Понятие величины и её измерения в начальном курсе математики

Для того, чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной, то есть поняли, что в результате измерения они получают число, которое  можно складывать и вычитать, полезно  в качестве наглядного пособия для  сложения и вычитания использовать ту же линейку. Например, ученикам даётся полоска; требуется с помощью  линейки определить её длину. Линейка  прикладывается так, чтобы 0 совпал с  началом полоски, а её конец совпал с цифрой 3 (если длина полоски  равна 3 см). Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить линейку  так, чтобы начало полоски совпало  с числом 2, с каким числом на линейке  совпадёт тогда конец полоски. Почему?». Некоторые учащиеся сразу называет число 5, объясняя, что 2+3=5. Тот, кто затрудняется, прибегает к практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений. Возможны аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие - вычитание. Для этого ученики сначала  определяют длину предложенной полоски, например, 4см, а затем учитель  спрашивает: «Если конец полоски  совпадает с числом 9 на линейке, то с каким числом совпадёт начало полоски?»(5; 9-2=5). Для формирования измерительных  навыков включается система разнообразных  упражнений. Это измерение и черчение отрезков; сравнение отрезков, чтобы  ответить на вопрос: на сколько сантиметров  один отрезок длиннее (короче)  другого отрезка; увеличение и уменьшение отрезков на несколько сантиметров. В процессе этих упражнений у учащихся формируется понятие длины как числа сантиметров, которые укладываются в данном отрезке. Позднее, при изучении нумерации чисел в пределах 100, вводятся новые единицы измерения - дециметр, а затем метр. Работа проходит в таком же плане, как и при знакомстве с сантиметром. Затем устанавливают отношения между единицами измерения. С этого времени приступают к сравнению длин на основе сравнения соответствующих отрезков.

Далее рассматривают преобразования величин: замену крупных единиц мелкими (3дм 5см = 35см) и мелких единиц крупными (45см = 4дм 5см).

Введение  миллиметра обосновывается необходимостью измерять отрезки меньшие 1 сантиметра.

При знакомстве с километром полезно  провести практические тяготы на местности, чтобы сформировать представление  об этой единице измерения.

В 3-4  классе учащиеся составляют и заучивают таблицу всех изученных единиц длины и их отношений.

Начиная со 2 (1-3)  класса дети в процессе решения задач знакомятся с нахождением длины косвенным путём. Например, зная длину данного класса и количество классов на втором этаже, вычисляет длину школы; зная высоту комнат и количество этажей в доме, можно приблизительно

вычислить высоту дома и тому подобное.

Работу  над этой темой можно продолжить на внеклассных занятиях, например, рассмотреть старинные русские  меры: верста, сажень, вершок. Познакомить  учащихся с некоторыми сведениями из истории развития системы мер.

Методика изучения площади и  её измерение.

В методике работы над площадью фигуры имеется  много общего с работой над   длиной отрезка, то есть  работа проводится почти аналогично.

Знакомство  учащихся с понятием «площадь фигуры»  начинается с уточнения представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое  свойство объектов, как размер, выражая  его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их размерами.

Используя эти представления, можно познакомить  детей с понятием «площадь» выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в  другой.

«В  этом случае, - говорит учитель, - в  математике принято говорить, что  площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры». Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны  или совпадают. Этот вывод ученики  могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда  одна из фигур не помещается полностью  в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат (Рис.8). После  безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков (рис.9).

Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так  же как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой.

Возникает вопрос: какая фигура может быть использована, в качестве мерки для  сравнения площадей? 

Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади квадрата M – M , или  прямоугольник, равный половине площади  квадрата М – М  или 1/4площади квадрата M. Это может быть квадрат M  или треугольник М. (рис.10).

Учащиеся  укладывают в прямоугольники различные  мерки и подсчитывают их число  в каждом.

