Модели геометрии Лобачевского

На сфере геометрия  больших окружностей — обычная  сферическая геометрия; на поверхности  равных расстояний — геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности — евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами  дуг и хорд предельных линий и  евклидовы тригонометрические соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические формулы для прямолинейных треугольников. [5]

2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

 

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN+ В = d имеем:

 

А + В < d; (1)

 

поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

 

 

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной  из высот на два прямоугольных  треугольника. Сумма острых углов  этих прямоугольных треугольников  равна сумме углов данного  косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1), заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.

Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.

Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте  в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М, другая — в виде

евклидовой полуокружности q с центром на и, причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

 

 

Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.

. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).

Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

 

 

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим  соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВ С и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка C не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВСС В равна 4d, что невозможно в силу теоремы 2.

 

 

 

6) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и B C Так как C =  

C' и C' = С , то C= С , что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CC D.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку  сделанное допущение привело  к противоречию.

Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного  данному треугольнику, но не равного  ему. [9]

 

1.3 Приложения  геометрии Лобачевского

 

Н.И. Лобачевский уже в первой работе по геометрии Лобачевского показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.

Н. И. Лобачевский применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы  координат к другой в своем  пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А. Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.

Значение геометрии  Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фриманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Это заключение впоследствии было подтверждено наблюдениями Э. Хаббла, обнаружившего разбегание удаленных туманностей. Метрика, найденная А.А.Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского.

Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке других вопросов ядерных исследований.

Зрительное (перцептивное) восприятие близких областей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.

Создание геометрии  Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

 x + y + z = c t

при делении на t , даёт

 vx + vy + vz = c — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. [11]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II.   Модели геометрии Лобачевского

 

Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) модели (интерпретации) плоскости Лобачевского, имеющую гауссову кривизну K = - 1:

• интерпретация Бельтрами в круге;
• интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере;
• евклидова модель Кэли-Клейна;
• проективная модель Кэли Клейна;
• интерпретация Пуанкаре на полуплоскости;
• интерпретация Пуанкаре внутри круга;
• интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде.

Рассмотрим некоторые  из них.

 

2.1 Модель (интерпретация) Бельтрами

 

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского проводится с помощью построения интерпретации (модели). Первой такой интерпретацией явилась интерпретация Бельтрами, где установлено, что в евклидовом пространстве внутренняя геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально совпадает с геометрией Лобачевского (роль прямых играют геодезические линии поверхности). Поверхность такого типа называется псевдосферой.

В 1868 году Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского реализуется  на псевдосфере.

Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической, т.к. гипербола обладает на проективной плоскости с фиксированной прямой d₀ двумя несобственными точками и двумя асимптотами (касательными к овальной кривой в несобственных точках).

Прямая в плоскости Лобачевского также обладает двумя несобственными точками, в которых она пересекается с абсолютом.

 

 

Одну из поверхностей, на которой выполняется геометрия  Лобачевского, можно получить вращением  трактрисы вокруг оси абсцисс. Это  так называемая псевдосфера - поверхность отрицательной кривизны в евклидовом пространстве, на которой локально реализуется геометрия плоскости Лобачевского (рис. 8).

Трактриса - это кривая, длина касательной к которой  постоянна (т.е. отрезок от точки  касания до оси абсцисс есть константа. (puс. 9)

 

 

Псевдосфера - поверхность вращения в виде двух сложенных.

Прямой линией считаем  гидезическую линию - т.е. линию кратчайшего  расстояния между точками. Бельтрами  показал, что на псевдосфере реализуется  часть площади Лобачевского. Псевдосфера - поверхность постоянной отрицательной кривизны (т.е. гиперболическая форма), т.к.  

сумма углов треугольника на ней меньше 2d. Сфера - поверхность  положительной постоянной кривизны (сумма углов треугольника больше 2d). Эллиптическое пространство - положительная кривизна. Евклидово пространство имеет нулевую кривизну.[7]

 

2.2 Модель Кэли  – Клейна плоскости Лобачевского

 

Модель Кэли – Клейна — первая модель всей плоскости Лобачевского. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Чтобы перейти к построению одной из моделей геометрии Лобачевского покажем, как с помощью двойного отношения можно определить «расстояние» между точками а и b интервала (x,у). Положим

 

.

 

Легко проверить, что  такое определение имеет смысл, т. е.

 

 

В самом деле, х—а < 0, х—b < 0, у—а > 0, у—b > 0. Ясно также, что р(а,а) = 0 и р{а,b) при и при . Кроме того. р(а,b) = р(b,а,. так как

.

Отметим, что ln[a,b,x,y] = - ln[a,b,x,y], поэтому нет необходимости различать точки х и у, т. е. задавать ориентацию интервала (х,у). Из тождества

 

следует, что ± р(а,b) ± р(b,с) ± р(с,а) = 0. Более тщательная проверка показывает, что если точка с лежит между а и b, то р(а, с) + р(с,b) = р(а,b).

Расстояние р(а,b) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал (х, у).

Определим модель Клейна плоскости Лобачевского. Точками модели Клейна являются внутренние точки некоторого круга. Расстояние между точками а и b определяется как р(а,b) для интервала (х,у), где х и у точки пересечения прямой ab с граничной окружностью данного круга. Если точки расположены в таком порядке, как на рис. 10, то ln[a,b,x,y] > 0. т. е. р(а,b) = ln[a,b,x,y] .