Обработка опытных данных.Статистические гипотизы и выводы

 

3.3.1. Сравнение двух дисперсий

 

Гипотезы  о равенстве (или неравенстве) дисперсий  имеют особо большое значение прежде всего в технике и технологии, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, стабильность технологических процессов, показатели качества готовой продукции и т.д. Поэтому часто о качестве выпускаемой продукции, преимуществах той или иной технологии можно судить по результатам сравнения дисперсий. При этом возможно несколько вариантов сравнения.

 

3.3.1.1. Сравнение выборочной дисперсии  с известной генеральной

Пусть имеются основания считать известным значение генеральной дисперсии некоторой величины (см. п. 3.2.1). С изменением каких то факторов (например, изменена часть технологии производства) была получена новая выборка исследуемой величины объемом N. По данным этой выборки вычислена оценка дисперсии этой совокупности s². Требуется проверить предположение: повлияло ли изменение этих факторов на величину генеральной дисперсии.

При решении этой задачи нулевая гипотеза Н₀ будет заключаться в том, что дисперсия для генеральной совокупности из которой взята выборка s² будет равна известной дисперсии .

В соответствии с общим алгоритмом:

1) Н₀: .

2) Решение этой задачи возможно  при трех вариантах альтернативных  гипотез:

а) Н_А: ;    б) Н_А: ;      в) Н_А: .

3. Проверка нулевой гипотезы производится с использованием c² - критерия.
4. Статистика этого критерия

                                             (3.4);

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей c² - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П6) для выбранного уровня значимости a и числа степеней свободы n=N-1.
6. Нулевая гипотеза Н₀ справедлива (принимается), если выполняется неравенство:

а) при Н_А:         ;

б) при Н_А:         ;

в) при Н_А:         .

3.3.1.2. Критерий равенства дисперсий  двух совокупностей

Пусть по результатам независимых испытаний двух выборок объемом N₁ и N₂ из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки генеральных дисперсий и , причем . Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, то есть .

В соответствии с общим алгоритмом:

1. Н₀: .
2. Возможно два варианта альтернативных гипотез:

а) Н_А: ;      б) Н_А:

3. Используют F-критерий (критерий Фишера).
4. F - статистика имеет вид

 при                                      (3.5)

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F - распределения (распределения Фишера) (см. табл. П4 и П5) для выбранного уровня значимости a/2 (для альтернативной гипотезы а) или a (для альтернативной гипотезы б) и числа степеней свободы n₁=N₁-1 и n₂=N₂-1.
6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез):

а) при Н_А: ;             ;

б) при Н_А: ;             .

В случае подтверждения нулевой гипотезы и имея основания полагать, что обе исходные выборки принадлежат одной генеральной совокупности, по двум выборочным дисперсиям можно получить более точную оценку общей генеральной дисперсии

,                                        (3.6)

которая может быть использована для дальнейшего  анализа опытных данных.

Пример:  В результате испытаний 30 образцов из утяжинного (заднего) конца  прессованного профиля и 20 образцов из выходного (переднего) конца найдены выборочные значения и дисперсия предела прочности алюминиевого сплава, которые составляли соответственно =401 МПа, =82, =409 МПа, =71 для каждого из концов. Требуется проверить равны ли разбросы опытных данных на переднем и заднем концах профиля, т.е. равны ли генеральные дисперсии предела прочности концов.

В соответствии с общим алгоритмом:

1) Н₀: ;

2) Н_А: ;

3) Выбираем для проверки в  соответствии с принятой альтернативной гипотезой двусторонний F-критерий;

4) Значение F-статистики .

5) Для принятого уровня значимости a=0.1, n₁=N₁-1=29, n₂=N₂-1=19 по таблице пределов распределения Фишера определяем (табл. П4)

.

1. В рассматриваемом случае , значит, можно принять в качестве рабочей гипотезу о том, что исследуемые зоны профиля равноценны по однородности материала.

 

3.3.2. Критерий равенства  дисперсий ряда совокупностей

При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е.

1) Н₀: .

Различаются случаи когда имеются выборки  одинакового и различного объемов.

3.3.2.1. Критерий Кохрена 

Критерий  Кохрена используется при равных объемах отдельных выборок. В качестве альтернативной гипотезы выступает гипотеза о том, что генеральная совокупность с наибольшей дисперсией превышает по дисперсии остальные m-1 генеральных совокупностей, т.е.

1) Н₀: .

2) Н_А: .

3. При равном объеме выборок (N₁=N₂=…=N_m-1=N_m) проверка  Н₀ проводится по критерию Кохрена.
4. Статистикой относящейся к этому критерию является величина

,                                                         (3.7)

где - наибольшая из имеющихся дисперсий.

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей распределения Кохрена (G - распределения) (см. табл. П8 приложения) для выбранного уровня значимости a, числа сравниваемых дисперсий n₁=m и числа степеней свободы n₂=N-1.
6. Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства

Пример:  В результате испытаний  на растяжение пяти серий из 20 образцов алюминиевого сплава различных плавок найдены выборочные дисперсии предела прочности: =154, =208, =186, =197 , =153. Требуется оценить значимость влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности материала.

