Обработка опытных данных.Статистические гипотизы и выводы

оглавление

Введение            5

1. Экспериментальные  исследования      6

1.1. Виды экспериментальных исследований      6

1.2. Объект экспериментального исследования     7

2. Статистическое оценивание

2.1. Понятие вероятности                10

2.2. Случайные величины и их характеристики            12

2.3. Распределения, связанные с  нормальным             23

2.4. Выборки. Статистические оценки              25

2.5. Точечные оценки                29

2.6. Интервальные оценки                31

2.7. Планирование эксперимента при оценивании числовых

характеристик случайной величины             37

3. ПРОВЕРКА СтатистическИХ  ГИПОТЕЗ

3.1. Статистические гипотезы и  критерии согласия             40

3.2. Критерий для отбрасывания  резко 

выделяющихся результатов испытаний             44

3.3. Проверка гипотез о числовых  значениях параметров

нормального распределения                47

3.4. Критерий согласия. Проверка  гипотез о виде функции 

распределения                 59

4. Пример анализа  опытных данных             65

Библиографический список               81

Приложение. статистические таблицы            82

 

Введение

Несмотря на значительные достижения современной науки и инженерии  в области изучения сложных механических систем, многие вопросы остаются пока за гранью возможностей теоретического исследования. Для их решения приходится прибегать к изучению поведения реального объекта или его физической модели под воздействием внешних причин в конкретных условиях, т.е. к проведению эксперимента. Это относится как к непосредственным научным исследованиям, так и к инженерным технологическим задачам на действующем производстве.

Эксперимент как сторона общественно-исторической практики человечества является источником познания и критерием истинности теорий и гипотез. Однако часто эффективность проведения эксперимента оказывается весьма низкой. Так, по мнению английского физика, одного из основателей науко-ведения, Джона Дейсмонда Бернала, эффективность проведения экспериментальных исследований оценивается величиной порядка 2 % [1], поэтому вопросы организации эксперимента, снижения затрат на его проведение и обработку опытных данных являются весьма актуальными.

В настоящее время разработано  большое количество методик экспериментального исследования, которые позволяют значительно сократить число проводимых опытов без существенной потери информации об объекте. Они основываются на применении вероятностных подходов и математической статистики при обработке результатов измерений, оптимальном планировании эксперимента. Данное учебное пособие посвящено рассмотрению вероятностных особенностей наблюдаемых опытных данных и методам первоначальной их обработки на примерах экспериментального исследования объектов обработки металлов давлением (объектов ОМД) в соответствии с рабочей программой дисциплины “Организация эксперимента” [2].

 

 

1. Экспериментальные исследования

1.1. Виды экспериментальных  исследований

 

Экспериментальные исследования часто  связаны с получением и последующей обработкой результатов технологических испытаний, служащих основой для определения  параметров качества производимой продукции, ее соответствия стандартам и сертификатам качества. В рамках действующего производства большинство таких испытаний в той или иной степени стандартизованы. Часто стандартизованы и методики обработки опытных данных, а также используемые при этом термины и определения [3 и 4].

С общефилософских позиций эксперимент (experimentium - проба, опыт) - чувственно-предметная деятельность в науке, в более  узком смысле - опыт, воспроизведение объекта познания, проверка гипотез и т.д.

По ГОСТ 24026-80, эксперимент - система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Элементарной частью эксперимента обычно является опыт.

По ГОСТ 24026-80, опыт - воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов.

По цели исследований выделяют два  класса экспериментов - качественный и количественный.

Целью качественного эксперимента является только установление факта существования некоторого явления или связи двух явлений.

Пример 1. Если взять два  внешне одинаковых куска стальной проволоки: один отожженный, а другой неотожженный - после значительной пластической деформации (волочения) и попытаться перегнуть их, то первый останется целым, а второй разрушится. Таким образом, можно установить факт, что отожженный металл обладает большей пластичностью (способностью деформироваться без разрушения) по сравнению с неотожженым. В чем причина и насколько различно данное свойство у этих образцов, качественный эксперимент ответа не дает.

Целью количественного эксперимента является не только установление факта существования некоторого явления, но и определение условий при которых оно будет существовать. Зачастую он дает возможность сформулировать математическую модель явления, т.е. систему соотношений между количественными характеристиками условий, влияющих на объект, и количественными характеристиками этого объекта.

 Если в условиях  примера 1 количественной характеристикой пластичности металла считать количество перегибов проволоки в момент разрушения, то можно установить, как она зависит ,например, от температуры отжига.

Будем рассматривать, в основном, организацию, планирование и обработку результатов количественного эксперимента.

 

1.2. Объект экспериментального  исследования

Эксперимент применяют во многих областях научного исследования и в различных  сферах производства, поэтому в качестве объектов эксперимента могут выступать  очень и очень разнообразные процессы и явления. Однако в самом начале исследования у любого объекта эксперимента есть, как минимум, одно общее свойство - мы мало что о нем знаем. Часто такие непознанные объекты представляют в виде некоторого “черного ящика”, который мы хотим познать.

В приведенном выше примере  в качестве такого “черного ящика” выступает проволочный образец.

В результате качественного эксперимента или априорно (до проведения опытов) мы можем установить, что поведение  исследуемого “черного ящика” зависит от различных внешних воздействий. Все способы такого внешнего воздействия будем называть факторами .

По ГОСТ 24026-80, фактором называется переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента.

Таким образом, фактор - переменная, описывающая один из способов внешнего воздействия на объект (явление) и влияющая на количественную характеристику последнего (функцию отклика).

