Дискретные системы

ДИСКРЕТНЫЕ  СИСТЕМЫ  АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

1.1. Общие сведения

 

Дискретные  системы – системы, в состав которых, помимо типовых динамических звеньев, входят одно или несколько звеньев, производящих квантование непрерывного сигнала в дискретный. Это или импульсный, или релейный элемент, или цифровое устройство.

К дискретным системам относятся импульсные, релейные и цифровые. В импульсных системах производится квантование сигнала по времени, в релейных – по уровню, в цифровых – по времени и по уровню.

Импульсная система состоит из импульсных элементов (одного или нескольких) и непрерывных частей, содержащих типовые динамические звенья. Импульсные элементы, производящие квантование (прерывание) сигнала по времени, позволяют получать весьма большие коэффициенты усиления по мощности. Кроме того, при импульсном режиме уменьшается расход потребляемой энергии системы. Примерами импульсных систем могут служить системы радио и оптической локации, системы с частотными датчиками и др.

Релейные системы автоматического управления можно отнести, как и импульсные, к системам прерывистого действия, но их существенное отличие от импульсных состоит в том, что релейные системы по своему принципу являются нелинейными системами. В релейных системах моменты времени, в которые происходит замыкание и размыкание системы, заранее неизвестны; они определяются внутренними свойствами самой системы. Этим обусловливаются основные особенности динамики процессов регулирования в релейных системах. Благодаря простоте реализации и приемлемому качеству работы релейные системы получили широкое распространение в бытовой технике, например, системы регулирования температуры в холодильниках или нагрева электрического утюга и др.

К цифровым системам относятся системы автоматического управления и регулирования, в замкнутый контур которых включается цифровое вычислительное устройство, что позволяет реализовать сложные алгоритмы управления. Включение цифрового вычислительного устройства в контур системы управления сопряжено с преобразованием непрерывных величин в дискретные на входе и с обратным преобразованием на выходе. При достаточно высокой тактовой частоте работы вычислительного устройства (по сравнению с инерционностью системы) во многих случаях можно производить расчет цифровой системы в целом как непрерывной, а достаточно большое числе разрядов (8¸16) преобразователей непрерывной величины в дискретную и дискретной в непрерывную позволяет во многих случаях пренебрегать нелинейностью операции квантования сигнала по уровню. В общем случае цифровая система автоматического управления является нелинейной дискретной системой. Примерами цифровых систем служат системы, содержащие в своем составе компьютеры, разнообразные микропроцессорные системы управления и т.д.

Дискретные системы имеют большое  значение в современной технике.

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ  ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

Решетчатые функции  и разностные уравнения

 

1. Определение решетчатой функции.

 

 Наряду с функциями, определенными  на всей вещественной прямой t, можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t₁, t₂, … Такие функции называют решетчатыми. Будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t = nT, где n – любое целое число, а T – постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать f [nT].

 

Любой непрерывной функции f(t) можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t в виде

 

.

 

При каждом фиксированном значении переменной ε функцию f (nT + εT) можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках εT, (ε + 1)T, (ε + 2)T … Такие функции называются смещенными решетчатыми функциями. Для них используется обозначение f (nT + εT) = f [nT, εT] (в дальнейшем будем использовать упрощенное обозначение f [n, ε]). Благодаря непрерывности функции f(t) функция f [nT, εT] является непрерывной по аргументу ε и удовлетворяет условию

 

f [(n–1)T, T] = f [nT, 0]

 

2. Конечные разности решетчатых функций.

 

Выражение Δf [n] = f [n + 1] – f [n] называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции (кратко просто первой разностью).

 

Первая разность от решетчатой функции  Δf [n] называется разностью второго порядка решетчатой функции f [n], т.е.

 

Δ²f [n] = Δf [n + 1] – Δf [n].

 

Разность k-го порядка решетчатой функции определяется формулой

 

Δ^kf [n] = Δ^k–1f [n + 1] – Δ^k–1f [n]

 

Разность любого порядка можно  выразить через значения решетчатой функции f [n]. В частности,

Δ²f [n] = Δf [n + 1] – Δf [n] = f [n + 2] – 2f [n + 1] – f [n].

 

Разности произвольного порядка определяют при помощи рекуррентных соотношений с использованием биноминальных коэффициентов.

Следует отметить, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией.

 

Рассмотренные конечные разности называют прямыми (упреждающими). Кроме того, существуют обратные (отстающие) конечные разности:

 

Ñ f [n] = f [n] - f [n – 1]  (первая обратная разность)

 

 

3. Разностные уравнения.

 

Всякое соотношение, связывающее  решетчатую функцию x[n] и ее разности до некоторого порядка k:

Ф [n, x[n], Δx [n], …, Δ^kx [n]] = 0,

 

называется разностным уравнением. Учитывая, что все конечные разности могут быть выражены через значения решетчатой функции, то разностное уравнение может быть представлено в виде

 

Ф₁ [n, x[n], x [n + 1], x [n + 2], …, x [n + k]] = 0

(уравнение порядка k, так как в нем в явном виде содержатся функции x[n] и x [n + k])

 

Рассмотрим неоднородные линейные разностные уравнения m-го порядка

 

b₀D^m x [n, ε] + b₁D^m-1 x [n, ε] + ... + b_m-1D x [n, ε] +b_m x [n, ε] = f [n, ε].     (1)

 

Здесь f [n, ε] – заданная, а x [n, ε] – искомая решетчатые функции. При f [n, ε] º 0 уравнение (1) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет x [n, ε].