1. Н₀: .
2. Н_А: .
3. Используем G-критерий .
5. . По таблице пределов распределения Кохрена (табл .П8)  для уровня значимости  a = 0,05  , числа степеней свободы n₁=5 и n₂=20-1=19 определяем (в соответствии с принятой альтернативной гипотезой используем односторонний критерий)  .
6. Так как условие (3.14) выполняется (0,232<0,356), то можно принять в качестве рабочей гипотезу о отсутствии влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности алюминиевого сплава.

 

3.3.2.2. Критерий Бартлета

Критерий  Бартлета используется для сравнения дисперсий при различных объемах отдельных выборок n_i, причем n_i³5. В качестве альтернативной выступает гипотеза о неравенстве дисперсией генеральных совокупностей имеющихся m серий испытаний, т.е.

1) Н₀: .

2. Н_А: .
3. При сравнении дисперсий в выборках различного объема используют критерий Бартлета.
4. Статистика этого критерия рассчитывается по выражениям

,..................................(3.8)

где                   ,                                          (3.9)

.                                                              (3.10)

5. Границы критической области можно найти по таблицам квантилей c² - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П3) для уровня значимости a и числа степеней свободы n=m-1.
6. Если выполняется условие   , то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий совокупностей, из которых взяты выборки принимают. При невыполнении этого условия нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную.

В случае подтверждения нулевой гипотезы об однородности дисперсий ( ) по m выборочным дисперсиям на основании выражения (3.10) можно произвести оценку генеральной дисперсии s² , которая может быть использована в дальнейшем, например для построения доверительных интервалов.

 

3.3.3. Проверка гипотез  о числовых

значениях математических ожиданий

Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ), при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых величин делать вывод о соответствующих генеральных значениях – математических ожиданиях. При этом может возникнуть задача сравнения математического ожидания с конкретным числовым значением (например с известным математическим ожиданием) и задача сравнения двух математических ожиданий по двум выборочным средним.

 

3.3.3.1. Сравнение математического  ожидания случайной величины с известным значением

Эта задача может возникнуть в двух равноценных  вариантах. 1) Когда необходимо сделать  обоснованное заключение о равенстве  или неравенстве математического ожидания случайной величины конкретному числовому значению (например, m=3). 2) Когда накоплен значительный объем экспериментальных данных, который позволил определить математическое ожидание m (например, m=3) и дисперсию s² интересующей характеристики, но после внесения некоторых изменений в условия получения экспериментальных данных получена новая выборка, по которой определены значения выборочного среднего и дисперсии s² несколько отличающиеся от генеральных. Возникает необходимость установить значимо ли влияние условий получения экспериментальных данных на значения интересующей величины, т.е. имеется ли значимое различие между выборочным значением и генеральным математическим ожиданием m. Оба эти варинта постановки задачи решаются одинаково.

Возможны  два несколько отличающихся случая: А) генеральная дисперсия s² известна; Б) генеральная дисперсия s² неизвестна, но известна ее оценка s².

А) Рассмотрим случай когда генеральная дисперсия s² известна.

Примем в качестве нулевой гипотезы предположение о том, что математическое ожидание m₁ интересующего нас свойства после изменения условий получения опытных данных равно математическому ожиданию m соответствующего свойства до внесения изменений (или равно конкретной величине m), т.е.

1. Н₀:  m₁= m.
2. Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах

а) Н_А: m₁> m;         б) Н_А: m₁< m ;        в) Н_А: m₁¹ m .

3. Используется z-критерий
4. z - статистика имеет вид

,                                                 (3.11)

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей нормированного нормального распределения (распределения Лапласа) (табл. П2) для выбранного уровня значимости a.
6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что m₁= m при выполнении неравенств:

а) при альтернативной гипотезе Н_А: m₁> m                  ;

б) при альтернативной гипотезе Н_А: m₁< m                  ;

в) при альтернативной гипотезе Н_А: m₁¹ m                  .

 

 

Б) Генеральная дисперсия s² неизвестна, но известна ее оценка s².

В этом случае вместо генеральной дисперсии s² использую выборочную дисперсию s². Ход рассуждений здесь аналогичен приведенному выше в п. А), но в качестве критерия следует использовать t-критерий. Кроме того, обобщим случаи альтернативных гипотез а) и б) из п. А), используя абсолютные значения отклонений и учитывая симметричный характер t-распределения.

1. Н₀:  m₁= m.
2. Два варианта альтернативной гипотезы

а) Н_А: m₁> m или Н_А: m₁< m ;        в) Н_А: m₁¹ m .

3. Используют t-критерий.
4. t - статистика имеет вид              ,                                       (3.12)
5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей  t-распределения (распределения Стьюдента) (табл. П6) для выбранного уровня значимости a и числа степеней свободы n=N-1.
6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что m₁=m при выполнении неравенств: