Статистические методы изучения условий труда

 

Расчеты выполняются в  следующей последовательности:

1. Определяется длина  интервала i:

 

i = 2

 

2. Рассчитываются показатели центра распределения (средняя арифметическая , мода и медиана ). Для расчета используются данные табл. 3.1 –итоговая строка по графе 4: 

 

  = (∑ƒ) / (∑ƒ) = 212 / 25 = 8,48 млн. р.  

 

  ,

 

где - нижняя граница модального интервала,

  - величина модального интервала,

  - частота модального интервала,

  - частота, предшествующая модальному интервалу,

  - частота, следующая за модальным интервалом.

Мода – это вариант  с наибольшей частотой  →  модальный  интервал будет 9-11.

 

  = 9+2*(11-3) / ((11-3)+(11-3)) = 10 млн. р.

 

Моду можно отразить графически при помощи гистограммы.

Гистограмма распределения  предприятий по объему выпуска продукции:

На оси абсцисс выстраивается  ряд сомкнутых прямоугольников, основание у которых величина интервала, а высота – частота интервала. Затем вершины прямоугольника с наибольшей высотой соединяются с вершинами рядом стоящих прямоугольников, и из точки их пересечения на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой точке будет .

 

  ,

 

где - нижняя граница медианы,

  - величина мед. интервала,

  - сумма частот,

  - накопленная  частота домед. интервала,

  - частота мед. интервала.

Для того, чтобы определить медиану, необходимо найти её порядковый номер

 

  ,

 

а затем по накопленной  частоте определить медиану.

  → медиана будет в 4 интервале

 

  .

 

Медиана определяется графически при помощи кумуляты.

Кумулята ряда распределения предприятий по объему выпуска продукции:

По накопленным частотам находим порядковый номер медианы (12,5) и проводим линию параллельно  оси абсцисс до пересечения с  кумулятой. Далее из точки пересечения на ось абсцисс опускаем перпендикуляр. Значение в этой точке будет .

 

3. Рассчитываются показатели  вариации (ср. линейное отклонение , дисперсия и коэффициент вариации V).

При расчете показателей  вариации по интервальному ряду распределения  необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальнейшие расчеты, рассматривая ряд середин  интервалов как дискретный ряд распределения. Результаты вспомогательных расчётов для определения дисперсии  и среднего квадратического отклонения σ содержатся в графах 4-8 (табл. 3.1).

Среднее линейное отклонение определяется:

 

 

 

Дисперсия объема выпуска  продукции рассчитывается по формуле  средней взвешенной:

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение объема выпуска продукции определяется как корень квадратный из дисперсии:

 

  млн. руб.

 

Коэффициент вариации:

 

 

 

Исследуемый ряд распределения  не соответствует нормальному закону распределения, т.к. . Поэтому для выявления характера распределения нужно не только оценить степень однородности совокупности, но и дать оценку его симметричности. Для оценки степени симметрии используют коэффициент симметрии:

 

 .

 

Полученный результат  свидетельствует о наличии левосторонней  асимметрии и поэтому данное распределение  нельзя отнести к типу нормального  распределения.

2.4. Задание 4. На основании ранее выполненной группировки по ОПФ (задание 2) необходимо проверить правило сложения дисперсий по объему выпуска продукции. Прежде всего, необходимо выписать по выделенным группам значения объема выпуска продукции по каждому предприятию совокупности (таблица 4.1).

Таблица 4.1.

Сводка индивидуальных значений объема продукции по группам предприятий.

Группы предприятий по ОПФ	Индивидуальные значения показателя объема производства , млн. руб.
2,1 – 3,8	3,1	3,3	4,4
3,8 – 5,5	5,9	5,2
5,5 – 7,2	6,3	6,8	7,8	7,7	6,5
7,2 – 8,9	12,0	9,2	8,9	9,5
8,9 – 10,6	10,3	10,6	9,5	10,7	11,1	11,3	10,0	10,4	10,5	10,3	9,5

 

Вначале определяется общая  дисперсия , отражающая суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию объема выпуска продукции.

Для этого выполняется  вспомогательная таблица (таблица 4.2), в которой рассчитываются необходимые  значения, используемые для определения  дисперсии.

Таблица 4.2.

Вспомогательная таблица для расчета общей  дисперсии .

