Статистика как наука и её информационная база

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Статистические средние величины рассчитываются на основе массовых данных статистически правильно организованного  массового наблюдения. Если статистическая средняя рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений), то она  будет объективной.

Средняя величина абстрактна, так  как характеризует значение абстрактной  единицы.

От разнообразия признака у отдельных  объектов абстрагируется средняя. Абстракция – ступень научного исследования. В средней величине осуществляется диалектическое единство отдельного и общего.

Средние величины должны применяться  исходя из диалектического понимания  категорий индивидуального и  общего, единичного и массового.

Средняя отображает что–то общее, которое складывается в определенном единичном объекте.

 Виды средних величин

Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя квадратическая.

В изучении средних величин применяются  следующие показатели и обозначения.

Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается х; величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначают как x ₁ , х ₂ , x ₃ ,… х _п ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой f.

Средняя арифметическая

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

 

Если некоторые варианты встречаются  несколько раз, то сумму уровней  признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее  число единиц совокупности с последующим  сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя  арифметическая называется средней  арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

 

гдех_i – варианты,

f_i – частоты или веса.

Средняя гармоническая. Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f.

Допустим, известны индивидуальные значения признака х и произведения х/, а частоты f неизвестны, тогда, чтобы рассчитать среднюю, обозначим произведение = х/; откуда:

 

Далее преобразуем формулу средней  арифметической так, чтобы по существующим данным хи m исчислить среднюю. Выразив в формуле средней арифметической / через х и m, получим:

 

Средняя в этой форме называется средней гармонической взвешенной и обозначается х гарм. взв.

Соответственно, средняя гармоническая  тождественна средней арифметической. Она применима, когда неизвестны действительные веса f, а известно произведение fх = z

Когда произведения fх одинаковы или равны единицы (m = 1) применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

 

где х – отдельные варианты;

n – число.

Средняя геометрическая

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Средняя геометрическая равна корню  степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.

Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число.

 

Средняя квадратическая взвешенная равна:

11.Методы расчета средней арифметической.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее  слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в совокупности данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю  заработную плату 
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем  совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется  взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим  это в виде следующей формулы:

•  — цена за единицу продукции;
•  — количество (объем) продукции;

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Заработная плата одного рабочего  тыс.руб; X	Число рабочих  F
3,2	20
3,3	35
3,4	14
4,0	6
Итого:	75

Средняя заработная плата может быть получена путем  деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете  средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3. Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Возраст в годах  !!х??	Число студентов	Среднее значение интервала	Произведение середины интервала (возраст)  на число студентов
до 20	65	(18 + 20) / 2 =19  18 в данном случае граница нижнего интервала. Вычисляется как 20 — (22-20)	1235
20 — 22	125	(20 + 22) / 2 = 21	2625
22 — 26	190	(22 + 26) / 2 = 24	4560
26 — 30	80	(26 + 30) / 2 = 28	2240
30 и более	40	(30 + 34) / 2 = 32	1280
Итого	500		11940

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете  средних в качестве весов могут  использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые  более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение  средней на сумму частот всегда  равно сумме произведений вариант  на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая  сумма отклонений индивидуальных  значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов  отклонений вариантов от средней  меньше, чем сумма квадратов отклонений  от любой другой произвольной  величины  , т.е:

5. Если все  варианты ряда уменьшить или  увеличить на одно и то же  число  , то средняя уменьшится на это же число  :

6.Если все  варианты ряда уменьшить или  увеличить в   раз, то средняя также уменьшится или увеличится в  раз:

7.Если все  частоты (веса) увеличить или уменьшить  в  раз, то средняя арифметическая не изменится:

 

Средняя арифметическая

1.1 Средняя арифметическая  простая.

При небольшом  объёме исходной информации, когда  исходные данные не сгруппированы, применяется средняя арифметическая простая, которая рассчитывается по формуле:

где    ΣX_i - сумма значений;

n- число значений.

Например: В бригаде четверо рабочих в возрасте  21, 22, 23 и 24 года. Средний возраст рабочего бригады составляет

1.2 Средняя арифметическая  взвешенная.

Когда исходные данные сгруппированы, то расчёт средней производится по

формуле средней арифметической взвешенной:

где f_i – частота ряда распределения, с которой отдельные варианты встречаются в совокупности (или удельный вес отдельных значений во всей совокупности).

Например: Рабочие бригады по возрасту распределились следующим образом:

Возраст рабочих, лет (X)	21	22	23	24
Численность рабочих, чел. (fi)	2	3	4	1

Средний возраст рабочего бригады  составляет

Если исходная информация представлена в виде интервального ряда распределения, то средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

 

где X_c - центральное (серединное) значение признака в интервале.

Например: По имеющимся данным определить средний стаж рабочего бригады:

Стаж работы, лет	0 - 2	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10
Численность рабочих, чел. (fi)	3	4	7	10	6

Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала: