Обработка опытных данных.Статистические гипотизы и выводы

Формулу (2.27) удобно для практических расчетов преобразовать к виду

.                  (2.28)

Несмещенность оценки выборочной дисперсии  достигается использованием в знаменателе формулы (2.27) величины вместо очевидной на первый взгляд N. Величину n называют числом степеней свободы.

Число степеней свободы - это разность между числом имеющихся выборочных экспериментальных значений (объемом выборки), по которым вычисляется оценка и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для расчета оценки, и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых значений.

При оценке дисперсии линейной комбинацией  является выборочное среднее, определяемое по выражению (2.26), и поэтому в  выражении для расчета выборочной дисперсии следует использовать .

По ГОСТ 15895-77, выборочное среднеквадратическое отклонение - это положительный квадратный корень из выборочной дисперсии

.                                                               (2.29)

 

2.6. Интервальные оценки 

 

Рассмотренные точечные оценки сами являются случайными величинами, так как зависят от объема выборки, по которой они построены. Кроме того, они не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру Q. Более информативным способом оценивания является интервальное оценивание.

По ГОСТ 15895-77, оценивание с помощью доверительного интервала - это способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Интервальной оценкой параметра Q называется интервал ( , ), который с заданной вероятностью р накрывает оцениваемый параметр Q:

 

.                                                 (2.30)

 

Интервал ( , ) называется доверительными интервалом. Его границы и являются статистиками (рассчитываются по выборочным значениям х₁,х₂,х₃,..., х_N ) и называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Ширина доверительного интервала L= - является мерой точности оценки данного числового параметра. Границы доверительного интервала и зависят от объема выборки N и ее состава, а значит, являются случайными величинами.

По ГОСТ 15895-77, доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Вероятность р называют доверительная вероятность,  а величину a=1-p - уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Доверительная вероятность р характеризует степень достоверности, надежности результата, а уровень значимости a ,наоборот, показывает степень неточности, ненадежности результата.

По ГОСТ 15895-77, доверительная вероятность - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Практически чаще всего  используется значение доверительной  вероятности р=0.95, реже р=0.9 и р=0.99 и совсем редко р=0.8 и р=0.999.

Доверительный интервал может  быть построен для точечной оценки любого параметра распределения. Наибольшее практическое значение имеют  процедуры построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Рассмотрим особенности этих построений.

 

2.6.1.  Интервальная оценка математического  ожидания нормальной генеральной  совокупности случайной величины при известной дисперсии.

 

Если непрерывная случайная  величина Х распределена нормально с параметрами m_x и , то и среднее значение этой величины, рассчитанное по N независимым наблюдениям, также распределено нормально, но с параметрами m_х и , поэтому после проведения операции нормирования случайной величины функция

                                                         (2.31)

будет подчиняться нормированному нормальному закону распределению.

Из условия нормирования можно  получить уравнение для расчета  при известном значении z:

.                                                      (2.32)

Вероятность попадания случайной  величины в некоторый диапазон ( , ), определяемый квантилями соответствующих порядков Р₁ и Р₂, с учетом выражений (2.31) и (2.32) равна

                         

Откуда для доверительной вероятности  Р=Р₂-Р₁ можно выделить интервальную оценку для математического ожидания:

,                                    (2.33)

где и - квантили нормированного нормального распределения для доверительных вероятностей Р₁ и Р₂ соответственно.

При построении доверительных интервалов для генерального среднего обычно принимают Р₁=a/2 и Р₂=1-Р₁=1-a/2, т.е. рассматривают симметричные границы доверительных интервалов относительно выборочного среднего, причем обычно выбирают a=0.1 или a=0.05, реже a=0.01.

Значения квантилей функции  Лапласа  и (квантилей нормированной функции нормального распределения), используемых в выражении (2.33), табулированы (см. табл. П.2). Поскольку приведенная в приложении таблица квантилей (как и в большинстве справочников) построена для интервала доверительных вероятностей от 0.5 до 0.999, то для расчета квантилей, соответствующих малой доверительной вероятности (от 0 до 0.5), следует использовать соотношение .

Например, если принять  уровень значимости a=0.05 т. е. р₁=0.05/2=0.025 и

р₂=1-0.05/2=0.975, то из таблицы квантилей функции Лапласа (см. табл. П2) можно определить, что z_P1=z_0.025=-z_(1-0.025)=-z_0.975=-1.96 и z_0.975=1.96 и

,                                        (2.34)

т.е. при многократном извлечении из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами m и s2 выборок объемом N каждая, можно построить последовательность соответствующих выборкам интервалов (2.34), причем примерно 95% этих интервалов будут включать в себя истинное значение математического ожидания m.

 

2.6.2.  Интервальная оценка математического ожидания нормальной генеральной совокупности случайной величины при неизвестной дисперсии.

Часто значение генеральной дисперсии s² исходного распределения оказывается неизвестным. Тогда при построении доверительных интервалов для генерального среднего используют выборочную дисперсию S².

В этом случае нормированная случайная  величина, аналогичная (2.31) записывается в виде

,                                                         (2.35)

где S - выборочное среднеквадратическое отклонение.

Величина t подчиняется распределению Стьюдента.

