Статистика как наука и её информационная база

Стаж работы, лет	0 - 2	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10
(Xc )

Оформим исходные данные а следующем виде:

Стаж работы, лет	0 - 2	2 - 4	4 - 6	6 - 8	8 - 10
(Xc )	1	3	5	7	9
Численность рабочих, чел. (fi)	3	4	7	10	6

 

 

Средний стаж рабочего бригады составляет

Если  в интервальном ряду распределения  имеются «открытые» интервалы, то для  установления центральных (серединных) значений «открытых» интервалов на каждый из них условно распространяется величина смежного «закрытого» интервала.

Например: Работники организации по величине заработной платы за январь 2010 года распределились следующим образом:

Группы работающих по величине заработной платы за январь 2010 года, тыс.руб.	Численность работников, в % к итогу (fi)
До 9	10
9 - 12	24
12 - 15	40
15 - 20	20
20 и выше	6
Итого:	100

Определить по имеющимся данным среднюю зарплату работников организации.

Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. На каждый открытый интервал условно распространим величину смежного закрытого интервала:

Группы работающих по величине заработной платы за январь 2010 года, тыс.руб.	Численность работников, в % к итогу (fi)	Центральное (серединное) значение интервала (Xc), руб
До 9	10
9 - 12	24
12 - 15	40
15 - 20	20
20 и выше	6
Итого:	100

Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостямиРезультаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать. В данном примере численность работников выражена не частотами, а частостями – удельными весами численности отдельных групп во всей совокупности, что не влияет на порядок расчёта средней.

Средняя зарплата работников организации составляет:

Необходимо  небольшое пояснение применительно  к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда. Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ. Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности. Это правило имеет большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа.

12.Свойства  средней арифметической.

 

Свойства средней арифметической:

1. Произведение  средней на сумму частот всегда  равно сумме произведений вариант  на частоты. Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней.

2. Если от  каждой варианты отнять (прибавить)  какое-либо произвольное число,  то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

3. Если каждую  варианту умножить (разделить) на  какое-то произвольное число,  то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

4. Если все  частоты (веса) разделить или умножить  на какое-либо число, то средняя  арифметическая от этого не  изменится. Дело в том, что  веса при исчислении средней  арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет значения средней.

5. Сумма отклонений  отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Перечисленные свойства могут быть использованы для  того, чтобы облегчить технику  исчисления средней арифметической.

Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

13.Средняя  гармоническая: назначение и формула  расчета.

Средняя гармоническая — это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Различают среднюю гармоническую простую и взвешенную.

Средняя гармоническая  простая.

Средняя гармоническая  взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.

Средняя арифметическая и средняя гармоническая величины могут применятся в одних и тех же ситуациях, но по разным данным. Если в ИСС неизвестен числитель, то в расчетах применяется средняя арифметическая величина. Если в ИСС неизвестен знаменатель, то в расчетах используется средняя гармоническая величина.

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней  арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

 (5.6)

К примеру, нам  нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и  тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется  гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

 (5.7)

Данная формула  используется в тех случаях, когда  веса (или объемы явлений) по каждому  признаку не равны. В исходном соотношении  для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при  расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных  товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:

Вид товара	Цена за единицу, руб.	Сумма реализаций, руб.
а	50	500
б	40	600
с	60	1200

Получаем

Если здесь  использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:

14. Средняя квадратическая  и средняя кубическая. Свойство мажорантности.

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в  экономической практике возникает  потребность расчета среднего размера  признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить  неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной.

3.1.3.1. Средняя  квадратическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем имеет вид:

,

где  - квадрат значений осредняемого признака;  - число единиц совокупности.

3.1.3.2. Средняя  квадратическая взвешенная

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается f раз:

,

где f – вес варианты х.

3.1.3.3. Средняя  кубическая простая и взвешенная

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов  отдельных значений признака на их число:

,

где  - значения признака, n- их число.

Средняя кубическая взвешенная:

,

где f-вес варианты х.

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для  какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

 

 

 

15.Медиана:  понятие и методы расчета. Квартиль  и дециль.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство  медианы заключается в том, что  сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем  от любой другой величины.

Применение  медианы позволяет получить более  точные результаты, чем при использовании  других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

 

где х_ме– нижняя граница медианного интервала;

i_Me – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

S_Me—1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная  частота составляет половину или  больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота  меньше половины численности совокупности.