Модели геометрии Лобачевского

Теорема 1. В модели Клейна прямыми являются хорды круга.

Доказательство. Нужно доказать, что р(а,c) + р(c,b) > р(а,b), причем если точка с не лежит на отрезке (a,b), то р(а, с) + р(c,b) > р(а,b). Пусть лучи ab и ba пересекают окружность в точках х и у соответственно, лучи ас и cа в точках х и y , лучи cb и bc в точках х и у (рис. 11). Тогда точка x' пересечения хорд х х и ху лежит на отрезке xb, а точка у пересечения хорд

y у и ху лежит на отрезке ау. Пусть р - точка пересечения прямых х х и y у , c' - точка пересечения прямых рc и ху. Точка c' лежит на отрезке ab.

 

 

Двойное отношение сохраняется  при проекции одной прямой па другую. Поэтому

 

[а, c, х , y ] = [а, c,'.х', у']

[с, b, х , y ] = [c', b, х', у']

 

(мы рассматриваем  проекции из точки р на прямую ху).

 

Покажем, что [а, c,'.х', у'] > [а, c', .х, у] и [c', b, х', у'] > [c', b, .х, у]. Иными словами, нужно доказать, что если точки а, b, .х, у расположены в таком порядке, как на рис. 10. то увеличение отрезка ху приводит к уменьшению двойного отношения [а, b, .х, у ]. Будем считать положительным направление луча ух. Тогда для увеличения отрезка ху к координате точки х нужно добавить положительное число . Второй конец отрезка оставим пока па месте. Двойное отношение при этом уменьшится, так как

 

Для второго конца  отрезка доказательство аналогично.

 

 

В результате получаем неравенства

[а, c, х , y ] = [а, c,'.х, у]

[с, b, х , y ] = [c', b, х, у]

 

Следовательно,

 

[а, c, х , y ][с, b, х , y ]>[а, c,'.х, у] [c', b, х, у]=[a, b, x, y], т.е

p(a,c) + p(c,b) > p(a,b).

 

Геометрия Лобачевского, как и сферическая геометрия  и геометрия плоскости, имеет  достаточно большую группу изометрий, а именно, любую точку А можно перевести в любую другую точку В и при этом перевести любую прямую, проходящую через точку А, в любую прямую, проходящую через точку В. Чтобы доказать это, достаточно проверить, что существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит внутреннюю точку А в любую другую внутреннюю точку В. В самом деле, такое преобразование является изометрией. А для того, чтобы перевести любую прямую в любую другую прямую, можно точку А перевести в центр О круга, а затем точку О перевести в точку В. При этом любую прямую, проходящую через точку О, можно поворотом перевести в любую другую прямую, проходящую через точку О.

Теорема 2. Существует преобразование плоскости, которое сохраняет двойное отношение, переводит данный круг в себя и переводит его центр в произвольную внутреннюю точку.

Доказательство. Рассмотрим прямой круговой конус с вершиной S. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, является окружностью с диаметром PQ и центром О. Рассмотрим также сечение конуса плоскостью, проходящей через точку О и перпендикулярной  

плоскости SPQ (конус мы считаем бесконечным в одну сторону). Если точка Q принадлежит интервалу QR (рис. 12), то рассматриваемое сечение является эллипсом.

 

 

На плоскости П', содержащей этот эллипс, и на плоскости П, содержащей окружность с диаметром PQ, можно ввести координаты так, что окружность и эллипс совпадут при отождествлении точек с одинаковыми координатами. При этом в качестве начала координат мы выберем соответственно центр эллипса и центр окружности, а в качестве оси Ох выберем прямые P'Q' и PQ. Тогда точка О, лежащая внутри эллипса, отождествляется с такой точкой O круга, что Р'О : OQ' = PO : O Q.

При перемещении точки Q' по отрезку QR отношение Р'О : OQ изменяется от 1 до . Поэтому точка O может быть любой точкой, лежащей внутри отрезка OQ.

Искомым преобразованием  является композиция отображений f : П П и g : П П где f - проекция из точки S, а g - отождествление точек с одинаковыми координатами. [8]

 

 

 

2.3 Модели Пуанкаре

 

Конформно-евклидова модель Пуанкаре — модель пространства Лобачевского, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели — в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (т. е. модель Пуанкаре конформна) в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

1. Модель  Пуанкаре в круге

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (рис.14) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

 

Выясним, как устроены прямые в модели Пуанкаре. Хорде АВ соответствует сечение южной полусферы плоскостью, перпендикулярной экватору. Это сечение представляет собой полуокружность, перпендикулярную экваториальной окружности (рис. 13). При проекции из

полюса на экваториальную плоскость эта полуокружность переходит  в дугу окружности, перпендикулярной экваториальной окружности. Таким образом, для модели Пуанкаре в круге прямыми являются дуги окружностей перпендикулярных граничной окружности данного круга.

