Дискретные системы

 

W(z, ε) = Z _ε {W_ПНЧ(p)}.

 

Таким образом, дискретная передаточная функция определяется по импульсной функции приведенной непрерывной части системы.

Для нахождения дискретных передаточных функций можно пользоваться таблицами соответствий между функциями времени, их изображениями по Лапласу и их z-изображениями.

В большинстве случаев импульсный элемент формирует прямоугольные  или близкие к прямоугольным  импульсы  длительности T_имп = gТ , то есть импульсная функция формирующего элемента имеет вид, представленный на рисунке.

 

Выходная величина формирующего элемента

 

Прямоугольный импульс единичной  высоты и длительности gT можно представить как

 

 

 

В этом случае передаточная функция  формирующего элемента

 

Тогда расчетное соотношение для  дискретной передаточной функции разомкнутой  импульсной системы будет выглядеть следующим образом

{ W_нч(p)}= W₁(z, ε) - W_1g (z, ε),

где

{ W_нч(p)};

{ W_нч(p)}.         

Передаточную функцию W_1g (z, ε) можно выразить через передаточную функцию W₁(z, ε) в соответствии с теоремой сдвига. В результате при ε = 0 получим W_1g(z) = z ^-1 W₁(z, 1-g).

 

Частные случаи.

1. Если импульсный элемент генерирует короткие по сравнению с периодом дискретности прямоугольные импульсы, т.е. g << 1, то можно приближенно принять е^{- gТp} »1 - gTp. Тогда получим

 

W(z, ε) = gT Z _ε {W_НЧ(p)}.

 

Эта формула справедлива, если пренебречь влиянием конечной длительности импульса. В большинстве случаев для выполнения достаточно, чтобы постоянные времени непрерывной части системы были больше длительности импульса, т.е. T _i >>  gТ (i = 1, 2, 3, ...).

 

2. Импульсный элемент генерирует прямоугольные импульсы, длительность которых совпадает с периодом дискретности, т.е. g = 1 (как было показано на рисунке). Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ. Такой формирующий элемент называется экстраполятором нулевого порядка или запоминающим элементом. Дискретная передаточная функция в этом случае будет

{ W_нч(p)} = { }.

Таким образом, расчетное соотношение  для дискретной передаточной функции  разомкнутой цифровой системы упрощается:

 

 

Пример.

Передаточная функция непрерывной  части равна  . Определить изображение по дискретному преобразованию Лапласа, соответствующее этой передаточной функции.

 

Решение. В соответствии с формулой, связывающей дискретное и простое преобразования Лапласа, получим

 

, где  .

Тогда с учетом того, что  , получим

 

 или  .

 

В случае малой  длительности импульса импульсного элемента, также можно записать выражение для передаточной функции приведенной непрерывной части:

 

,

где постоянный коэффициент  был определен ранее.

 

 

5. Структурные схемы и передаточные  функции замкнутых дискретных систем

 

Замкнутая линейная амплитудная импульсная система (АИС), включающая в себя импульсный элемент (ИЭ),  непрерывную часть  (НЧ) и датчик рассогласования (ДР), может  быть представлена в виде структурной  схемы, изображенной на рисунке. Она состоит из простейшего импульсного элемента (ПИЭ) с периодом дискретности T, формирующего элемента (ФЭ) с передаточной функцией W_ФЭ(p) и непрерывной части (НЧ), разделенной на два участка с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p).

 

Структурная схема замкнутой импульсной системы

 

Для получения математического  описания замкнутой импульсной системы  установим связи между выходной управляемой величиной y и рассогласованием x с одной стороны и задающим g и возмущающим f  воздействиями с другой стороны.

Определим сначала дискретную передаточную функцию замкнутой  импульсной системы по задающему воздействию, для чего примем f (t) = 0.

К входу простейшего  импульсного элемента прикладывается рассогласование, определяемое как

 

x(t) = g(t) - y(t).

 

Так как простейший импульсный элемент  замыкается лишь в дискретные моменты времени t = nT, то на его выходе образуется сигнал, который можно записать через решетчатые функции в виде

 

x[n] = g[n] - y[n].

 

Подвергнув это уравнение z-преобразованию, получим уравнение ошибки в области изображений:

 

X(z) = G(z) - Y(z).        (1)

 

Уравнение разомкнутой импульсной системы

 

Y(z, ε) = W(z, ε) X(z),         (2)

где

W(z, ε) = Z _ε {W_ФЭ(p)W₁(p)W₂(p)}. 

При ε = 0 получим изображение решетчатой функции y[n]

 

Y(z) = W(z) X(z).

 

Тогда уравнение замкнутой импульсной системы относительно изображения  рассогласования

        (3)

 

Если далее подставить (3) в (2), то получим уравнение замкнутой  импульсной системы, описывающее процессы в любой момент времени t = (n + ε)T:

 

где

.

Функция Ф(z, ε) называется дискретной передаточной функцией замкнутой импульсной системы и равняется отношению модифицированного (для смещенных функций) z-изображения выходной управляемой величины замкнутой импульсной системы к z-изображению входного задающего воздействия при нулевых начальных условиях:

.   

Дискретная передаточная функция  замкнутой импульсной системы, также  как и разомкнутой, зависит от относительного времени ε.

При  ε = 0, то есть для моментов времени t = nT

 

.

 

Уравнение ошибки в изображениях для  любого  момента времени  t = (n + ε)T, характеризующее воспроизведение системой задающего воздействия, имеет вид

 

 

Из последнего выражения  следует, что для любого ε (любого момента времени) передаточную функцию замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия определить невозможно, так как она зависела бы от входного сигнала g.

Однако дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия существует при ε = 0, т.е. для моментов времени t = nT:

 

.

 

Далее найдем изображение выходной управляемой величины от возмущающего воздействия f (t) при g(t) = 0, для чего исходную структурную схему системы преобразуем к виду, показанному на следующем рисунке.

Приведенная структурная схема  замкнутой импульсной системы

 

На основании приведенной структурной  схемы z-преобразование выходной величины системы можно записать в следующем виде

 

Y (z, ε) = X₁(z, ε) - X₂(z, ε) = Z _ε {W₂(p) F(p)} - W(z, ε) Y(z).

 

 

При ε = 0, т.е. для дискретных моментов времени t = nT, это уравнение можно переписать как

 

.

 

Подставив его в предыдущее, получим уравнение для выходной величины системы в z-изображениях для любого момента времени t = (n + ε)T:

 

.

 

Отсюда следует, что ввести понятие  дискретной передаточной функции замкнутой  импульсной системы по возмущающему воздействию невозможно, так как она зависела бы от последнего. Для дискретных моментов времени t = nT, то есть при ε = 0, можно написать лишь следующее отношение

 

,

 

которое совпадает с выражением для дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по ошибке относительно задающего воздействия  в дискретные моменты времени t = nT.

Таким образом, в отличие от непрерывных  систем, для дискретных систем при  любых значениях ε имеет место только одна передаточная функция, а для  ε = 0  – две передаточные функции относительно задающего воздействия; передаточные функции по возмущающему воздействию не существуют.

 

 

6. Частотные характеристики  импульсных систем

 

Частотные характеристики импульсных систем определяются аналогично обыкновенным линейным системам.

Выражения для частотных характеристик  импульсных систем получаются из их передаточных функций путем замены оператора z на e ^jwT. Так как частота w входит в показатель степени числа e, то частотные характеристики являются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен ±p/T. Следовательно, нельзя различить составляющие, частоты которых кратны частоте квантования импульсного элемента w₀ = 2p/Т.

Таким образом, частотная передаточная функция разомкнутой импульсной системы имеет вид:

.

Функция W(e ^jwT, ε) представляет собой комплексный спектр дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z, ε) и полностью характеризует частотные свойства разомкнутой системы, т.е. позволяет вычислить установившуюся реакцию системы на решетчатое гармоническое воздействие g[nT] = g_m sin[wnT] произвольной частоты w.

 

Как и для обыкновенных линейных систем, рассматривают амплитудную, фазовую, вещественную и мнимую частотную характеристики:

 

A(w, ε) = mod W(e ^jwT, ε);

y(w, ε) = arg W(e ^jwT, ε);

U(w, ε) = Re W(e ^jwT, ε);

V(w, ε) = Im W(e ^jwT, ε).

 

Свойства частотных  характеристик импульсных систем.

 

1. Кроме зависимости от частоты w характеристики зависят от относительного времени ε. Графически это выражается серией кривых для различных значений ε. Обычно достаточно одной характеристики при ε = 0.

2. В соответствии с периодичностью частотной передаточной функции амплитудно-фазовая частотная характеристика W(e ^jwT) полностью определяется своими значениями в интервале  -p¤ Т £ w £ p¤ Т.

3. Так как вещественная частотная характеристика является четной функцией, а мнимая - нечетной, то достаточно рассматривать интервал частот 0 £ w £ p¤ Т.

4. В крайних точках интервала 0 £ w £ p¤ Т амплитудно-фазовая частотная характеристика принимает вещественные значения.

5. При уменьшении периода дискретности T, т.е. при увеличении частоты квантования w₀ = 2p/Т, частотные характеристики импульсных систем приближаются к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом частотный интервал  0 £ w £ p¤ Т  растягивается на всю ось w при 
T ® 0.

 

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной  системы  W(e^jwT)  строится  по точкам  в интервале  частот  0 £ w £ p¤ Т.

Частотные характеристики импульсных систем, как следует из приведенного вначале уравнения, описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно абсолютной псевдочастоты l. Переход к псевдочастоте основан на переходе от  z-преобразования к w-преобразованию с помощью подстановки

                                                 (1)

 

с последующей заменой комплексной  переменной w на абсолютную псевдочастоту

 

   w = jlT/2.                                                (2)

 

При этом реальная частота w и псевдочастота l связаны соотношением

 

                                                       (3)

Удобство псевдочастоты заключается  в том, что, как следует из (3), на частотах где выполняется условие wT < 2, она приближенно равна угловой частоте, т.е. l » w. Нетрудно убедиться, что при изменении частоты от -p¤ Т  до +p¤ Т псевдочастота принимает значение -¥ до +¥.

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z) к частотной характеристике W(jl) следует сделать замену

 

,                                       (4)

то есть

                             (5)

 

Полученное уравнение может  быть использовано для построения логарифмических частотных характеристик.

 

Приближенный способ построения ЛЧХ импульсных систем. Для удобства логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и высокочастотную, служит частота среза w_с  в предположении, что