Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин

Пример.  Найдем дисперсию случайной величины Х(числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:

(1 – 2,4)² = 1,96; (2 – 2,4)² = 0,16; (3 – 2,4)² = 0,36. Следовательно,  

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1.           D(X) = M(X ²) – M ²(X).                                                                                                                                                           (6.7)

Доказательство.

Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу D(X) = M (X – M(X))² к виду:  

 D(X) = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)·M(X) + M²(X) =

= M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.

Пример. Вычислим дисперсии  случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этого раздела. М(Х) = (49²·0,1 + 50²·0,8 + 51²·0,1) – 50² = 2500,2 – 2500 = 0,2.

М(Y) = (0²·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для  Y  это отклонение весьма существенно.

Свойства дисперсии.

1)Дисперсия постоянной  величины С равна нулю:

D (C) = 0.                                                                                (6.8)

Доказательство. D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0.

2)Постоянный множитель  можно выносить за знак дисперсии,  возведя его в квадрат:

         D(CX) = C²D(X).                                                                      (6.9)

Доказательство. D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X –  M(X))²) == C²D(X).

3)Дисперсия суммы  двух независимых случайных величин  равна сумме их дисперсий:

      D(X + Y) = D(X) + D(Y).                                                           (6.10)

Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) + M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4)Дисперсия разности  двух независимых случайных величин  равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y).                                                           (6.11)

Доказательство. D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсия дает среднее  значение квадрата отклонения случайной  величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 6.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:                                            

  .                                                                      (6.12)

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно  

  

Числовые  характеристики непрерывных случайных  величин.

Распространим определения  числовых характеристик случайных  величин на непрерывные случайные  величины, для которых плотность  распределения служит в некотором  роде аналогом понятия вероятности.

Определение 6.7. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется           

                                                                          (6.13)

Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 6.5), а формула для ее вычисления имеет вид:          

                                                          (6.14)

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

 

Замечание 2. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [a, b], то интегралы в формулах и      вычисляются в этих пределах.

Пример. Плотность  распределения случайной величины Х имеет вид:                               

 

Найти М(Х), D(X), σ.

Решение.

 
  

 

Числовые  характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные  законы распределения.

1. Биномиальное  распределение.

Для дискретной случайной  величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М(Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х₁ – число появлений А в первом испытании, Х₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Xi	0	1
pi	q	p

 

 Следовательно, М(Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом  вычислим дисперсию: D(X_i) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии

2. Закон Пуассона.

Если р(Х = т) = , то М(Х) =  (использовалось разложение в ряд Тейлора функции е^х).

Для определения  дисперсии найдем вначале М(Х²) =

=

Поэтому D(X) = a² + a – a² = a.

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).

3. Равномерное распределение.

Для равномерно распределенной на отрезке [a, b]  непрерывной случайной величины  то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка  [a, b] .

Дисперсия

.

4. Нормальное распределение.

Для вычисления математического  ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся  тем, что интеграл Пуассона .

( первое слагаемое равно 0, так  как подынтегральная функция  нечетна, а пределы интегрирования  симметричны относительно нуля).

.

Следовательно, параметры  нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.

 

Числовые характеристики статистического распределения.

 

Одна из задач  математической статистики: по имеющейся  выборке оценить значения числовых характеристик исследуемой случайной  величины.

Определение 7.1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:                   

  ,                         (7.1)

где x_i – варианты, n_i - частоты.

Замечание. Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. В дальнейшем будет рассмотрен вопрос, насколько точной является такая оценка.

Определение 7.2. Выборочной дисперсией называется

,                                       (7.2)

а выборочным средним квадратическим отклонением –

                                                                            (7.3)

Так же, как в  теории случайных величин, можно  доказать, что справедлива следующая  формула для вычисления выборочной дисперсии:

.                                                                    (7.4)

Пример 1. Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом

xi	2	5	7	8
ni	3	8	7	2

 
Другими характеристиками вариационного  ряда являются:

- мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту (в предыдущем примере М₀ =  5 ).

- медиана т_е -  варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно ( n = 2k + 1 ), то m_e = x_k+1, а при четном n =2k . В частности, в примере 1 

Оценки начальных  и центральных моментов (так называемые эмпирические моменты) определяются аналогично соответствующим теоретическим  моментам:

- начальным эмпирическим моментом порядка k называется

.                                                                       (7.5)

В частности, , то есть начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочному среднему.

- центральным эмпирическим моментом порядка k называется

.                                                            (7.6)

В частности, , то есть центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.                  

  Статистическое описание и вычисление характеристик                                      

 двумерного  случайного вектора.

При статистическом исследовании двумерных случайных  величин основной задачей является обычно выявление связи между  составляющими.

Двумерная выборка  представляет собой набор значений случайного вектора: (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_п, у_п). Для нее можно определить выборочные средние составляющих:    и соответствующие выборочные дисперсии и средние квадратические отклонения. Кроме того, можно вычислить условные средние: - среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х = х, и  - среднее значение наблюдавшихся значений Х, соответствующих Y = y.

Если существует зависимость между составляющими  двумерной случайной величины, она  может иметь разный вид: функциональная зависимость, если каждому возможному значению Х соответствует одно значение Y, и статистическая, при которой изменение одной величины приводит к изменению распределения другой. Если при этом в результате изменения одной величины меняется среднее значение другой, то статистическую зависимость между ними называют корреляционной.

 

Моделирование случайных величин  методом Монте-Карло (статистических испытаний).

 

Задачу, для решения  которой применяется метод Монте-Карло, можно сформулировать так: требуется  найти значение а изучаемой случайной величины. Для его определения выбирается случайная величина Х, математическое ожидание которой равно а, и для выборки из п значений Х, полученных в п испытаниях, вычисляется выборочное среднее:                      

                               ,

которое принимается  в качестве оценки искомого числа а:                                                  

                  

Этот метод требует  проведения большого числа испытаний, поэтому его иначе называют методом статистических испытаний. Теория метода Монте-Карло исследует, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения, как уменьшить дисперсию используемых случайных величин, чтобы погрешность при замене а на а* была возможно меньшей.   

 Поиск возможных  значений Х называют разыгрыванием  случайной величины. Рассмотрим некоторые способы разыгрывания случайных величин и выясним, как оценить допускаемую при этом ошибку. 

 

Оценка  погрешности метода Монте-Карло.

Если поставить  задачу определения верхней границы  допускаемой ошибки с заданной доверительной  вероятностью g, то есть поиска числа d, для которого