Статистический анализ временных рядов

 

 

Могут быть и другие функции. При выборе функций, когда неочевидно, какую из функций выбрать, рассматриваются несколько возможных типов развития.

Затем с помощью специального показателя – ошибки аппроксимации - определяют, какая из функций наиболее точна.

Аппроксимическая:

Ошибка аппроксимации показывает, на сколько в среднем полученные теоретические значения от фактических данных. Наиболее точной будет считаться та функция, у которой ошибка аппроксимации будет минимальной.

 

 

 

 

 

 

2.Сглаживание уровней рядов  динамики с помощью трёхчленной скользящей средней:

Песок:

1. Определяем интервал: n = 3

2. Рассчитываем скользящие средние:

 

Таблица 1.17 

 

Наименование груза	Объём переработанного  груза, т.т.
	Годы
	2005	2006	2007	2008	2009
Песок	-	35,67	33	67	-
Щебень	-	40	31	76	-
ПГС	-	44	29	85	-

 

 

 

3.Выравниевание уровней по прямой  и одной из нелинейных функций:

3.1. Выравнивание  уровней по прямой:

1. Песок:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t		yt	Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	31	-2	4	-62	31,4	-0,4	0,16
2006	36	-1	1	-36	35,6	0,4	0,16
2007	40	0	0	0	39,8	0,2	0,04
2008	44	1	1	44	44	0	0
2009	48	2	4	96	48,2	-0,2	0,04
n = 5	199			42	199	-	0,4

 

y_t=а₀ +а₁t

а₀ = 199/5=39,8

а₁ = 42/10=4,2

y_t = 39,8+4,2t

 

Рассчитываем  ошибку аппроксимации:

Ϭ_yt = √0,4/n-m = √0,4/3= 0,3651 т.т.

Вывод: таким образом фактические данные отличаются от соответствующим им теоретическим на ±0,3651 т.т.

 

2. Щебень:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t		yt	Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	35	-2	4	-70	21	14	196
2006	34	-1	1	-34	26,1	7,9	62,41
2007	30	0	0	0	31,2	-1,2	1,44
2008	29	1	1	29	36,3	-7,3	53,29
2009	28	2	4	56	41,4	-13,4	179,56
n = 5	156			51	156	-	492,7

 

 

y_t=а₀ +а₁t

а₀ = 156/5=31,2

а₁ = 51/10=5,1

y_t = 31,2+5,1t

 

Рассчитываем  ошибку аппроксимации:

Ϭ_yt = √492,7/n-m = √492,7/3= 12,82 т.т.

Вывод: таким образом теоритические данные отличаются от практических на ±12,82 т.т.

 

3.ПГС:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t		yt	Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	59	-2	4	-118	58,4	0,6	0,36
2006	68	-1	1	-68	67,4	0,6	0,36
2007	74	0	0	0	76,4	-2,4	5,76
2008	86	1	1	86	85,4	0,6	0,36
2009	95	2	4	190	94,4	0,6	0,36
n = 5	382			90	382	___	7,2

 

y_t=а₀ +а₁t

а₀ = 382/5=76,4

а₁ = 90/10=9

y_t = 76,4+9t

 

Рассчитываем  ошибку аппроксимации:

 

Ϭ_yt = √7,2/n-m = √7,2/3=1,55 т.т.

Вывод: таким образом теоритические данные отличаются от практических на ± 1,55 т.т.

 

 

3.2.Выравнивание уровней по параболе  второго порядка:

1. Песок:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t				yt		Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	31	-2	4	-8	16	-62	124	31,126	-0,126	0,016
2006	36	-1	1	-1	1	-36	36	35,746	0,254	0,06
2007	40	0	0	0	0	0	0	40,086	-0,086	0,007
2008	44	1	1	1	1	44	44	44,146	-0,146	0,02
2009	48	2	4	8	16	96	192	47,926	0,074	0,005
n = 5	199	0	10	0	34	42	396	199,03	-0,03	0,108

 

 

 

y_t=а₀ +а₁t+a₂t²

а₀ = (34*199-10*396)/(5*34-10*10)=40,086

а₁ = 42/10=4,2

a₂ =(5*396-10*199)/(5*34-10*10)=-0,14

y_t = 40,086+4,2t-0,14t²

 

Рассчитаем  ошибку аппроксимации:

Ϭ_yt = √0,108/2 = 0,23 т.т.

Вывод: таким образом теоритические данные отличаются от практических на ±0,23 т.т.

