Шпаргалка по "Статистике"

Все показатели вариации можно  разделить на 3 группы:

1.показатели центра распределения-средн.арифметическая,мода и медиана

2.показатели степени вариации-вариационный  размах,средн.линейное отклонение,дисперсия, средн.квадратическое отклонение и коэффициент вариации

3.показатели типа (формы)  распределения-структурные хар-ки,показатели асимметрии и эксцесса, кривые распределения.

Исследование  вариации является составным элементом статистического анализа, позволяющим оценить колебания значений изучаемого признака, взаимосвязь его с другими признаками. Статистические показатели, характеризующие вариацию, служат критерием типичности рассчитанных по совокупности средних величин, используются в определении ошибок выборочных характеристик.

 

 

37. Ряды распределения: основные  элементы, виды и графическое  изображение.

Рядом распределения в  статистике называется ряд цифровых показателей, представляющих распределение  единиц совокупности по одному существенному  признаку, разновидности которого расположены  в определённой последовательности.

Состоит из двух элементов: вариантов(групп по выделенному признаку) и частот(численности групп)+ частности(частоты, выраженные в долях единицы)

Виды. В зависимости от признака: 1. атрибутивный ряд(построенный по качественным признакам) 2. вариационный ряд(построенный по количественному признаку). В зависимости от характера: 1. дискретный(распределение единицы совокупности по дискретному признаку) 2. интервальный(целесообразно при непрерывной вариации признака, а так же если дискретная вариация проявляется в широких пределах).

Анализ рядов распределения  наглядно можно проводить на основе графического изображения:

• Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов. для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносится шкала для выражения величины частот. Полученные на пересечении точки соединяются и получают ломанную линию, называемую полигоном частот.
• Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах.
• Кумулятивная кривая для графического изображения вариационных рядов. На оси абсцисс откладываются варианты ряда, а на оси ординат - накопленные частоты, затем эти перпендикуляры соединяют и получают ломанную линию. Можно построить кумулятивное распределение "не меньше чем" - кумулята,  а можно "больше чем" - огива.

 

 

38.Абсолютные  показатели вариации и методы  их расчета

 

К абсолютным показателям  относятся: размах вариации, среднее  линейное отклонение, дисперсия и  среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации – показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака. Рассчитывается как разность между наибольшими и наименьшими значениями варьирующего признака: 

Среднее линейное отклонение – описывает вариацию признака внутри интервала

Характеристика, которая  даёт обобщенную характеристику ряда и гасит случайные отклонения значений признака. Вокруг значений средней  величины происходят колебания признака, для обобщения этих колебаний  применяется средняя величина этих отклонений.

 Среднее линейное отклонение  для арифметической простой

 Среднее линейное отклонение  для арифметической взвешенной 

Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходный данных вычисляется по формулам простой дисперсии и взвешенной.

Простая:  

Взвешенная:  

Среднее квадратическое отклонение -- При достаточно большом размахе величина линейного отклонения достигает или превышает среднее значение признака. При различии максимального и минимального значения признака на порядок или более эта характеристика не описывает характер вариации. Для такого описания применяют средний квадрат отклонений от средней величины.     Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии. СКО показывает, на сколько, в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения (колеблемость). Выражается в абсолютных величинах.

СКО для не сгруппированных  данных:  

СКО для сгруппированных  данных:

 

 

39. Мода: сущность, значения и методы  расчёта.

Мода (Мо) – значение признака, наиболее часто встречающееся в  исследуемой совокупности.

Для упорядоченного вариационного  ряда распределения мода, являющаяся характеристикой вариационного  ряда, определяется по частотам вариантов  и соответствует варианту с наибольшей частотой.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальный  интервал, в конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле: , где нижняя граница модального интервала; величина модального интервала;частота модального интервала;частота интервала, предшествующего модальному;частота интервала, следующего за модальным.

Моду в интервальном ряду распределения также можно определить графически. Она определяется по гистограмме  распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который  в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с левым  верхним углом предыдущего прямоугольника. Далее из точки их пересечения  опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

40. Медиана: сущность, значение и  методы расчета.

Медианой (Ме) называют такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда и делит его на две равные по числу единиц части. Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо в начале найти номер медианы: N=n+1/2. Затем используются частоты .

В дискретном ряду распределения  медиана находится непосредственно  по накопленной частоте, соответствующей  номеру медианы.

В случае интервального вариационного  ряда распределения конкретное значение медианы вычисляется по формуле:   ;    где нижняя граница медианного интервала; сумма частот; накопленная частота интервала, предшествующего медианному; частота медианного интервала.

