Модели геометрии Лобачевского

Содержание

 

Введение 

Глава I. История создания геометрии Лобачевского

1.1 История создания геометрии Лобачевского

1.2  Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

1.3 Приложения геометрии Лобачевского

Глава II. Модели геометрии Лобачевского

2.1 Модель (интерпретация) Бельтрами

2.2 Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского

2.3 Модели Пуанкаре

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Открытие того, что  евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий естественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дарвина. Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.

Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется  необозримое множество таких  геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей  работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойственная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными. В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел. С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Целью данной работы является геометрия Лобачевского. В курсовой работе рассматриваются основные понятия  геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии и показываются различные приложения геометрии Лобачевского. Особое внимание уделяется моделям (интерпретациям) данной геометрии, подробно рассмотрены модели Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре.

Глава I. История создания геометрии Лобачевского

 

1.1 История  создания геометрии Лобачевского.

Пятый постулат Евклида

 

В развитии Геометрия  можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый — период зарождения геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.

 Третий период выделяют  с 1-й половины XVIIв Р.Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856г) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 г. до н. э.), но с заменой его пятого постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый пятый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой». [2]

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи (1802-1860г), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832 год) и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855г), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и  широкое распространение геометрия  Лобачевского получила через 12 лет  после его смерти, когда стало  понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.

Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

Окончательно это стало  ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900г) в своём труде «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R³ на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.

Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925г) опираясь на исследования Эудженио Бельтрами и французский математик

Анри Пуанкаре (1854-1912г) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

Итогом такого неевклидового  подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866г) римановой геометрии, развившей математическое учение о пространстве, понятие дифференциала расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне. Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.

Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии были использованы гиперболические функции

,

введенные в XVIII веке итальянским математиком Винценто Рикатти, где - число, введённое Джоном Непером (1550-1617).

Таким образом, геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского — это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем — расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется

 

пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в  нахождении моделей плоскости и  пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского.[1]

 

1.2 Основные  понятия геометрии Лобачевского. Некоторые 

теоремы геометрии  Лобачевского

 

1. Основные понятия геометрии Лобачевского

В евклидовой геометрии  согласно пятому постулату на плоскости  через точку Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В называется параллелью к А'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающейся прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых PQ A'A и PB PQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А.

 

Непересекающиеся прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающиеся прямые от непересекающихся и сами являются тоже непересекающимися. Эти граничные  

прямые называются параллелями в точке Р к прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: T'Т параллельно А 'А в направлении A'A, a UU' параллельно А 'А в направлении А А'. Остальные непересекающиеся прямые называются расходящимися прямыми с А 'А.

Угол  , 0< < /2, параллель к точке Р образует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU' = , называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол = /2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каждого заданного , 0< < /2, существует определенное значение а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского:

П (a)=2arctg ( ),

где к — некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной к.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся  прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные  прямые. На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а||b и с||b в одном  
направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении — неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся  прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три  типа пучков прямых, каждый из которых  покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода — множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода — множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода — множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия, или орицикл, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,— концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния х между дугами:

 

s' / s=e

.

 

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория — база, остальные — эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории — предельные линии).

Вращение аналогов окружностей  вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере, или предельной поверхности.