Дискретные системы

                                           (6)

где Т – период дискретности.

Последнее условие необходимо выполнять  вследствие требований, предъявляемых к обеспечению запаса устойчивости и точности работы системы, и согласуется с теоремой Котельникова-Шеннона.

Рассмотрим методику построения ЛЧХ  на примере амплитудной импульсной системы, включающей в себя экстраполятор нулевого порядка и непрерывную часть с передаточной функцией:

                                               .                               (7)

При построении вводят следующие допущения.

 

1. Величина, обратная периоду дискретности T, больше половины частоты среза w_с, т.е.  w_с < 2/T.

2. Переход оси нуля децибел асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательном наклоне -20 дб/дек.

3. Постоянным времени t_j (j = 1, 2, ..., m) соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

4. Имеется l (l < n) постоянных времени T_i  (i = 1, 2, ..., l), которым соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза.

 

При принятых допущениях для области  низких частот передаточную функцию  непрерывной части можно представить в виде

                                     (8)

а для области высоких частот

                               (9)

По выражениям (8) и (9) на основании  соотношения для дискретной передаточной функции разомкнутой цифровой системы при g = 1 и (1.82) получим частотные характеристики разомкнутой импульсной системы для области низких частот

                   (10)

и для области высоких частот

              (11)

где = .  

Сравнение выражения (10) с (8) показывает, что в низкочастотной области  частотная передаточная функция импульсной системы может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой p = jl  и умножением на дополнительный множитель (1 - jlT/2). Псевдочастота l в этой области практически совпадает с угловой частотой w. Влиянием дополнительного множителя при построении частотных характеристик в низкочастотной области можно пренебречь, так как w_с < 2/T.

Таким образом, в области низких частот частотные характеристики импульсной системы совпадают с частотными характеристиками ее непрерывной части.

Начало логарифмических частотных  характеристик в высокочастотной  области (11) сливается с концом частотных  характеристик, построенных в низкочастотной области. На основании (10) и (11) можно записать выражение результирующей частотной передаточной функции разомкнутой АИС

          (12)

 

Это выражение представляет собой  произведение элементарных типовых  сомножителей, поэтому его легко использовать для построения логарифмических частотных характеристик импульсных систем. Результирующий фазовый сдвиг определяется как

 

 

Пример. Построить логарифмические частотные характеристики АИС с экстраполятором нулевого порядка и периодом дискретности импульсного элемента T = 4 с, передаточная функция непрерывной части которой

.

 

Решение.  Выбираем частоту среза w_c < 2/T < 0,5 c^-1. В соответствии с заданными постоянными времени определяем сопрягающие частоты:

 

w_cопр1=1/25=0,04 c^-1 – низкочастотный диапазон;

w_cопр2=1/0,5=2 c^-1 – высокочастотный диапазон;

w_cопр3=1/0.3=3,33 c^-1 – высокочастотный диапазон.

 

Следовательно, получаем:

,

где T_å = Т₁+Т₂=0,8;

 

,

 

l_сопр1=1/25=0,04;

l_сопр2=1/2=0,5;

l_сопр3=1/1,2=0,8 .

 

Асимптотические ЛАХ и ЛФХ, соответствующие  полученным выражениям, представлены на рисунке.

 

 

 

ЛЧХ импульсной системы

 

7. Устойчивость импульсных  систем

 

Как и для непрерывных систем, устойчивость импульсных систем является необходимым условием их работоспособности.

  Устойчивость системы характеризуется ее свободным поведением, а свободное поведение определяется переходной составляющей процесса регулирования выходной величины. Линейная импульсная система называется устойчивой, если переходная составляющая процесса регулирования y_п[n, ε] затухает с течением времени.

Сформулированное условие устойчивости сводится к выполнению равенства

 

                                                (1)

 

для всех s из интервала 0 £ ε < 1. Если хотя бы для одного значения ε

                

                                 (2)

 

то импульсная система называется неустойчивой. Если, наконец,

 

                                  (3)

 

или не существует, то импульсная система  находится на границе устойчивости.

В подавляющем большинстве случаев  величина предела  при любом ε определяется его значением при  ε = 0. В тех случаях, когда при ε = 0 выполняется соотношение (1),   а при ε ¹ 0 – любое из соотношений (2), (3), говорят о так называемой высокочастотной неустойчивости АИС.

Таким образом, чтобы оценить устойчивость системы, необходимо найти переходную составляющую процесса регулирования. Переходная составляющая процесса регулирования определяется решением однородного разностного уравнения замкнутой импульсной системы

 

                    a₀ y[n, ε] + a₁ y[n - 1, ε] + ... + a_m y[n - m, ε] = 0,                  (4)

 

где m – порядок системы.

Решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

,                                        (5)

где z_i  – корни характеристического уравнения

 

                        a₀ z^m  + a₁ z^m – 1 + ... + a_m  = 0;                            (6)

 

C_i – постоянные коэффициенты, значения которых зависят от свойств системы, характера внешнего воздействия и относительного времени ε.

