Основные понятия сферической геометрии

MN² = AN² + AM² – 2AN AM cosA.                                  (3)

Рис. 28

С другой стороны, углы ВОС, АОС и  АОВ, являющиеся центральными углами больших  окружностей сферы, опирающимися на дуги a, b, c, соответственно равны , и . Поэтому из треугольника OMN находим

MN² = OM² + ON² – 2OMONcos .                                 (4)

Сравнивая (3) и (4), получаем

OM² + ON² – 2OM ON cos = AN² + AM² – 2AN AM cosA.            (5)

Из  прямоугольного треугольника ОМА находим, что

OM² – AM² = OA²,    ,    ,                         (6)

а из прямоугольного треугольника ONA находим, что

ON² – AN² = OA²,    ,    ,                         (7)

В силу первых формул (6) и (7) равенство (5) можно переписать в виде

2OM ON cos

= 2OA² + 2AN AN AM cosA,

т.е.

OM ON cos = OA² + AN AM cosA.                                   (8)

Разделив (8) на произведение OMON, получим

или, в силу вторых и третьих равенств (6) и (7),

                              (9)

Если теперь сторона b больше , а сторона с меньше , то продолжим стороны а и b нашего треугольника до пересечения в точке С', диаметрально противоположной точке С (рис.29).Тогда в сферическом треугольнике АВС' стороны АС' и АВ, соответственно равные и с, меньше , а угол ВАС, смежный с углом А, равен p - А. Поэтому в силу формулы (9) для треугольника АВС'

,

т.е.

,

откуда  получаем формулу (9).

Рис. 29

Если, наконец, обе стороны b и с больше , то продолжим стороны b и с нашего треугольника до пересечения в точке А¢, диаметрально противоположной точке А (рис.30). Тогда в сферическом треугольнике А¢ВС стороны СА¢ и ВА¢, соответственно равные pr-b и pr-c, меньше , а ÐВА'С равен углу А. Поэтому с силу формулы (7) для треугольника А'ВС

,

откуда  непосредственно получаем формулу (9).

Рис.30

Формула (9) выражает сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в следующем виде: косинус стороны сферического треугольника равен сумме произведения косинусов двух других сторон и произведения синусов двух других сторон на косинус угла между ними.

Заменяя в формуле (9) обозначения  сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке, получаем две аналогичные формулы

(10)

и

(11)

 

3.2 Сферическая теорема синусов

Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригонометрии. Из формулы (9) вытекает равенство

.

Применяя  это равенство, вычислим отношение

.

Так как  полученное выражение симметрично  относительно сторон a,b,c, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон a,b,c и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, получаем три равные выражения:

                                           (12)

Эта формула  и выражает сферическую теорему синусов: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (12), в частности видно, что если в сферическом треугольнике имеет место соотношение , так что sinB=sinA, то в силу формулы (12) , т.е. либо a=b, либо . Но если a=b, то А=В и в соответствии с соотношением это даёт . Следовательно, С – полюс стороны АВ, и потому . Таким образом, соотношение справедливо и в этом случае. Итак, если , то стороны a и b связаны соотношением .

 

3.3 Формула пяти элементов

Одна  из формул пяти элементов:  произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла.

                          (13)

                          (14)

                          (15)

Меняя в  формуле (13) местами стороны а  и с и углы А и С, а затем  заменяя обозначения сторон a, b, c и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим ещё три аналогичные формулы:

                           (16)

                           (17)

                           (18)

Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригонометрии.

Заменяя в формуле (13) пропорциональными и величинами sinA, sinB и sinC, мы получим формулу

или

(19)

Мы получили формулу  пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сферического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла.

Заменяя в формуле (19) обозначения  сторон а, b, с и угловА, B, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные формулы:

(20)

(21)

Меняя в формуле (19) местами  стороны а и с и углы Aи C,а затем заменяя обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы:

                          (22)

                          (23)

                          (24)

Эти  формулы   не  имеют  аналогов  в  плоской  тригонометрии.

 

3.4 Двойственная теорема косинусов

Докажем теперь двойственную теорему косинусов, также не имеющую аналога в плоской тригонометрии. Подставим значение из равенства (22) в равенство (21). Получим

или

т.е.

или, после сокращения на sinC,

                                   (25)

Формула (25) выражает двойственную сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в виде: косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух других углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов двух других углов.

Заменяя в формуле (25) обозначения  сторон а, b, с и углов A, В, Св круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы:

                               (26)

                                (27)

Формулы (25), (26) и (27) двойственной теоремы  косинусов могут быть получены также соответственно из формул (9), (10) и (11) теоремы косинусов, если записать эти формулы для полярного треугольника и использовать соотношения между углами и сторонами двух взаимно полярных треугольников; этим и объясняется название этой теоремы.

Заметим, что при малых  значениях отношении  , и т. е. при очень малых длинах сторон а, b, ссферического треугольника или при очень большом радиусе сферы r, сферическая геометрия мало отличается от плоской геометрии и тригонометрические соотношения в сферическом треугольнике можно заменить тригонометрическими соотношениями в плоском треугольнике. И в самом деле, при малых значениях переменного х можно пренебречь высшими степенями этого переменного и, следовательно, можно заменить на x, а на или даже на 1. Но при такой замене, как легко проверить, сферические теоремы косинусов и синусов переходят в одноименные плоские теоремы, первые шесть формул пяти элементов переходят втеоремы проекций плоской тригонометрии, а вторые шесть формул пяти элементов и двойственная теорема косинусов, не имеющие аналогов  в  плоской  тригонометрии,  переходят  в  соотношение A+В+С = p.

 

 

 

 

 

ГЛАВА 4. Применение сферической  геометрии на практике

4.1 Решение задач

Задача 1:Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.

Решение:Рассмотрим трёхгранный угол. Известно, что в трёхгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью любого трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. Так как градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла, соотношение линейных углов в трёхгранном угле соответствует соотношению сторон в сферическом треугольнике, т.е. во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.

 

Задача 2:Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше p, а сумма трёх углов принадлежит интервалу (p;3p).

Решение:1) Для ∆А′В′С′ - полярного данному ∆АВС, имеем: а′ + b′ > с′ (по предыдущей задаче). Переходя от полярного треугольника к данному, получим:   π - ÐА + π - ÐВ > π - ÐС, откуда имеемÐА +ÐВ -ÐС <π

2) Площадь  сферического треугольника: S_∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r², так как S_∆АВС > 0, то ÐА+ÐВ+ÐС – π > 0 и, следовательно, ÐА+ÐВ+ÐС >  π.

 

Задача 3:Доказать, что в сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.

Решение: Пусть в ∆АВС,  ÐC>ÐB, построим CD так, что ÐАВС=ÐBCD,

тогда  ∆BCD – равнобедренный    и BD=CD, тогда    верно    неравенство:

AC<AD+DC=AD+DB=AB.

Задача 4:Найти площадь сферического треугольника, углы которого равны 90⁰, 60⁰ и 45⁰, если этот треугольник лежит на шаре, радиус которого равен 10 м.

Решение: Площадь сферического треугольника:S_∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r², тогда S_∆АВС=(90⁰+ 60⁰ + 45⁰ – 180⁰)10²=1500м².

 

Задача 5: Доказать, что медианы сферического треугольника (т.е. меньшие дуги больших окружностей, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пересекаются в одной точке.

Решение: Пусть АВС – данный сферический треугольник; AD, BE и CF- его медианы (см. рис.1), S – центр сферы.

 

Рис. 1

Так как  прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хорду ВС в точке D₀ пополам, так что D₀B=D₀C. Точно также прямые SE и SF проходят через середины E₀ и F₀ хорд АС и АВ. Прямые AD₀, BE₀ и CF₀ проходят, как медианы прямолинейного треугольника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD₀, BSE₀ и CSF₀ проходят через одну прямую d, а лежащие в этих плоскостях дуги АD, ВЕ и СF – через одну точку G.

 

Задача 6: Мореплаватель Кристофор Веспуччи проплыл 1800 миль в одном направлении из точки А к точке В, повернул на 60 градусов и проплыл в новом направлении еще 2700 миль, оказался в точке С. Требуется найти расстояние между точками А и С (по поверхности земного шара).

 

Решение:

Обозначим через a, b и с длины ВС, АС и АВ соответственно, y — внутренний угол при вершине В сферического треугольника АВС. Тогда

,

, где R — радиус земного шара, выраженный в морских милях.

 

 

По теореме косинусов для  сферического треугольника

По таблицам или с помощью  калькулятора находим, что 

 радиан.

Следовательно, длина дуги АС = b, b = R*0.90662 = 3437.4*0.90662 3116.7 миль.

 

Ответ: 3117 морских миль 5772 км.

 

 

Задача 7:Доказать, что медианы сферического треугольника (т.е. меньшие дуги больших окружностей, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пересекаются в одной точке.

Решение:  Пусть АВС – данный сферический треугольник; AD, BE и CF- его медианы (см. рис.),  S – центр сферы.

Так как  прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хорду ВС в точке D₀ пополам, так что D₀B=D₀C. Точно также прямые SE и SF проходят через середины E₀ и F₀ хорд АС и АВ. Прямые AD₀, BE₀ и CF₀ проходят, как медианы прямолинейного треугольника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD₀, BSE₀ и CSF₀ проходят через одну прямую d, а лежащие в этих плоскостях дуги АD, ВЕ и СF – через одну точку G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Изучая теорию по сферической геометрии  и рассматривая практические задачи, я пришла к выводу, что элементы сферы, т.е. геометрические образы на сфере, определяются иначе, чем те же фигуры на плоскости.

По-разному  трактуются знакомые нам теоремы. Например, мы знаем, что сумма углов треугольника 180 градусов, вот сумма углов всякого  сферического треугольника всегда больше 180 градусов. (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

В школьном курсе геометрии мы изучали, что  минимальное число вершин многоугольника равно трём. Действительно, нельзя построить  многоугольник с меньшим числом вершин. Изучая сферическую геометрию, я узнала новую для меня фигуру — двуугольник.

Следует отметить, что как и в элементарной, так  и в сферической геометрии  большое внимание уделяется тригонометрии. Знакомые нам теоремы синуса и  косинуса применяются уже к сферическим  треугольникам.