Индивидуальные значения признака – объема производства	Частота повторения индивидуальных значений f	Вспомогательные расчеты  величин для определения дисперсии
3,1	1	3,1	- 5,3	28,09	28,09
3,3	1	3,3	- 5,1	26,01	26,01
4,4	1	4,4	- 4,0	16,0	16,0
5,2	1	5,2	- 3,2	10,24	10,24
5,9	1	5,9	- 2,5	6,25	6,25
6,3	1	6,3	- 2,1	4,41	4,41
6,5	1	6,5	- 1,9	3,61	3,61
6,8	1	6,8	- 1,6	2,56	2,56
7,7	1	7,7	- 0,7	0,49	0,49
7,8	1	7,8	- 0,6	0,36	0,36
8,9	1	8,9	0,5	0,25	0,25
9,2	1	9,2	0,8	0,64	0,64
9,5	3	28,5	1,1	1,21	3,63
10,0	1	10,0	1,6	2,56	2,56
10,3	2	20,6	1,9	3,61	7,22
10,4	1	10,4	2,0	4,0	4,0
10,5	1	10,5	2,1	4,41	4,41
10,6	1	10,6	2,2	4,84	4,84
10,7	1	10,7	2,3	5,29	5,29
11,1	1	11,1	2,7	7,29	7,29
11,3	1	11,3	2,9	8,41	8,41
12,0	1	12,0	3,6	12,96	12,96
Итого	25	210,8	-	-	159,52

 

Предварительно определяем общую среднюю арифметическую:

 

  млн. руб.

 

Затем рассчитываем дисперсию  по объему выпуска продукции:

 

 

 

Далее найдем среднее квадратическое отклонение:

 

  млн. руб.

 

Для расчета внутригрупповых  дисперсий необходимо выполнить  соответствующие вычисления средних  величин и дисперсии по объему выпуска продукции по каждой группе.

Для этого необходимые  расчеты следует выполнить в  форме вспомогательной таблицы (таблица 4.3).

Таблица 4.3.

Вспомогательная таблица для расчета частных  внутригрупповых дисперсий.

 

Индивидуальные значения признака – объема производства	Частота повторения индивидуальных значений f	Расчетные величины			Средняя арифметическая	Дисперсия по отдельным группам
1 группа
3,1	1	- 0,5	0,25	0,25
3,3	1	- 0,3	0,09	0,09
4,4	1	0,8	0,64	0,64
Итого	3	-	-	0,98	3,6	0,33
2 группа
5,2	1	- 0,4	0,16	0,16
5,9	1	0,4	0,16	0,16
Итого	2	-	-	0,32	5,55	0,16
3 группа
6,3	1	- 0,7	0,49	0,49
6,5	1	- 0,5	0,25	0,25
6,8	1	- 0,2	0,04	0,04
7,7	1	0,7	0,49	0,49
7,8	1	0,8	0,64	0,64
Итого	5	-	-	1,91	7,02	0,38
4 группа
8,9	1	- 1,0	1,0	1,0
9,2	1	- 0,7	0,49	0,49
9,5	1	- 0,4	0,16	0,16
12,0	1	2,1	4,41	4,41
Итого	4	-	-	6,06	9,9	1,52
5 группа
9,5	2	- 0,9	0,81	1,62
10,0	1	- 0,4	0,16	0,16
10,3	2	- 0,1	0,01	0,02
10,4	1	0,02	0,0004	0,0004
10,5	1	0,1	0,01	0,01
10,6	1	0,2	0,04	0,04
10,7	1	0,3	0,09	0,09
11,1	1	0,7	0,49	0,49
11,3	1	0,9	0,81	0,81
Итого	11	-	-	3,24	10,38	0,29

 

Вычисление средней арифметической и дисперсии по каждой группе производится по формулам:

 

  и 

 

с последующей записью  расчетных значений и в графах 6 и 7 табл. 4.3.

После определения частных  внутригрупповых дисперсий рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

 

 .

 

Далее рассчитывается межгрупповая дисперсия :

 

 

= 5,879

Таким образом, суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

 

 

Полученный результат  совпадает с результатом исчисления общей дисперсии обычным способом, что дает основание судить о правильности  выполнения расчетов.

На основании соотношения  межгрупповой и общей дисперсии  судят о существенности связи  между факторным и результативным признаками, показателем которой  является эмпирическое корреляционное отношение  η:

 

 .

 

Величина 0,96 характеризует  существенную связь между группировочным и результативным признаками.

2.5. Задание 5. Для решения первой задачи задания записываем исходные данные с общепринятыми обозначениями:

N=189,5 млн. руб. – суммарная стоимость ОПФ по генеральной совокупности; n=18,95 млн. руб. – суммарная стоимость ОПФ по выборочной совокупности; Р=0,997 млн. руб. – вероятность; t=3 млн. руб. – коэффициент доверия.

Затем на основании ранее  выполненной аналитической группировки (задание 2) записываем в группировочную таблицу необходимую исходную информацию для расчета средней ошибки выборки (табл. 5.1):

Таблица 5.1.

Исходные данные для расчета средней ошибки выборки.

 

 

 

Группы предприятий по ОПФ	Число предприятий в группе	Серединное значение ОПФ  в группе	Стоимость ОПФ по группе
2,1 – 3,8	3	2,95	8,85
3,8 – 5,5	2	4,65	9,3
5,5 – 7,2	5	6,35	31,75
7,2 – 8,9	4	8,05	32,2
8,9 – 10,6	11	9,75	107,25
Итого	25	-	189,35