Разностное уравнение (1) можно записать в другом виде:

 

a₀ x [n + m, ε] + a₁ x [n + m -1, ε] + ... + a_m x [n, ε] = f [n, ε].            (2)

 

Коэффициенты этого уравнения  определяются из выражения

,

где биноминальные коэффициенты (число  сочетаний)

 

.

 

Разностные  уравнения можно рассматривать  как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения x [n + m, ε]  при n = 0, 1, 2, ... для уравнения (2) и заданных начальных значений x [0, ε], x [1, ε], ..., x [m – 1, ε].

Решение разностного уравнения  при s = 0 представляет собой рекуррентную формулу. Например, для случая записи разностного уравнения через обратные разности решение будет иметь вид

,    для n =0, 1, 2, ...

при нулевых начальных условиях x [n] º 0 при n < 0. Структурная схема решения приведена на рисунке.

 

              

Структурная схема решения  разностного уравнения

 

 

Общее решение однородного разностного  уравнения при некратных корнях характеристического уравнения  может быть записано следующим образом:

x [n, ε] =

,

где z_i  - корни характеристического уравнения

 

a₀ z ^m + a₁z ^{m – 1} + ... + a_m = 0

C_i - постоянные коэффициенты.

 

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в  общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование, w-преобразование, а также частотные методы.

 

Уравнения импульсных САУ

 

1. Общие сведения об импульсных системах.

 

Системы автоматического  регулирования, в которых применяется  импульсная модуляция, называются импульсными системами автоматического регулирования.

 

При импульсной модуляции  непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов, изменяющихся в зависимости от модулируемого сигнала. Существуют различные способы импульсной модуляции.

В зависимости от того, какой из параметров последовательности импульсов  изменяется по закону изменения модулирующей величины, различают следующие виды импульсной модуляции:

 

1) амплитудно-импульсную модуляцию – АИМ (амплитуда импульса пропорциональна входному сигналу: A = f(x) при T = const,  Т_имп  = const);

2) широтно-импульсную модуляцию – ШИМ (длительность импульса пропорциональна входному сигналу: Т_имп = f(x) при A = const, T = const);

3) временную импульсную модуляцию – ВИМ

 

Ограничимся рассмотрением одного из них, называемого амплитудно-импульсной модуляцией. Этот способ модуляции основан на замене непрерывного сигнала f (t) последовательностью импульсов, следующих друг за другом с постоянным интервалом времени T (показано на рисунке). Амплитуда этих импульсов пропорциональна значениям модулируемого сигнала f (t) в дискретные моменты времени t = nT.

 

 

Если s (t) – функция, описывающая форму одиночного импульса, то сигнал y (t), получаемый в результате амплитудно-импульсной модуляции сигнала f (t), может быть представлен следующим выражением

 

.       (1)

 

Устройство, в котором осуществляется импульсная модуляция, называется импульсным элементом. Импульсные системы автоматического регулирования можно представить как соединение импульсных элементов с элементами непрерывного действия.

 

Ниже показаны примеры структурных схем импульсных систем с одним импульсным элементом (ИЭ – импульсный элемент, НЧ – непрерывная часть системы).

 

         а. Разомкнутая  импульсная система                       б. Замкнутая импульсная система

 

Для описания импульсных систем применяется два эквивалентных способа. Первый состоит в описании системы с помощью разностных уравнений. Второй – в описании импульсной системы с помощью преобразования, содержащего суммы решетчатых функций и аналогичного интегральному преобразованию (интеграл Дюамеля).

Для облегчения анализа  импульсных систем вводится понятие  простейшего импульсного элемента. Простейший импульсный элемент описывается уравнением

 

,

 

где δ(t) – дельта-функция. Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение обычного импульсного элемента, хотя и не может быть реализовано никаким реальным устройством.

Реальный импульсный элемент, описываемый уравнением (1), можно  представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента и непрерывного устройства с весовой функцией s (t). Уравнение такого соединения будет иметь вид

 

,

 

что совпадает с уравнением (1).

 

Непрерывный элемент с весовой  функцией s (t) называется формирующим элементом. Разомкнутую импульсную систему можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, формирующего элемента и непрерывной части. Непрерывную часть и формирующий элемент обычно объединяют в приведенную непрерывную часть импульсной системы (ПрНЧ).

 

 

Составим уравнение разомкнутой  импульсной системы с одним импульсным элементом в предположении, что непрерывная часть системы описывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами. В этом случае сигнал на выходе непрерывной части будет описываться интегральным преобразованием

 

,

 

где – весовая функция рассматриваемой непрерывной системы регулирования, а функции (i = 1, 2, 3, …, k) образуют фундаментальную систему решений однородного дифференциального уравнения a₀ x^k(t) + a₁ x^(k–1)(t) + … + a_k x = 0, причем постоянные c_i (i = 1, 2, 3, …, k) определяются начальными условиями.

Подставляя в это уравнение  выражение для импульсного элемента, получим уравнение разомкнутой импульсной системы

 

 

или для  нулевых начальных условий

 

 

где k(t) – имеет смысл весовой или импульсной переходной функции приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы.

 

Можно показать, что если продолжительность импульса s (t) модулирующей последовательности мала, весовая функция приведенной непрерывной части k(t) приближенно может быть заменена весовой функцией непрерывной части k_н(t), умноженной на постоянный коэффициент, равный площади импульса: .

Перейдем в рассматриваемом  уравнении к относительному масштабу времени  и введем обозначения