 

2.Щебень:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t				yt		Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	35	-2	4	-8	16	-70	140	21,37	13,63	185,78
2006	34	-1	1	-1	1	-34	34	25,87	8,13	66,0969
2007	30	0	0	0	0	0	0	30,77	-0,77	0,5929
2008	29	1	1	1	1	29	29	36,07	-7,07	49,98
2009	28	2	4	8	16	56	112	41,77	-13,77	189,61
n = 5	156	0	10	0	34	51	315	155,85	0,15	492,06

 

y_t=а₀ +а₁t+a₂t²

 

а₀ = (34*156-10*315)/(5*34-10*10)=30,77

а₁ = 51/10=5,1

a₂ =(5*315-10*1156)/(5*34-10*10)=0,2

y_t = 30,77+5,1t+0,2t²

 

Рассчитаем  ошибку аппроксимации:

Ϭ_yt = √492,06/2 = 15,69 т.т.

Вывод: таким образом теоретические данные отличаются от практических на ±15,69 т.т.

 

3.ПГС:

Годы	Объём перевозок грузов	Обозначения временных  дат, t				yt		Теоретический уровень, yt	y - yt
2005	59	-2	4	-8	16	-118	236	59,26	-0,26	0,07
2006	68	-1	1	-1	1	-68	68	66,97	1,03	1,06
2007	74	0	0	0	0	0	0	75,54	-1,54	2,37
2008	86	1	1	1	1	86	86	84,97	1,03	1,06
2009	95	2	4	8	16	190	380	95,26	-0,26	0,07
n = 5	382	0	10	0	34	90	770	382	-	4,63

 

y_t=а₀ +а₁t+a₂t²

а₀ = (34*382-10*770)/(5*34-10*10)=75,54

а₁ =90/10=9

a₂ =(5*770-10*382)/(5*34-10*10)=0,43

y_t = 75,54+9t+0,43 t²

 

Рассчитаем  ошибку аппроксимации:

Ϭ_yt = √4,63/2 = _{1,52 т.т.}

Вывод: таким образом теоритические данные отличаются от практических на ± 1,52 т.т.

 

Вывод:

Для динамики объёма переработки песка подходит выравнивание по параболе второго порядка, так как ошибка аппроксимации при выравнивании по прямой (0,3651 т.т.) больше, чем ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе второго порядка (0,23 т.т.).

Для динамики объёма переработки щебня подходит выравнивание по прямой, так ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе второго порядка (15,69 т.т.) больше, чем ошибка аппроксимации при выравнивании по прямой (12,82 т.т.).

Для динамики объёма переработки ПГС подходит выравнивание по параболе второго порядка, так как ошибка аппроксимации при выравнивании по прямой (1,55 т.т.) больше, чем ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе второго порядка (1,52 т.т.)

_

Рисунок 1.1. Динамика объёмов переработки песка.

_

Рисунок 2.2. Динамика объёмов переработки щебня.

 

 

 

_

Рисунок 2.3. Динамика объёмов переработки ПГС.

 

 

2.3. Прогнозирование временных рядов:

1. Песок:

Годы	Перевезено грузов, т.т.	Условные обозначения  времени, t
2005	31	-2
2006	36	-1
2007	40	0
2008	44	1
2009	48	2
2010	?	3

 

y_t = 39,8+4,2t =52,4

Определим доверительные  интервалы прогноза. Предположим, что  необходимо гарантировать результат  с вероятностью 95%. Тогда t  (по распределению Стьюдента (n-m=5-2=3), будет равен 3,182. Определим ширину доверительного интервала t_α = 3,182*0,3651=1,16 т.т. Таким образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2010 году объём перевозок грузов будет находиться в пределах от 52,4 – 1,16 до 52,4+1,16 т.т., то есть в пределах от 51,24 до 53,56 т.т.

 

 

 

2.Щебень:

Годы	Перевезено грузов, т.т.	Условные обозначения  времени, t
2005	35	-2
2006	34	-1
2007	30	0
2008	29	1
2009	28	2
2010	?	3

 

y_t = 31,2+5,1t=46,5

Определим доверительные  интервалы прогноза. Предположим, что  необходимо гарантировать результат  с вероятностью 95%. Тогда t  (по распределению Стьюдента (n-m=5-2=3) , будет равен 3,182. Определим ширину доверительного интервала t_α = 3,182*12,82=40,79 т.т. Таким образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2010 году объём перевозок грузов будет находиться в пределах от 46,5 – 40,79 до 46,5+40,79 т.т., то есть в пределах от 5,71 до 87,29 т.т.

3.ПГС:

Годы	Перевезено грузов, т.т.	Условные обозначения  времени, t
2005	59	-2
2006	68	-1
2007	74	0
2008	86	1
2009	95	2
2010	?	3

 

y_t = 76,4+9t =103,4

Определим доверительные интервалы прогноза. Предположим, что необходимо гарантировать результат с вероятностью 95%. Тогда t  (по распределению Стьюдента (n-m=5-2=3) , будет равен 3,182. Определим ширину доверительного интервала t_α = 3,182*1,55=4,93 т.т. Таким образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2008 году объём перевозок грузов будет находиться в пределах от 103,4-4,93 до 103,4+4,93 т.т., то есть в пределах от 98,47 до 108,33 т.т.