Из решения (5) следует, что для  устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома замкнутой системы (полюса передаточной функции замкнутой импульсной системы Ф(z, ε)) удовлетворяли условию

 

   ½z_i ½< 1;   i = 1, 2, ..., m.                                 (7)

 

Если хотя бы один корень ½z_i ½> 1, система будет неустойчивой. Значением какого-либо корня ½z_i ½= 1 при всех остальных½z_i ½< 1 определяется граница устойчивости импульсной системы.

Графически область устойчивости импульсной системы на плоскости z корней характеристического уравнения изображается единичным кругом .

 

Области устойчивости на плоскости Z

 

Таким образом, исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического полинома замкнутой импульсной системы относительно единичной окружности.

Для использования критериев устойчивости Гурвица и Михайлова в обычной  формулировке внутренность круга единичного радиуса плоскости z отображают в левую полуплоскость комплексной переменной w (рисунок ниже) с помощью конформного преобразования

 

                                          (8)

 

Конформное преобразование

После подстановки z из (8) в (6) получим  преобразованное характеристическое уравнение импульсной системы

 

             ,                    (9)

 

которое приводится к виду

 

                                         .                           (10)

 

Все корни z_i  уравнения (6), лежащие внутри единичного круга, перейдут в левую полуплоскость w (рисунок). Поэтому при использовании преобразованного характеристического уравнения (11) для устойчивости импульсной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни w_i (i = 1, 2, ..., m) имели отрицательные вещественные части. Границей устойчивости служит мнимая ось.

Критерии устойчивости используются для исследования устойчивости импульсных систем без нахождения корней характеристического уравнения. Для импульсных систем обобщаются все критерии устойчивости, используемые для исследования непрерывных систем.

Аналог критерия Рауса-Гурвица. Условия устойчивости формулируются в виде неравенств, накладывающих ограничения на коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (таблица).

Условия устойчивости импульсных систем

 

Степень характеристического уравнения	Условия устойчивости
m = 1	a0+a1 > 0,   a0-a1 > 0
m = 2	a0+a1+a2 > 0,    a0-a1+a2 > 0, a0-a2 > 0
m = 3  и т.д.	a0+a1+a2+a3 > 0,   a0-a1+a2-a3 > 0,   a0(a0-a2)-a3(a3-a1) > 0,    3(a0+a3)-a1-a3 > 0

 

Сложность условий устойчивости резко возрастает с ростом степени m характеристического полинома замкнутой системы. Поэтому практически алгебраический критерий используется при m £ 3.

Аналог критерия Михайлова. Для устойчивости линейной импульсной системы m-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D (e ^jwT) при изменении частоты w от 0 до p/T равнялось бы значению mp, то есть

 

D arg D (e ^jwT) = mp ,   0 £ w £ p/T.                       (11)

 

Здесь D (e ^jwT) получается путем замены z на e ^jwT  в характеристическом полиноме замкнутой импульсной системы

 

D(z) = a₀ z^m  + a₁ z ^{m – 1} + ... + a_m-1 z + a_m ,    z = e ^jwT.

 

На рисунке приведены аналоги  кривых Михайлова для устойчивой и неустойчивой импульсной системы при m = 3.

 

Аналоги годографов Михайлова

 

Аналог критерия Найквиста. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой импульсной системы требуется, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы W(e^jwT) не охватывала точку с координатами (-1, j0). Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой цепи требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи охватывала точку (-1, j0) на угол  pp (против часовой стрелки), где p - число полюсов разомкнутой цепи, лежащих вне единичного круга z = e ^jwT.

Ниже на рисунке показаны амплитудно-фазовые  частотные характеристики устойчивых импульсных систем.

 

 

АФЧХ устойчивых импульсных систем

 

 

Для исследования устойчивости импульсных систем могут применяться также логарифмические частотные характеристики в той же формулировке, что и для обыкновенных линейных систем.

 

8. Точность и коррекция  импульсных систем

 

Точность импульсных систем. Для импульсных систем, как и для непрерывных, введены определения статической ошибки, астатизма, коэффициентов ошибок, ошибки при гармоническом воздействии, а также среднеквадратической ошибки.

Установившиеся ошибки. Точность работы импульсных систем в установившемся режиме оценивается по величине установившейся ошибки при различных типовых входных воздействиях, наиболее характерных для исследуемой системы.

В замкнутой импульсной системе  ошибка x, задающее воздействие g и возмущающее воздействие f связаны следующей зависимостью относительно z-изображений

 

X(z, ε) = X_g (z, ε) + X_f (z, ε) =

 

В этом выражении содержатся z-изображения  двух составляющих ошибки: X_g (z, ε) – от задающего и X_f (z, ε) – от возмущающего воздействий.

Установившаяся ошибка импульсной системы определяется по предельному значению решетчатой функции

 

    (1)

 

где x_g (¥, ε) – установившаяся ошибка от задающего воздействия;

        x_f (¥, ε) – установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.

 

В большинстве случаев ограничиваются рассмотрением ошибки в дискретные моменты времени t = nT. Однако следует иметь в виду, что в импульсных системах могут возникать малые колебания внутри периода дискретности в установившемся режиме.