В приведенном выше примере  в качестве фактора выступает  температура отжига образца.

“Черный ящик“ обладает рядом  собственных, внутренних свойств. Эти внутренние свойства объекта исследования обычно зависят от воздействующих на объект факторов и имеют некоторое внешнее проявление, некоторый выход. Если этот выход удается описать количественно, то мы получим “отклик” объекта исследования на воздействующий фактор, а если удалось установить зависимость отклика от фактора, то говорят об установлении “функции отклика”.

По ГОСТ 24026-80, откликом называется наблюдаемая случайная величина, по предположению зависящая от факторов.

По ГОСТ 24026-80, функцией отклика называется зависимость математического ожидания отклика от факторов.

В приведенном выше примере  в качестве отклика выступает  количество перегибов образца к моменту разрушения, а в качестве функции отклика - зависимость этой величины  от температуры отжига.

Важной особенностью экспериментального исследования является то, что по его  результатам, как правило, стремятся  установить зависимость между факторами, действующими на объект исследования, и его откликами, причем без явного учета внутренних свойств объекта. Такие модели называют моделями типа “вход - выход”, в отличие от моделей типа “вход - состояние - выход”, получаемых обычно теоретическими методами.

Если явление (объект) можно количественно  характеризовать одной функцией отклика, то задача исследования такого явления (объекта) называется однокритериальной, а если двумя и более, - многокритериальной.

Если все способы внешнего воздействия  на объект (явление) можно описать одним фактором, то такой эксперимент называют однофакторным, если способов внешнего воздействия два или больше, - многофакторным.

Каждый фактор может принимать  в опыте одно из нескольких своих  возможных значений. Такое значение будем называть уровнем фактора.

По ГОСТ 24026-80, уровень фактора - фиксированное значение фактора относительно начала отсчета.

Фиксированный набор уровней всех факторов (т.е. установление каждого  фактора на некотором уровне) и  определяет одно из возможных состояний  “черного ящика”.

Важное значение при проведении эксперимента имеет решение вопроса о том, имеет ли экспериментатор возможность контролировать процесс и (или) активно вмешиваться в него и выбирать в каждом опыте те уровни факторов, которые представляют для него наибольший интерес. По этому признаку все факторы можно разбить на три группы: управляемые и контролируемые (х_i ); контролируемые, но не управляемые (h_н); неконтролируемые ( d_н).

Учитывая сказанное, объект исследования можно изобразить в виде следующей, так называемой кибернетической (системной) модели, как это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Кибернетическая модель объекта  исследования

 

Задача количественного эксперимента заключается в нахождении математической модели явления (объекта) в виде оператора преобразования

,                                          (1.1)

где e_н - ошибка эксперимента, учитывающая влияние неконтролируемых факторов d_н; f - алгебраическая функция или функционал.

Если все факторы не управляемы, то такой эксперимент носит название пассивного. В этом случае экспериментатор только наблюдает за изучаемым неуправляемым процессом, не вмешиваясь в него. Математическая модель в этом случае записывается в следующем виде:

.                                          (1.2)

Если же неуправляемых факторов h_н нет или они переведены в разряд неконтролируемых d_н ,то такой эксперимент носит название активного :

.                                          (1.3)

Активный эксперимент предполагает планирование. Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Чаще всего при планировании эксперимента в качестве задачи ставится либо получение математической модели в виде уравнения (1.3) - планирование интерполяционного эксперимента, либо отыскание такого сочетания факторов х_i, которое обеспечивает оптимальное (экстремальное) значение целевой функции (параметра оптимизации), - планирование экстремальных (поисковых) экспериментов.

Важной особенностью экспериментальных  объектов исследования является то, что в подавляющем большинстве случаев они подвержены воздействию некоторых неконтролируемых факторов d_н. Величина этих факторов и степень их воздействия на объект исследования неизвестны. Это вносит в результаты эксперимента некоторый элемент неопределенности, имеющий вероятностное содержание. Теми же причинами объясняется появление отклонений e_н , которые носят случайный характер, определяя тем самым случайный характер наблюдаемых в эксперименте величин.

 

2. Статистическое оценивание

 

2.1. Понятие вероятности

 

В основе построения различного рода статистических моделей лежит теория вероятностей - математическая теория изучающая объективные закономерности массовых случайных явлений.

Основополагающим понятием теории вероятности является понятие событие. Под событием подразумевается явление, которое происходит (или не происходит) в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий, т.е. в результате проведения опыта (часто говорят - в результате проведения испытания). При этом предполагается, что условия проведения опыта (величины уровней контролируемых факторов) могут быть воспроизведены в неизменном виде сколь угодно большое число раз. Используя описанную выше системную модель, событие может быть рассмотрено как наличие или отсутствие определенного уровня отклика этой модели.

Говоря о воспроизводимости  условий проведения опыта, строго говоря (и практически), можно гарантировать  только воспроизводимость управляемых и контролируемых факторов (х_i и h_н). В то же время, наличие неконтролируемых факторов (d_н) определяет вероятностный характер событий.

Каждому событию может быть приписан один из трех типов:

• достоверное событие - обязательно произойдет в результате проведения опыта;
• невозможное событие - не может произойти в результате проведения опыта;
• случайное событие - может произойти, а может и не произойти в результате проведения опыта.

Количественной мерой объективной  возможности осуществления события при фиксированных уровнях факторов является вероятность этого события.

По ГОСТ 15895-77, вероятностью события А называется число от нуля до единицы, которое представляет из себя предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий:

,                                                 (2.1)

где n_А - частота реализации события А; N-количество испытаний.