Дискретные системы

 

Выражение для установившейся ошибки (1) при ε = 0 примет вид

 

    (2)

 

Установившиеся ошибки замкнутой  импульсной системы от задающего  воздействия находятся при f = 0.

При g(t) = g₀ ´1(t)  установившаяся ошибка определяется как

 

и называется статической ошибкой  или ошибкой системы по положению.

При g(t) = g₁´t  установившаяся ошибка называется ошибкой системы по скорости и определяется как

Если  , то получаем ошибку системы по ускорению

 

Из последних двух выражений  следует, что установившаяся ошибка от задающего воздействия импульсной системы не только прямо пропорциональна  величине задающего воздействия, но и периоду дискретности.

Импульсные системы классифицируются в соответствии с числом полюсов  дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z) при z = 1. Если дискретная передаточная функция импульсной разомкнутой системы

,

 

а W₁(z) не содержит полюсов при z = 1, то при r = 0 система называется статической, при r = 1 – астатической первого порядка и т.д. В астатических системах W(1) ®  ¥.

  Для того чтобы импульсная система имела нулевую установившуюся ошибку от задающего воздействия, необходимо, чтобы степень астатизма r системы превышала степень полинома k входного воздействия, то есть

x_g(¥) = 0, если k < r ;

 если k = r ;

x_g(¥) = ¥, если k > r .

 

Коэффициенты ошибок. Если задающее воздействие g(t) имеет произвольный вид, предельное значение ошибки вычисляется по формуле

                                            (3)

где  c₀, c₁, c₂, ... – коэффициенты ошибок по положению, скорости, ускорению и т.д.

Коэффициенты ошибок находят по дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по ошибке

    для i = 0, 1, 2, ..., k.               (4)

 

Число коэффициентов находится  в соответствии с наибольшей степенью полинома входного воздействия.

В астатических системах несколько  первых коэффициентов ошибок равны нулю: c₀ = c₁ = ... = c_{r – 1} = 0, где r – степень астатизма.

 

Статистическая точность импульсных систем исследуется аналогично непрерывным системам. При прохождении случайного сигнала через импульсную систему ее выходная координата и ошибка воспроизведения представляют собой тоже случайные процессы.

Качество работы импульсной системы  при стационарных случайных воздействиях оценивается средними значениями квадрата выходной переменной

 

                                                        (5) 

и квадрата ошибки

                ,                      (6)

 

где Ф(e ^jwT ) и Ф_xg(e ^jwT ) – частотные передаточные функции замкнутой импульсной системы;

       – спектральная плотность решетчатого случайного процесса на входе системы.

 

Коррекция импульсных систем. Введение в систему корректирующих устройств необходимо, чтобы в результате этого система удовлетворяла заданным требованиям по точности и по качеству процесса управления, в том числе переходных процессов.

Исходя из требований составляются желаемые характеристики импульсной системы. Чтобы их реально получить, в систему  вводятся корректирующие устройства. Для коррекции импульсных систем имеется большее разнообразие технических средств, чем у непрерывных систем, так как кроме непрерывных корректирующих устройств можно вводить импульсные и цифровые. Кроме того, путем коррекции импульсных систем возможно достижение конечной длительности переходных процессов.

Непрерывная коррекция. В случае непрерывной коррекции изменяют характеристики непрерывной части импульсной системы путем введения либо последовательных или параллельных корректирующих устройств, либо местной отрицательной или положительной обратной связи, в результате чего формируется передаточная функция скорректированной системы.

При расчете непрерывных корректирующих цепей целесообразно перейти  от желаемой характеристики импульсной системы к желаемой характеристике ее непрерывной части. После нахождения желаемых характеристик непрерывной части задача синтеза решается так же, как она решалась для обыкновенных линейных систем автоматического управления.

Импульсная коррекция осуществляется включением в контур системы импульсного фильтра, который преобразует входной сигнал x в последовательность импульсов u. Импульсы на выходе фильтра образуются путем амплитудно-импульсной модуляции входного воздействия с необходимыми для коррекции системы преобразованиями

                                   (7)

 

где w_k[n] – импульсная функция непрерывной части импульсного фильтра.

Отсюда передаточная функция импульсного  фильтра определяется как

 

W_k(z) = Z{w_k[n]}.                                    (8)

 

Далее по передаточной функции (8) из таблиц находятся импульсные корректирующие цепи [5].

Наиболее просто импульсные корректирующие устройства реализуются с помощью импульсных RC-цепей. Различают три структуры импульсных RC-цепей: последовательную, с обратной связью и с каскадным соединением импульсных цепей первых двух структур.

 

Цифровые корректирующие фильтры реализуются с помощью цифрового вычислителя. В этом случае входной сигнал фильтра x преобразуется в аналого-цифровом преобразователе, и далее решение разностного уравнения на цифровом вычислителе u выводится в непрерывную часть импульсной системы через цифро-аналоговый преобразователь.

В настоящее время широкое распространение  получили цифровые системы, в которых  функцию вычислительного устройства выполняют микропроцессоры и компьютеры.

Синтез цифровых систем сводится к выбору цифрового корректирующего фильтра, последовательное включение которого с непрерывной частью системы, обычно включающей в себя объект управления, регулирующий орган, исполнительный механизм, усилитель мощности и датчик, позволяет получить систему с желаемыми характеристиками. Часто в качестве таких характеристик используют аналоговые эквиваленты: импульсные функции, переходные функции и частотные характеристики, что обосновано, как отмечалось выше, при достаточно высокой тактовой частоте работы цифрового вычислителя и большой разрядности преобразователей.

Рассмотрим синтез цифровой системы, импульсная функция разомкнутой  цепи которой должна соответствовать  импульсной функции аналогового эквивалента, т.е. w_ц [n] = w_a(t)|_t = nT.

Передаточная функция разомкнутой  цепи аналогового эквивалента определяется как изображение по Лапласу, т.е.

 

W_а(p) = L[w_а(t)].

 

На основании соотношения для  дискретной передаточной функции разомкнутой  цифровой системы при g = 1 дискретная передаточная функция цифрового корректирующего устройства может быть получена следующим образом

      { },                        (9)

 

где W_НЧ (p) – передаточная функция непрерывной части цифровой  системы.

Цифровая система, спроектированная таким образом, совпадает по своим свойствам с аналоговым эквивалентом только в смысле равенства дискретных значений импульсных функций, т.е. при задающем воздействии в виде d-функций. При других входных воздействиях совпадение дискретных значений выходной величины в цифровой системе и аналоговом эквиваленте не гарантируется.

Синтез цифровых систем, который  гарантирует совпадение переходных процессов в проектируемой системе и ее аналоговом эквиваленте, производится аналогичным образом, учитывая что

 

W_а(p) = p L[h_а(t)],

 

где h_а(t) – переходная функция аналогового эквивалента.

В цифровых системах, дискретная передаточная функция разомкнутой цепи которых

 

                      (10)

 

переходный процесс заканчивается  за конечный промежуток времени, равный mT; в последующие дискретные моменты времени значения h[n] не изменяются и остаются равными h[m].

Если нули и полюса передаточной функции непрерывной части цифровой системы на плоскости комплексного переменного z расположены внутри круга единичного радиуса, то можно спроектировать систему, в которой длительность переходного процесса равняется одному периоду дискретности T.

 

При синтезе цифровых систем в частотной  области желаемая дискретная передаточная функция проектируемой системы определяется частотными характеристиками аналогового эквивалента. В частности, частотный метод синтеза позволяет найти передаточную функцию разомкнутой цепи аналогового эквивалента W_а(p). Далее, как и в предыдущих случаях, по выражению (9) вычисляется дискретная передаточная функция цифрового корректирующего устройства.

После определения передаточных функций  корректирующих устройств следующим  этапом синтеза цифровой системы является их техническая реализация. Для этого используются следующие методы [9]:

1) метод программирования, применяемый в микропроцессорных системах и системах с компьютерами. Реализация корректирующего устройства сводится к составлению программы по его разностному уравнению;

2) метод, базирующийся на использовании цифровых фильтров, реализуемых на элементах цифровой техники по алгоритму, определяемому разностным уравнением корректирующего устройства.

В зависимости от вида представления  передаточной функции цифрового  фильтра различают разнообразные формы его структурных схем.

В самом общем случае дискретная передаточная функция корректирующего устройства имеет вид

           (1.117)

где U(z) и X(z) - z-преобразования выходного  и входного сигналов фильтра.

Эта передаточная функция соответствует  рекурсивному фильтру. Если A(z) = 0, то будет нерекурсивный фильтр.

Из передаточной функции (1.117) следует  разностное уравнение корректирующего  устройства

 

                    (1.118)

 

решение которого представляет собой  рекуррентную формулу:

 

                    (1.119)

 

Структурная схеме программной  реализации решения разностного  уравнения (1.119) приведена на рис. 1.18. Она соответствует прямому программированию [3]. Для аппаратной реализации прямой схемы цифрового фильтра требуется 2k линий задержки.

Более экономными являются канонические схемы, для реализации которых требуется количество линий задержки, равное порядку передаточной функции цифрового фильтра.

Для получения первой канонической схемы (рис. 1.19) уравнение (1.119) переписывают следующим образом:

где f[n] - промежуточная переменная.

 

Рис. 1.18. Прямая схема цифрового  фильтра

 

 

 

Рис. 1.19. Первая каноническая схема  цифрового фильтра

 

 

Вторая каноническая схема цифрового фильтра (рис. 1.20) получается аналогичным образом [3].

 

 

Рис. 1.20. Вторая каноническая схема  цифрового фильтра

 

Помимо рассмотренных канонических структур существуют и другие: последовательная и параллельная [9].

Для определения последовательной канонической схемы цифрового фильтра  необходимо найти нули и полюса дискретной передаточной функции фильтра. При этом выражение (1.117) можно записать в виде

     (1.120)

 

Таким образом, цифровой фильтр состоит из последовательного соединения цифровых фильтров первого порядка, соответствующих вещественным полюсам (рис. 1.21,а), и фильтров второго порядка, соответствующих паре комплексно-сопряженных полюсов (рис. 1.21,б). Представление передаточной функции в виде (1.120) называется последовательным программированием, а структура фильтра - последовательной канонической схемой.

Представление передаточной функции  цифрового фильтра в виде

 

                               (1.121)

называют параллельным программированием. Цифровой фильтр в этом случае представляет собой параллельное соединение фильтров первого и второго порядков. Такую структуру называют параллельной канонической схемой.

 

Рис. 1.21. Каноническая схема цифрового фильтра:

а - первого порядка; б - второго  порядка

 

 

Кроме того, на практике широко используются типовые цифровые корректирующие звенья [3, 13].