Основные понятия сферической геометрии

Рис. 2                                               Рис. 3

Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5) изображены восемь областей ABC, ABC¢, AB¢C, A¢BC, AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C, A¢B¢C¢, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A¢,B¢,C¢ диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и A¢B¢C¢, ABC¢ и A¢B¢C, AB¢C и A¢BC¢, A¢BC и AB¢C¢ попарно диаметрально противоположны).

Рис. 4                                                 Рис. 5

Если первые два из этих свойств  аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области  прямой и на четыре области двумя  пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно  пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят  плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

Рис. 6

 

 

1.2 Сферический отрезок,  соединяющий две точки на сфере

Если две  точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через  центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости  со сферой есть большая окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий точки    А и  В, является единственным сферическим  отрезком, соединяющим точки А  и В.

Если  точки А и В диаметрально противоположны на сфере, существует бесконечное число  больших окружностей, проходящих через  эти две точки, причем эти две  точки делят каждую такую большую  окружность на две полуокружности, которые являются сферическими отрезками, соединяющими точки А и В (см. рис).

Рис.7

Сферический отрезок обладает замечательным  минимальным свойством (как и  отрезок на плоскости).

Теорема(минимальное свойство сферического отрезка):

Сферический отрезок, соединяющий  две точки на сфере, короче любой  другой линии на сфере, соединяющий  эти две точки (рис.8).

 

Рис.8

 

 

 

3. Полюс и поляра

Всякой  большой окружности соответствует  две диаметрально противоположные  точки сферы, высекаемые из нее диаметром, перпендикулярным к плоскости большой  окружности. Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли, являются ее географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность , для которой точки А и В   являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряженной с каждым из ее полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряженными, если радиусы OP и OQ перпендикулярны (О- центр сферы) (рис.9). Понятно, что все точки поляры удаленны от своего полюса на расстояние, равное (или квадранту).

 

Рис. 9

 

1.4 Понятие движения

Движением сферы называется такое преобразование сферы, при котором сохраняется расстояния между точками. Иными словами, преобразование j сферы является движением, если для любых точек А,В сферы расстояние между точками j(А) и j(В) равно расстоянию между точками А и В. Так как две точки А и В в том и только том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2R (где R – радиус сферы), то из определения движения непосредственно следует, что при любом движении сферы диаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что движение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.

  Рис. 10                         Рис. 11

В качестве примера движения сферы  укажем поворот сферывокруг некоторого ее диаметра СС' на угол a, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол a (рис.10). Другим примером движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости p, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость p перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис.11). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии.

 

1.5 Угол на сфере

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 12 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Рис. 12

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А  угла на сфере и пересекающую стороны  этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны  лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 12). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ÐВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны  одному и тому же углу ВОС, то эти  углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.13, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 13, б).

а)                                                                    б)

Рис. 13

Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.14), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.

Рис. 14

Так как при отражении от диаметральной  плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие  окружности, проходящие через эти  полюсы, при указанном отражении  переходят в себя (рис.15). Поэтому  углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

Рис. 15

Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей  точку, полярно сопряжённую точке  пересечения, мы получим такую точку, что проведённый в нее радиус сферы перпендикулярен диаметральной  плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.16), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

Рис. 16                                                   Рис. 17        

Отсюда следует, что большая  окружность, являющаяся полярой точки  пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна обеим большим  окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.17). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

 

1.6 Многоугольники на сфере

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу  на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая  область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника (рис 18,19).

 Рис. 18                                              Рис. 19

Сферический двуугольник — фигура, образованная двумя полуокружностями больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек (рис.20).

В отличие  от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трех- двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших  окружностей с общими концами; эти  общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

Рис. 20

Сферический треугольник (рис.21).  Среди всех сферических  многоугольников наибольший интерес  представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь  попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольника. Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.

Рис. 21

Многие  свойства сферического треугольника (а  оно одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью  повторяют свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или, например, три признака равенства  треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми  на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка,  будет и на сфере перпендикулярной  к нему прямой, проходящий  через его  середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные  общие точки являющиеся полюсами его единственной описанной окружности. В стереометрии это означает, что  около любого трехгранного угла можно  описать конус. Легко перенести  на сферу и теорему о том, что  биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности. Теоремы о пересечение высот  и медиан также остаются верными.

Сумма углов  всякого сферического треугольника всегда больше 180 . Разность (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

 

1.7 Предмет сферической геометрии

Сферическая геометрия изучает те свойства фигур  на сфере, которые сохраняются при  любых движениях сферы. Фигуры на сфере, которые могут быть переведены одна в другую некоторым движением  сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства равных фигур одинаковы.

а)                                                  б)

Рис. 22

Иногда  предмет сферической геометрии  определяется иначе. Именно вместо движений, определённых выше рассматриваются  только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга при движении, но не могут быть совмещены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют симметричными. Так, на рис. 22,а изображены равные фигуры, а на рис.22,.б – симметричные фигуры.