Основные понятия сферической геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный  гуманитарный университет»

 

 

 

Институт Математики Физики и Информационных Технологий

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

«Основные понятия сферической  геометрии»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка  3 курса 232 группы

Орехова М.П.

 

Проверил:

к.ф.-м.н., доцент

Тимошенко Т.А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск 2011

Содержание:

 

Введение…………………………………………………………………………2

Историческая  справка…………………………………………………………..3

ГЛАВА 1. Шар  и сфера…………………………………………………………7

1. Сфера, большая и малая окружности…………………………….7
2. Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере………9
3. Полюс и поляра…………………………………………………...11
4. Понятие движения………………………………………………..11
5. Угол на сфере……………………………………………………..13
6. Многоугольники на сфере……………………………………….16
7. Предмет сферической геометрии………………………………..19
8. Принцип двойственности………………………………………...19

ГЛАВА 2. Элементы сферической геометрии………………………………..21

              2.1 Полярные треугольники…………………………………………..21

              2.2 Равенство сферических треугольников………………………….23

              2.3 Равнобедренные сферические треугольники……………………25

              2.4 Площадь сферического треугольника…………………………...26

ГЛАВА 3. Тригонометрия  …………………………………………………….29

              3.1 Сферическая теорема косинусов…………………………………29

              3.2 Сферическая теорема синусов……………………………………33

              3.3 Формула пяти элементов…………………………………….........34

              3.4 Двойственная теорема косинусов………………………………...36

ГЛАВА 4. Применение сферической геометрии на практике……………….37

              4.1 Решение задач……………………………………………………...37

Заключение………………………………………………………………………41

Литература……………………………………………………………………….42

 

 

 

 

Введение

Еще древние  греки считали окружность (круг) и сферу (шар) идеальными формами. Подтверждение  этому можно наблюдать в природе: многие плоды и ягоды имеют  форму шара или близкую к ней, например арбуз, апельсин, смородина. Шаровидная форма используется в технике, например, в подшипниках. Во многих играх снаряд имеет форму шара: мяч в футболе, волейболе, гольфе, шар в  бильярде и др. Хорошо всем знакомый ёлочный  шарик — на самом деле сфера, так  как сделан из очень тонкого стекла и внутри пустой.

Форму шара имеет наша планета и  большинство космических тел. А  так как планеты, Солнце, Луна и  звёзды движутся по воображаемой «небесной  сфере», то естественно, для изучения их движения потребовалось знание геометрии  сферы.

При решении задач практического  характера и, в первую очередь, задач  астрономии возникла сферическая геометрия. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звёздам.

Сведения о сфере были необходимы и при решении сугубо земных задач  — вычислении географических координат, для составления географических карт, для нахождения курса корабля.

В настоящее время, существуют различные  науки, в основе которых лежит  сферическая геометрия.

Например, математическая картография изучает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Поскольку поверхность Земли (приблизительно сферическая) имеет конечную кривизну, её нельзя отобразить на плоскость с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей поверхностей. Можно сохранить только некоторые из этих соотношений. Важное понятие в математической картографии — картографическая проекция, то есть функция, задающая отображение географических координат точек на поверхности Земли на декартовы координаты на плоскости. Область картографии — составление и оформление карт.

Объектом исследования в моей курсовой является неевклидовая геометрия.

Целью является рассмотреть основные фигуры сферической геометрии и  их применение к решению задач.

Основными задачами является:

1. Изучить теоретические вопросы сферической геометрии;
2. Рассмотреть решение задач.

 

Историческая справка

Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова  геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения  геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур  и вместимости сосудов и амбаров  различной формы, т.е. объёмов различных  тел. Основным стимулом для возникновения  сферики было изучение звёздного  неба.

Наблюдение небесных светил производилось  ещё в Древнем Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления календаря. Вклад вавилонян в  развитии астрономии был более значителен: наблюдения затмений и звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. Древние греки познакомились  с вавилонской астрономией, по крайней  мере, в IV в. до н. э., когда первоначальные названия планет были заменены названиями планет по вавилонскому образцу, латинскими переводами которых являются общепринятые нами названия. Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции, как вавилонских астрономов, так и греческих геометров.

СферикаАвтолика. Первым античным математическим сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э. Предметом исследования этой книги является небесная сфера, рассматриваемая, однако, в весьма абстрактном виде. Книга Автолика состоит из 12 предложений. Определения относятся к равномерному движению. В предложении 1 доказывается, что если сфера равномерно движется вокруг оси, то все её точки, не лежащие на оси, описывают параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов перпендикулярны оси сферы. Под кругами здесь понимаются плоские фигуры, ограниченные окружностями, а под выражением «точка описывает круг» понимается то, что точка пробегает окружность круга.

Доказательства большинства предложений  этого трактата основаны на применении движения: предполагается, что утверждение  предложения неверно, производится поворот сферы и обнаруживается, что предложение противоречит тому, что получилось в результате поворота сферы.

Сферика Феодосия. Первое дошедшее до нас систематическое изложение сферической геометрии содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I вв. до н. э. «Сферика» Феодосия состоит из трёх книг, в первой из которых шесть определений и 23 предложения, во второй – одно определение и 23 предложения, в третьей – 14 предложений.

Определение Феодосия: «Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая, что все прямые, падающие на неё из одной точки внутри фигуры, равны между собой».

Большинство предложений «Сферики»  Феодосия – стереометрические теоремы  и задачи на построение. Когда Феодосий говорит о пересечении кругов на сфере под некоторым углом  или о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под данным углом или параллельность их плоскостей; когда он говорит о рассечении кругами на сфере друг друга пополам, он имеет в виду рассечение пополам плоских фигур.

Наряду со стереометрическими предложениями, сформулированные в терминах геометрии  на поверхности сферы. Например, предложения 20-21 из I книги – задача о построении большого круга на сфере, проходящего  через две точки ее поверхности, и задача о построении полюса данного  круга на сфере.

СферикаМенелая.Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О сфере» Менелая, жившего в конце I в. н. э. Сочинение Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках, лучшими из которых являются обработки Абу Насра ибн Ирака и Насир ад-Дина ат-Туси. «СферикаМенелая состоит из трёх книг, содержащих соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении к книге I Менелай даёт определение сферического треугольника («трёхсторонней фигуры»), т.е. части поверхности, ограниченной тремя дугами больших кругов, меньшими полукругами, и углов сферического треугольника. Если большинство предложений «Сферики» Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой по аналогии с планиметрией Евклида. Например, предложение 1 книги I – задача о проведении дуги большого круга под данным углом к данной дуге большого круга; предложения 2 и 3 книги I – теорема о равенстве углов при основании равнобедренного сферического треугольника и обратная ей. Из предложений, не совпадающих с предложениями планиметрии, отметим предложения 10 и 11, из которых вытекает, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов.

Теоремы Менелая: Особую роль в истории  сферической геометрии и тригонометрии  сыграло предложение 1 книги III сочинения  Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический  случай теоремы, называемой в настоящее  время «теоремой Менелая» или  «теоремой о полномчетырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем  на поверхности сферы дуги больших  кругов так, чтобы проведённые к  двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг  меньше полуокружности; то же будем  предполагать и для всех таких  построений. Я утверждаю, что отношение  прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения  прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»

Фламандский математик Альберт Жирар (1595-1632) первым выразил площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки, в статье «О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников,  открытой вновь», опубликованной в виде приложения к «Новому открытию вы алгебре».

Основные теоремы  сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема синусов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-диномат - Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

 

 

 

ГЛАВА 1. Шар и сфера

1. Сфера, большая и малая окружности

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий  центр сферы с какой-либо его  точкой, называется

радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки  сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость a, удалённую от точки O на расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости a и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого – радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

Рис. 1

Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной  плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

Так как через всякие три точки  пространства, не лежащие на одной  прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная диаметральная  плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.