Медиану в интервальном ряду распределения также можно определить графически. Медиана рассчитывается по кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50% , проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

 

41. Свойства дисперсии.

1.Дисперсия постоянной  величины равна нулю

2.Уменьшение всех значений  признака на одну и ту же  величину А не меняет величины дисперсии:

3.Уменьшение всех значений  признака в k раз уменьшает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз:

4.Свойство минимальности  – дисперсия от средней всегда  меньше дисперсий, исчисленных  от любых других величин.

 

42. Правила сложения дисперсий.

        Если  данные представлены в виде  аналитической группировки, то  можно вычислить дисперсию общую,  межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием  всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

=

Межгрупповая  дисперсия систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки.

, где х_iи – соответственно средняя i-ой группы и общая средняя варьирующего признака х ; f_i – частота i-ой группы

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов, не зависящих от признака-фактора, положенного в основание группировки. Данная группировка рассчитывается для каждой i-ой группы по формуле:

σ_i² = , где x_i– значение признака у отдельных элементов совокупности , f_i  - число единиц в группе i

Для всех групп в целом  вычисляется средняя из межгрупповых дисперсий, исчисляемая по формуле:

 

Взаимосвязь между тремя  дисперсиями получила название Правила сложения дисперсий:   . Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые 2 вида дисперсий, можно определить или проверить  правильность расчета третьего вида.

На основании правила  сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между  группировочным (факторным) и результативным признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается ƞ(эта) и рассчитывается по формуле:

Ƞ ϵ [0;1]

Если: 1) от 0 до +-0,3 – связи  нет

2) от 0,3 до +-0,5 – связь слабая

3) от 0,5 до +-0,7 – связь умеренная

4) от 0,7 до +-1 – сильная  связь

 

 

43. Выборочный метод наблюдения: сущность  и значение.

Выборочным называется такое  несплошное наблюдение, при котором признаки регистрируются у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности, отобранных с использованием специальных методов, а полученные в процессе обследования результаты с определенным уровнем вероятности распространяются на всю исходную совокупность. К наиболее распространенным на практике видам выборочного наблюдения относятся:

1. Собственно-случайная выборка (простая случайная)
2. Механическая (систематическая)
3. Типическая (стратифицированная, расслоечная)
4. Серийная (гнездовая)

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным  или бесповторным. При повторном  отборе попавшая в выборку единица  подвергается обследованию, т.е. регистрации  значений ее признаков, возвращается в  генеральную совокупность и наравне  с другими единицами участвует  в дальнейшей процедуре отбора. При  бесповторной выборке попавшая в  выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует.

Собственно-случайная  выборка. Ее суть заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.

Алгоритм анализа выборки:

1.Определить средн.ошибку выборки

  (для повторной выборки)

(для бесповторной выборки)  N – объем генерал.совокупности, n – объем выборочной сов-сти

2.Опр.предел.ошибки выборки: 

3.Определить доверительный  интервал:

Оптимальный объем выборочной совокупности ( ): n (повторная выборка); n = (бесповторная выборка)

Оптимальный объем выборочной совокупности (w -  выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.): (повторная выб-ка); (бесповторная выб-ка)

Механическая  выборка. Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процессом отбора. При решение задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать приведенные выше формулы, применяемые при С-Сл бесповторном отборе.

Оптимал.объем совокупности исчисляется так же как и собственно-случайная

 

Типологическая выборка. Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования С-Сл или механической выборки.

Для нахождения общегрупповой дисперсии исп. средн.из внутригрупповых дисперсий:

1.При повторном отборе ;  При бесповторном отборе μ _{, где}

2.

3.

Оптимал.объем совокупности исчисляется так же как и собственно-случайная

Серийная  выборка. Эта выборка используется, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием С-Сл или механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.

В основе расчета средней  ошибки серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:

1. При повторном отборе μ  ; При бесповторном отборе μ, , Где r – число отобранных серий, R – общее число серий

Далее пункт 2,3.

Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие  формулы:

 

1)При повторном отборе   r    2)При бесповторном отбореr =

44.Методы  определения оптимальной численности  выборочной совокупности. (учебник, стр. 289)

Метод жеребьёвки. Для этого необходимо располагать достаточным кол-вом жребиев, соответствующих объёму генеральной совокупности.  Каждый жребий должен содержать информацию об отдельной единице совокупности.  Требуемое в соответствии с установленным процентом отбора число жребиев извлекается из общей совокупности в случайном порядке.

Метод случайной сортировки.

 1. Каждой единице генеральной совокупности присваивается случайное число u полученное с помощью процессора случайных чисел в интервале от 0 до 1 (полученные случайные числа  должны в той или иной степени соответствовать закону равномерного распределения).