Используя понятие квантили и проведя  рассуждения, аналогичные приведенным в п. 2.6.1, можно получить выражение для расчета границ доверительного интервала для генерального среднего при неизвестной дисперсии s²

,                            (2.36)

где t_a,n - значение квантили статистики t для уровня значимости a=1-P и числа степеней свободы n=N-1, определение которых можно произвести по таблице П6.

 

Пример: По результатам испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что для предела прочности выборочное среднее составило при выборочном среднеквадратическом (стандартном) отклонении s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генерального среднего значения предела прочности материала данного профиля.

Для уровня значимости a=1-0.9=0.1 и числа степеней свободы n=20-1=19 по таблице квантилей (двусторонних пределов) t-распределения Стьюдента (см. табл. П6) находим t_0.1,19=1.73. По формуле (2.36) рассчитываем

;

449 МПа < m < 457 МПа

 

 

 

2.6.3.  Интервальная  оценка дисперсии нормальной  генеральной 

совокупности случайной величины.

При построении доверительного интервала для дисперсии нормально распределенной случайной величины Х используют случайную величину

,                                                         (2.37)

подчиненную распределению Пирсона  или c² - распределению.

Если задать вероятность Р=Р₂-Р₁ обнаружения случайной величины в интервале ( , ), то используя понятие квантили, можно записать:

                              

Из последнего выражения можно выделить интервальную оценку генеральной дисперсии для доверительной вероятности Р=Р₂-Р₁:

                                      (2.38)

Обычно задаются уровнем значимости a (чаще всего a=0,05, реже a=0,10) и принимают симметричные доверительные границы из условий р₁=a/2 и р₂=1-a/2. Значения квантилей распределения Пирсона и можно определить по табл. П6.

Пример: По результатам  испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение составило s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генеральной дисперсии и среднеквадратического отклонения предела прочности материала данного профиля.

Для уровня значимости a=1-0.9=0.1 доверительная вероятность для левой границы составит Р₁=a/2=0.1/2=0.05 , для правой границы Р₂=1-a/2=1-0.1/2=0.95, число степеней свободы n=20-1=19. По таблице c²_a,n-пределов (квантилей) -распределения Пирсона (см. табл. П6)  находим c²_0.05,19=30.1 иc²_0.95,19=10.1  . По формуле (2.38) рассчитываем 

;   

  ; 

  , МПа

 

2.7. Планирование эксперимента при оценивании числовых

характеристик случайной величины

Планирование эксперимента при  проведении оценок числовых характеристик случайной величины сводится к определению необходимого объема выборки N для получения требуемой точности оценивания.

2.7.1. Планирование эксперимента при оценивании математического ожидания с требуемой точностью.

При оценке математического ожидания обычно интересует ширина интервала, который накроет математическое ожидание с заданной точностью. Построение этого интервала при заданном уровне значимости и определенном объеме выборки экспериментальных данных описано в п.п. 2.6.1 и 2.6.2. Может быть решена и обратная задача: определение объема выборки для получения оценки параметра распределения с требуемой точностью при заданном уровне значимости a и известной выборочной оценке стандартного отклонении S.

Если задана ширина симметричного  доверительного интервала для математического ожидания L (например, диаметр прутка 30±1), то из выражения (2.36) следует, что     ,     откуда      ,          или

.                                               (2.39)

Так как значение статистики Стьюдента  зависит от количества проведенных опытов (количества степеней свободы n), то решение уравнения (2.47) может быть получено методом последовательных приближений.

Пример: При прокатке горячекатаного листа с номинальной  толщиной 4 и полем допуска ±0.05 мм получены следующие фактические значения толщины: 3,91 мм,  4.08 мм,  3.93 мм, 3.97 мм, 3.92 мм, 4.05 мм, 4.10 мм.

Требуется определить, какое  количество измерений необходимо произвести, чтоб оценить математическое ожидание толщины листа с точностью, определенной полем допусков и при доверительной вероятности a=0.05.

Оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения составят:

 

 Ширина доверительного полуинтервала L=0.1.

Используя таблицу распределения  Стьюдента (см. табл.П6), произведем расчет (N задаем, N’ рассчитываем по (2.39)):

При N=	4	ta,N-1=	3,182	N'=	(2*3,182*0,08/0,1)2=			25,93
При N=	26	t a,N-1=	2,060	N'=				10,86
При N=	11	t a,N-1=	2,228	N'=				12,71
При N=	13	t a,N-1=	2,179	N'=				12,15

Так как значение N и  округление N’ до ближайшего следующего целого числа (13) совпали, то можно сделать вывод, что для получения оценки математического ожидания с точностью ±0.05 необходимо проделать в общей сложности 13 измерений .

 

 

2.7.2. Планирование эксперимента  при оценивании генерального

среднеквадратического  отклонения с требуемой точностью.

В качестве характеристики для оценивания точности расчета генерального среднеквадратического отклонения s обычно используют относительную величину , где L - ширина доверительного интервала при фиксированной доверительной вероятности р.

Используя эту величину, можно показать, что с вероятностью р доверительный интервал L для стандартного отклонения s оценивает s с относительной погрешностью, не превышающей 100×e , %.

Определение количества опытов необходимое для оценивания среднеквадратического отклонения с заданной точностью e может быть произведено с использованием неравенства, полученного из интервальной оценки для дисперсии

,                                         (2.40)

где n - количество степеней свободы (n=N-1); a - уровень значимости (a=1-p); - квантиль распределения Пирсона, значение которой при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы n может быть определено из таблиц (см. табл. П3).