Так пользуясь меркой M1, они получают 20М1 и 10МГ. Измерение меркой М2 даёт 40М2 и 36М2. Использование мерки M3 - 20МЗ и 18МЗ. Измеряя прямоугольники меркой М4, получаем  40М4 и 36М4.

В заключении учитель может предложить измерить площадь одного прямоугольника меркой M1, а площадь другого прямоугольника (квадрата) меркой М2.

В результате выясняется, что площадь прямоугольника равна 20, а площадь квадрата 36.

«Как  же так, - говорит учитель, - получается, что в прямоугольнике уложилось  мерок меньше, чем в квадрате? Может быть вывод, который мы сделали  раньше, о том, что площадь квадрата больше площади прямоугольника, неверен?»

Поставленный  вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для сравнения  площадей необходимо пользоваться единой меркой. Для осознания этого факта  учитель может предложить выложить на фланелеграфе разные фигуры из четырёх  квадратов или нарисовать их в  тетради, обозначая квадрат клеткой (рис.11). После того, как задание  выполнено, полезно выяснить;

• чем  построенные фигуры похожи? (они  состоят из четырёх        одинаковых квадратов).

• можно  ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы? (дети могут проверить  свой ответ, наложив квадраты одной  фигуры на квадраты других). 

Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади  данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратиками, получаем число 10, измеряя  прямоугольником, состоящим из двух квадратиков, получаем число 5. Если мерка  равна 1/2 квадратика, то получаем 29,если 1/4 квадратика, то получаем 40.(рис.12)

Дети  подмечают, что каждая следующая  мерка состоит из двух предыдущих, то есть, её площадь больше площади  предыдущей мерки в 2 раза.

Отсюда  вывод, во сколько раз увеличилась  площадь мерки, во столько же раз  увеличилось численное значение площади данной фигуры.

С этой целью можно предложить детям  такую ситуацию. Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры (фигура предварительно чертится в  тетрадях или на листочках). В результате каждый ученик получил в ответе первый - 8, второй - 4, а третий -2.Учащиеся догадываются, что результат зависит от той мерки, которой пользовались ученики при измерении. Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади -1 см (квадрат со стороной 1см). Модель 1см вырезается из плотной бумаги. С помощью этой модели измеряются площади различных фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры, значит узнать сколько квадратных сантиметров она содержит.

Измеряя площадь фигуры с помощью модели, школьники убеждаются в том, что  укладывать 1см в фигуре неудобно и  занимает много времени. Гораздо  удобнее использовать прозрачную пластину, на которую нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой. Учитель знакомит с правилами  пользования палеткой.  Она накладывается на произвольную фигуру. Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а). Затем  подсчитывается  число  неполных  квадратных сантиметров (пусть оно равно b) делится на 2.(а+b):2. Площадь фигуры приблизительно равна (а+b):2см. Наложив палетку на прямоугольник дети легко находят его площадь. Для этого подсчитывают число квадратных сантиметров в одном ряду потом считают число рядов и перемножают полученные числа: а b (см). Измеряя линейкой длину и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание на то, что число квадратов, которые укладываются по длине, давно численному значению длины прямоугольника, а число строк совпадает с числовым значением ширины.

После того, как учащиеся убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и  ширину и перемножить эти числа. Впоследствии правило формулируется  более кратко: площадь прямоугольника равна его длине умноженной на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.

В тоже время учащиеся приступают к сопоставлению  площади и периметра многоугольников  с тем, чтобы дети не смешивали  эти понятия, а в дальнейшем чётко  различали способы нахождения площади  и периметра многоугольников. Выполняя практические упражнения с геометрическими  фигурами,   дети   подсчитывают   число   квадратных сантиметров и тут же вычисляют периметр многоугольника в сантиметрах.

Наряду  с решением задач на нахождение площади  прямоугольника по данным длине и  ширине, решают обратные задачи на нахождение одной из сторон, по данным площади  и другой стороне.

Площадь - это произведение чисел, полученных при измерении длины и ширины прямоугольника, значит, нахождение одной  из сторон прямоугольника сводится к  нахождению  неизвестного  множителя  по  известным произведению и множителю. Например, площадь садового участка 100м, длина участка 25м. Какова его ширина? (100:25=4)

Кроме простых задач, решаются и составные  задачи, в которых наряду с площадью включается и периметр. Например: «Огород  имеет форму квадрата, периметр которого 320 м. Чему равна площадь огорода? 

1) 320:4=80(м)- длина огорода; 2) 80*80=1600(м)- площадь  огорода. Объём фигуры и его измерение.

Программа по математике предусматривает наряду с рассмотренными величинами знакомство с объёмом и его измерением с помощью литра. Так же рассматривается  объём пространственных геометрических фигур и изучаются такие единицы  измерения объёма, как кубический сантиметр и кубический дециметр, а так же их соотношения. Методика изучения времени и его измерения. Время является самой трудной  для изучения величиной. Временные  представления у детей развиваются  медленно в процессе длительных наблюдений, накопления жизненного опыта, изучения других величин.

Временные представления у первоклассников  формируются прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря  природы, восприятие последовательности событий при чтении сказок, рассказов, при просмотре кинофильмов, ежедневная запись в тетрадях даты работы - всё  это помогает ребёнку увидеть  и осознать изменения времени, почувствовать  течение времени.

Начиная с первого класса, необходимо приступать к сравнению знакомых, часто встречающихся  в опыте детей временных промежутков. Например, что длится дольше: урок или  перемена, учебная четверть или зимние каникулы; что короче учебный день ученика в школе или рабочий  день родителей? Такие задания способствуют развитию чувства времени. В процессе решения задач, связанных с понятием разности, дети приступают к сравнению  возраста людей и постепенно овладевают важными понятиями: старше - моложе - одинаковые по возрасту. Например, «Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату?» «Мише 10 лет, а сестра моложе его на 3 года. Сколько  лет сестре?» (М1М «1-3», стр. 68,М2,13-соответственно,1994 г) «Свете 7 лет, а её брату 9 лет. Сколько  лет будет каждому из них через 3 года?» 

- на  осознание течения времени (М1М  «1-3».стр.84,№2,1994 г). Знакомство с единицами  времени способствует уточнению  временных представлений детей.  Знание количественных отношений  единиц времени помогает сравнивать  и оценивать по продолжительности  промежутки времени, выраженные  в тех или иных единицах.

С помощью  календаря учащиеся решают задачи на нахождение продолжительности события. Например, сколько дней длятся весенние каникулы? Сколько месяцев длятся летние каникулы? Учитель называет начало и конец каникул, и учащиеся подсчитывают число дней и месяцев  по календарю. Надо показать, как быстро подсчитать» число дней, зная, что  в неделе 7 дней. Аналогично решаются обратные задачи.

Единицы времени, с которыми знакомятся дети в начальной школе: неделя, месяц, год, век, сутки, час, минута, секунда.

Усвоению  отношений между единицами времени  помогает таблица мер, которую следует  повесить в классе на некоторое время, а так жесистематические упражнения в преобразовании величин, выраженных в единицах времени, их сравнении, нахождении различных долей любой единицы  времени, решение задач на вычисление времени.

В 3 (1-3) классе рассматривают простейшие случаи сложения и вычитания величин, выраженных в единицах времени. Не обходимые  преобразования единиц времени здесь  выполняют попутно, без предварительной  замены заданных величин.  Чтобы  предупредить ошибки  в вычислениях, которые намного сложнее, чем вычисления с величинами, выраженными в единицах длины и массы, рекомендуется давать вычисления в сопоставлении:

30мин  45сек - 20мин58 сек;

30м  45см - 20м 58см;

30ц  45кг - 20ц 58кг;

Для развития временных представлений  используется решение задач на вычисление продолжительности событий, его  начала и конца.