Для модели Пуанкаре данный круг удобно считать единичным кругом на комплексной плоскости.

Для точек комплексной  плоскости, как и для точек вещественной прямой, можно рассмотреть двойное отношение

 

[z ,z ,z ,z ]=

 

В этом случае двойное  отношение является, вообще говоря, комплексным числом.

Нетрудно убедиться, что если точки Z и W лежат на хорде АB, a Z и W - соответствующие точки модели Пуанкаре, то

 

|[А, В, Z, W]| =|[А,В, Z , W ]|².

 

В самом деле, стереографическая  проекция является ограничением пространственной инверсии, поэтому она сохраняет двойное отношение. Кроме того,

 

AZ : ZB = = AC : BC

 

Таким образом, |lп[А, В, Z,W]| = 2|ln |[А, В, Z',W']||.

 

p(Z,W) =|lп[А, В, Z,W]|. Поэтому

p(Z', W') = 2| ln |[А, В, Z', W]||.

По аналогии с бесконечным  семейством различных сферических  геометрии (для разных радиусов R мы получаем разные геометрии) можно получить бесконечное семейство геометрий Лобачевского, положив p(Z, W) = |lп[A, В, Z, W]|. Роль параметра с в геометрии Лобачевского во многом аналогична роли радиуса R в сферической геометрии.

Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: , где x и y — оси абсцисс и ординат, соответственно.

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.[6]

2. Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве

В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (т. е. ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (т. е. вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Эта модель геометрии Лобачевского получается, отображением единичного круга на верхнюю полуплоскость Н = {х + iу | у > 0} с помощью дробно линейного отображения. Для этой цели годится, например, отображение .

В самом деле, , поэтому

Дробно линейные преобразования переводят прямые и окружности в  прямые и окружности. Кроме того, они сохраняют углы. Поэтому в верхней полуплоскости Н гиперболическими прямыми являются вертикальные лучи и полуокружности, центры которых лежат на действительной оси.

Дробно линейные отображения  сохраняют двойное отношение, поэтому  расстояние между точками в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости  определяется следующим образом. Пусть  гиперболическая прямая АВ подходит к вещественной оси в точках X и Y (рис. 15). Тогда

 

р(А,В) =с|ln[A, B, X, Y]|.

 

В том случае, когда  гиперболическая прямая является евклидовым лучом, положим Y = т. е.  . Для положительного луча мнимой оси формула для вычисления гиперболического расстояния принимает особенно простой вид: p(ia, ib) = c|ln(a/b)|.[8]

 

Выясним теперь, как устроены движения плоскости Лобачевского. Любое  дробно-линейное преобразование, сохраняющее  верхнюю полуплоскость Н, является движением плоскости Лобачевского. Пусть а, b, c, d . Легко проверить, что отображения , где ad — bc > 0, и , где ad — bc < 0, сохраняют верхнюю полуплоскость. В самом деле,

 

Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид: .

Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.[6]

Введение тех или  иных координат позволяет получать различные аналитические модели плоскости Лобачевского. А. Пуанкаре была предложена (1887 год) модель геометрии  Лобачевского как геометрии плоских диаметральных сечений на одной из полостей двуполостного гиперболоида, которую можно трактовать и как геометрию сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве. Указанные модели обобщаются на случай n-мерного пространства.[5]

 

 

Заключение

 

Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.

Источником геометрии  Лобачевского послужил вопрос об аксиоме  о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении  с другими, вызвал попытки дать его  доказательство на основании остальных  постулатов.

Главная особенность  нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в  развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в  соответствующем обобщении предмета геометрия; возникает понятие о  разного рода «пространствах». При  этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрии и другие, предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так, создавалась, например, многомерная Геометрия, первые относящиеся к ней работы (Геометрия Грасман и А. Кэли, 1844 год) представляли формальное обобщение обычной аналитической геометрии с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

 

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Александров П.С. Что такое неевклидова геометрия. М., 1950.
2. Иовлев Н.Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. М., 1930.
3. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки. М., 1955.
4. Клейн Ф.К. Неевклидова геометрия. М.-Л., 1936.
5. Математическая энциклопедия в 5 томах. Т 3. М., 1975.
6. Погорелов А.В. Основания геометрии. М., 1968.
7. Подаева Н.Г., Жук Д.А. Лекции по основам геометрии. Елец, 2005.
8. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М., 2004
9. Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. М., 1957.
10. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. М., 1955.
11. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Т. II. М., 1956.