функцию Лапласа, если сделать замену:

  , тогда .

Найдем вероятность  попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал:   

                                      (5.4)

Пример. Случайная  величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).

Решение.

                                   

 Правило «трех сигм».

Найдем вероятность  того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ): 

Следовательно, вероятность  того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ,    а + 3σ).